房间里，陈帆和牛顿面对面而坐。
对于陈帆中午的话，牛顿表现了极大的探讨欲。
伸手拿起写着公式的演算纸，牛顿带着期待问道：“你也研究过整数幂有限项级数的计算吗？”
“嗯，算是吧……”
陈帆点了点头，他虽然不算是研究过，但是他学过呀。
别说整数幂的有限项级数计算了，无穷级数的应用，广义二项式定理等等，他都学过，就是不能直接告诉牛顿罢了。
得到肯定的回答后，牛顿双眼一亮，立马开始询问起了陈帆的研究成果。
陈帆知道，他的引导者身份要开始了。
不过，他并没有着急，而是从二项式定理研究的初始，开始讲了起来。
实际上，最早的研究应该是华国成书于1世纪的《九章算术》。
这里面提出了世界上最早的，多位正整数开平方和开立方的一般程序。
后来，到了11世纪中叶，贾宪在《释锁算书》中给出了开方作法本原图，满足了三次以上开方的需要。
这个图也是直到六次幂的二项式系数表。
只不过，贾宪并未给出二项式系数的一般公式，也没能建立一般正整数次幂的二项式定理。
再然后，13世纪的杨辉在《详解九章算术》中引用了本原图。
但由于《释锁算书》的失传，本原图在今天一般被称为杨辉三角。
至于其他地区，最早是在10世纪，阿尔·卡拉吉才知道二项式系数表的构造方法。
随后由奥马·海亚姆将印度人的开平方、开立方运算，推广到任意高次，从而开始研究高次二项展开式。
后来到13世纪，开始有了高次开方的近似公式，到15世纪，阿尔·卡西在《算术之钥》中介绍了任意高次开方法，并给出了直到九次幂的二项式系数表。
最后在1654年，法国的帕斯卡最早建立了一般正整数次幂的二项式定理。
随着时间的流逝，牛顿不自觉的沉浸在了陈帆的讲述之中。
以至于，当陈帆拿起笔，并在一张演算纸上，开始写出一个二项式展开系数表时，牛顿还有些没反应过来。
等到陈帆写完，递给牛顿时，他先是一愣，才接过了演算纸。
但只看了一眼，牛顿立马便瞪大了双眼。
“这，这是什么？”
陈帆没有说话，而是继续拿起笔，开始在纸上写道：
【第一列是常数（0次多项式），第二列呈线性增长（1次多项式），第三列根据2次多项式二次增加，第四列以三次多项式的形式增加……】
随后将纸递给牛顿，陈帆认真说道：“你先试着按这个思路填满整个二项式展开系数表。”
牛顿愣了一下，再次接过演算纸，把两张纸放在一块，他顿时惊呼道：“这是二项式定理的展开研究？”
陈帆点了点头，严肃且郑重的说道：“是的，我想和你分享我的研究思路，希望我们能够突破这项研究。”
牛顿有些不敢相信自己的耳朵，更不敢相信眼前两张演算纸上的内容。
他有些迟疑的说道：“你的研究应该比我更深入，我不能……”
没等牛顿的话说完，陈帆直接打断道：“在没有获得最终的研究成果之前，我们都只是这条路上的探索者，说不定你还会比我先完成这项研究。”
顿了顿，陈帆又笑着补充道：“你完全不需要多想，如果我们俩共同取得了这项研究的突破，我同样会很高兴。再说了，对于你的收留，我也没什么能够答谢的，这不是两全其美吗？”
陈帆的一番话说完后，牛顿怔怔的看着陈帆，过了一会，他的脸上也露出了一丝笑容。
对于他而言，这些内容的确很有吸引力，而且陈帆的意思也很明确，他是真的想分享这项研究的思路，共同完成这项研究。
当牛顿露出笑容时，陈帆就知道这家伙不会拒绝了，他趁热打铁道：“牛顿，我们应该抓紧时间了，我想我们一定能尽快解决这项研究的！”
牛顿郑重的点了点头：“谢谢你的信任和分享，我会尽力的！”
说完，他拿起笔，开始按照陈帆所说的，去填满整个二项式展开系数表。
陈帆也重新将注意力放到眼前的纸和笔上，开始写出一个函数【y=（1-x^2）^1/2】，并开始作出函数图。
这是一个单位半径圆的右上象限方程，以单位半径描述圆的象限。
这也是他开始引导牛顿走向广义二项式展开的开始。
做完这一步后，陈帆扭头看了一眼牛顿。
当看到他递过去的二项式展开系数表，已经差不多被牛顿完成，且开始整理一般表达式时，陈帆不由得挑了挑眉。
“牛爵士不愧是牛爵士，很高效嘛！”
不多时，牛顿完成了手头的内容，一抬头，就看到正盯着自己的陈帆。
他微微一愣，有些不好意思的说道：“让你久等了。”
陈帆轻声笑道：“没有，你完成的刚刚好。”
旋即，他将刚写的纸张递了过去：“你看看这个。”
牛顿有些好奇的接了过来，看了一眼后，下意识的皱了皱眉。
但很快，他的眼睛变得明亮起来，他似乎明白了这个函数的意义。
“看懂了吗？”
一直在看着牛顿的陈帆，适时出声问道。
牛顿缓缓点了点头：“由于圆有一个单位半径，角z的正弦值等于横坐标x，因此，我们只需要确定x，来作为z上的幂级数！”
说着，他下意识的拿起笔，准备在纸上开始演算。
只不过，当笔尖快碰到纸张时，他停了下来。
见状，陈帆微微一笑，快速说道：“我想验证我的思路对不对，如果可以的话，麻烦你进行一番演算。”
话音未落，牛顿已经毫不迟疑的，开始在纸上演算了起来。
陈帆则在一旁聚精会神的看着。
看了一会，陈帆眼中的笑意也变得更浓了几分。
得，牛顿不愧是牛顿，只是一点小启发，他便能从中打开一扇门。
这样的话，陈帆觉得从二项式定理到微积分的路，或许会走得更快。
实际上，陈帆所写出的函数，以及那个函数图，可以说是包含了求正弦函数幂展开，所需要的所有元素。
这也是由牛顿1669年的一页手稿，“用无限项的方程分析”这一内容，陈帆所想到的，广义二项式展开的牛顿推导过程中的一步。