1.8　常见考题解析：随机事件和概率

本章是概率论与数理统计的基础，近几年单独出本章考题较少，大都是作为基础知识点出现在以后的各章考题中。本章的基本概念、基本理论和基本方法应熟练掌握。

本章的考题主要是选择、填空等客观题。考核重点有事件的关系和运算，概率的性质，概率的加法、减法、乘法公式，全概率公式和贝叶斯公式，古典概型与伯努利概型。本章的考题不难，重在理解概念和掌握基本技巧，不必追求复杂的难题。

【考题1-1】　有3个箱子，第1个箱子有4个黑球1个白球，第2个箱子有3个黑球3个白球，第3个箱子有3个黑球5个白球。现随机地取一个箱子，再从这个箱子里取出一个球，这个球是白球的概率是多少？若已知此球是白球，则此球来自第2个箱子的概率是多少？

解：设事件A为取出白球，设事件Bi为从第i个箱子取出。由全概率公式可得

如果已知此球是白球，即时间A发生，求来自第2个箱子，即求P（B2|A），由贝叶斯公式可得

代码如下：

     #第1章/1-13.py
     PB1 = PB2 = PB3 = 1/3
     PA_B1 = 1/5
     PA_B2 = 1/2
     PA_B3 = 5/8
     p = PB1 * PA_B1 + PB2 * PA_B2 + PB3 * PA_B3
     print('白球的概率为', p)
     p2 = PB2 * PA_B2/p
     print('来自第2个箱子的概率为', p2)

输出如下：

     白球的概率为0.44166666666666665
     来自第2个箱子的概率为0.3773584905660377

【考题1-2】　已知事件A的概率P（A）=0.5，事件B的概率P（B）=0.6，条件概率P（B|A）=0.8，求概率P（B∪A）是多少？

解：P（B∪A）=P（A）+P（B）-P（A∩B）=P（A）+P（B）-P（B|A）P（A）=0.7

【考题1-3】　甲乙两人独立射击同一目标，命中率分别是0.6和0.5。现已知目标被射中，则它是甲射中的概率为多少？

解：设事件A为甲射中，事件B为乙射中，则射中的概率为

P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（A∩B）

又知道甲乙两人独立射击，故P（A∩B）=P（A）P（B），因此

P（A∪B）=0.6+0.5-0.6∗0.5=0.8

由贝叶斯公式可知，所求的概率为

【考题1-4】　设事件A和B，A∪B的概率分别是0.4、0.3和0.6，如果表示B的对立事件，则积事件是多少？

解：由可知，只需求出P（AB）。再根据

P（AB）=P（A）+P（B）-P（A∪B）

得P（AB）=0.4+0.3-0.6=0.1，从而得。

【考题1-5】　已知P（A）=P（B）=P（C）=1/4，P（AB）=0，P（AC）=P（BC）=1/12，则事件A、B和C全不发生的概率为多少？

解：先求P（A∪B∪C）：

然后由可知。

【考题1-6】　一批产品共有10个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽完后不放回，则第2次抽出是次品的概率是多少？

解：设Ai表示第i次抽出次品，则由全概率公式

【考题1-7】　若A和B两个事件满足条件，并且P（A）=p，则P（B）是多少？

解：由知P（A）+P（B）=1，故P（B）=1-p。

【考题1-8】　设工厂A和B的产品次品率分别为1%和2%，现从工厂A和B分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品是工厂A生产的概率是多少？

解：设事件A表示产品由A工厂生产，表示产品由B工厂生产；设事件B表示取出的产品是次品；所求概率为P（A|B），由贝叶斯公式

【考题1-9】　设A和B是事件，并且，则必有（　　）。

A．

B．

C．P（AB）=P（A）P（B）

D．P（AB）≠P（A）P（B）

解：由可得

故，整理可得P（AB）=P（A）P（B）。

【考题1-10】　设两两相互独立的3个事件A、B和C满足ABC=∅，P（A）=P（B）=P（C）＜1/2，并且P（A∪B∪C）=9/16，则P（A）是多少？

解：设P（A）=x ，则由

得到3x-3x2+0=9/16，解出x=1/4或x=3/4。又已知x＜1/2，则P（A）=1/4。

【考题1-11】　设两个互相独立的事件A和B都不发生的概率为1/9，A发生与B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，则P（A）是多少？

解：由于，所以P（A）-P（AB）=P（B）-P（AB），即P（A）=P（B）。又因为，并且A和B独立，所以，故P（A）=2/3。

【考题1-12】　已知甲乙两个箱中装有同种产品，甲箱中有3件合格品和3件次品，乙箱中有3件合格品，从甲箱中任取3件放入乙箱，求

（1）乙箱中次品件数X的数学期望。

（2）从乙箱中任取一件产品是次品的概率。

解：（1）设X为从甲箱中取出次品的个数，X可能的取值为0、1、2、3，先求X的分布，

则E（X）=P（X=0）×0+P（X=1）×1+P（X=2）×2+P（X=3）×3=3/2

（2）设A表示从乙箱中任取一件产品是次品，由全概率公式可得

代码如下：

     #第1章/1-14.py
     from scipy.special import comb
     import numpy as np
     n1a = 3
     n1b = 3
     n2a = 3
     #第(1)问
     k = np.array([0, 1, 2, 3])
     p = comb(3, k) * comb(3, 3 - k)/comb(6, 3)
     p = (k * p).sum()
     print('乙箱中次品件数的数学期望为', p)
     #第(2)问
     p = comb(3, k) * comb(3, 3 - k)/comb(6, 3)
     p = (k/6 * p).sum()
     print('从乙箱中任取一件产品是次品的概率为', p)

输出如下：

     乙箱中次品件数的数学期望为1.5
     从乙箱中任取一件产品是次品的概率为0.24999999999999997

【考题1-13】　设A和B为事件，并且P（B）＞0，P（A|B）=1，则必有（　　）。

A．P（A∪B）＞P（A）

B．P（A∪B）＞P（B）

C．P（A∪B）=P（A）

D．P（A∪B）=P（B）

解：由

可得P（AB）=P（B），从而有P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（AB）=P（A）。

【考题1-14】　设在一次试验中，事件A发生的概率为p，现进行n次独立试验，则A至少发生一次的概率为多少？事件A至多发生一次的概率为多少？

解：A至少发生一次的概率为1-（1-p）n；A至多发生一次的概率为（1-p）n+np（1-p）n-1。

【考题1-15】　设在三次独立试验中，事件A出现的概率相等，如果已知A至少出现一次的概率等于19/27，则事件A在一次试验中出现的概率为多少？

解：根据题意，A至少出现一次的概率等于19/27，则A一次也没出现的概率为8/27，从而，解得，即P（A）=1/3。

代码如下：

     #第1章/1-15.py
     from sympy import *
     p = 1-Rational(19, 27)
     q = p ** (Rational(1, 3))
     print('事件A在一次试验中出现的概率为', q)

输出如下：

     事件A在一次试验中出现的概率为2/3

【考题1-16】　在区间（0，1）中随机取两个数，则两个数之和小于6/5的概率为多少？

解：本题是几何概型，不妨假定随机取出的两个数分别是X和Y，它们是相互独立的。如果把（X，Y）看成平面上一个点的坐标，则由于0＜X＜1，0＜Y＜1知，（X，Y）是相应的正方形中的一个点。所求概率为X+Y＜6/5的区域，即阴影区域，面积为17/25，如图1-4所示。

图1-4　考题1-16示意图

【考题1-17】　随机向半圆内投掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与该区域的面积成正比，则原点和该点连线与x轴的夹角小于π/4的概率为多少？

解：本题是几何概型，见图1-5，所求概率为阴影区域的面积占半圆面积的比例，即

图1-5　考题1-17示意图

【考题1-18】　袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球。今有两人依次从袋中各取一球，取后不放回，则第2个人取得黄球的概率为多少？

解：设Ai为第i个人取得黄球，根据全概率公式

【考题1-19】　某人向同一目标独立重复射击，每次命中目标的概率为p，则此人4次射击恰好第2次命中目标的概率为（　　）。

A．3p（1-p）2

B．6p（1-p）2

C．3p2（1-p）2

D．6p2（1-p）2

解：4次射击恰好第2次命中说明4次且前3次射击恰有一次命中。故所求概率为

【考题1-20】　在区间（0，1）中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于1/2的概率为多少？

解：本题是几何概型。不妨假定随机取出的两个数分别是X和Y，它们是相互独立的。如果把（X，Y）看成平面上一个点的坐标，则由0＜X＜1，0＜Y＜1可知，（X，Y）是相应的正方形中的一个点。所求概率为|X-Y|＜1/2的区域，即阴影区域，面积为3/4，如图1-6所示。

图1-6　考题1-20示意图

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