第0章
引言

观察一下你身边的饮料杯，比如品脱杯或者马克杯，虽然它们形态各异，但几乎可以肯定，它们杯口的周长总是大于它们的高度。像品脱杯这样的器皿，看上去好像高度大于周长，但事实上，标准的英式品脱杯的周长是高度的1.8倍；而随处可见的连锁咖啡店星巴克里的中杯外带杯，其周长其实是自身高度的2.3倍（不过，他们拒绝了我将其更名为“矮杯”的请求）。

知道这个常识对你非常有好处。要是下次再去酒吧、咖啡馆或其他提供饮料的地方，你可以和朋友打赌，赌定他们手里的杯子杯口的周长都大于高度，赢的话就让他们免费给你饮料。如果现场有带柄的啤酒杯或者大得离谱的马克杯，你要清楚，它们的周长通常是高度的3倍以上。你甚至可以把三个这样的杯子夸张地叠在一起，并打赌这时的周长仍大于总高。这时候拿出卷尺或许会让你的对手怀疑你在作弊，你可以就近找根吸管，或者用吸管纸套临时充当量尺。

这个结论适用于除了最瘦长的香槟杯以外的所有杯子。如果你想偷偷验证一下，又不想引起对手怀疑，可以用手握住杯子，你会发现你的大拇指无法在另一面碰到另外四指。现在，用大拇指和食指去够杯子的两端，却基本上都会够到。这就巧妙地证明了普通杯子的高度比周长小很多了。

这正是我想让更多人了解的数学：数学不可思议，出乎意料，甚至能为你赢得免费饮料。我写本书的目的就是向读者展示数学中的有趣之处。但不幸的是，多数人觉得数学只是中学要求的课程。事实上，数学远不止如此。

在一些不恰当的情况下，数学确实会让人感觉乏味。随便走进一间数学课堂，你极有可能会看到教室里绝大部分学生都不怎么开心，更坏一点，他们可能会立刻要求你离开教室，甚至报警，那么你的名字可能就会被列入黑名单。这些学生们对数学的坏印象，是从之前的学生那里代代相传而来的。当然，这其中不乏例外，有些学生一直热爱数学，成为数学家，把余生奉献给数学。究竟是什么让这些学生享受数学，而其他同学却都不喜欢呢？

我曾经也是这少数学生中的一员：我能在乏味的练习题之外探寻到数学的精髓，也就是背后的逻辑。但我能体谅我周围的同学们，尤其是那些偏爱运动的同学。因为在学校里，我也曾像他们惧怕数学课一样惧怕足球训练。但是我很清楚花费大量时间在锥形筒之间练习带球的意义：他们在建立扎实的基本功，以便在真正的足球比赛中挥洒自如。因此，我也清楚为什么偏爱体育的那些同学讨厌数学：与足球相反，学生们练习数学，却没有“数学运动场”能让他们好好地运用学到的数学知识。

这就是这些学生眼中的数学，也正是人们不会选择成为数学家的原因。数学工作者并不像人们想象的那样，只是做更难的加法或更长的除法，这就好比专业的足球运动员在比赛中也不仅仅是带球跑得更快而已。专业的数学家会利用他们学到的理论和技巧去探索数学领域，寻找新的发现。他们会在高维空间中寻找新的图形，寻找新的数的类别，或在无穷之外探索新世界，而不仅仅是进行运算而已。

告诉你一个秘密：对数学家而言，数学是一场规模宏大的超级联赛，而告诉你更多数学的秘密也正是本书的目的。为你打开通往这个世界的门，让你学会和数学打交道的方法。这样，你就可以像数学家一样参与到这场超级联赛中。即使你本就是热爱数学的孩子，也仍然可以发现很多新鲜事物。本书的所有内容都源于你能实际运用的数学。你可以学会做一个四维物体，也可以深入理解那些违反直觉的图形，还可以编出不可思议的绳结。当然，书籍本身也是一项令人惊叹的技术，拥有最先进的暂停功能。当你想停留片刻去玩一些数学小把戏时，尽管去，本书将静静地停留在原地，不变一字，等着你归来。

当然，从现代医学背后的数据分析到手机间信息传输背后的公式，几乎所有令人欣喜的前沿科技的核心都是数学。但即使是那些基于相应数学原理的技术，最初也是因为数学家觉得解决一道谜题很有趣才发展起来的。

这就是数学的本质。数学是对规律与逻辑的纯粹追求，一直在满足我们对未知事物的好奇心。新的数学发现可能会有数不清的实际应用，甚至成为我们生活中不可或缺的一部分，但这并不是这些原理被发现的原因。正如诺贝尔物理学奖获得者理查德·费曼（Richard Feynman）所说，“物理学就像性爱，它确实有实际的用处，但那绝不是我们研究它的原因”。

我也希望大家能更关注学校里学的数学，因为没有这些基础，我们无法发现数学的有趣之处。每位学生应该都依稀记得数学常数π（大约等于3.14），有些人会记得它是圆的周长与其直径的比值。正因为π，我们才知道玻璃杯口的周长是其直径的3倍多。而杯子直径往往是我们判断杯子大小的根据，但我们总忘记乘以π。π不应该只是一个存在于我们记忆中的数值，而应该在现实生活中为我们所用。但遗憾的是，很少有学校会教你怎样在酒吧赢取免费饮料。

但我们不能全盘忽视学校教授的数学，因为数学的趣味总是伴随着它的乏味。这也是一些人觉得数学很难的部分原因：在学习数学的过程中，他们错失了一些关键步骤，所以更高的层次便显得遥不可及。如果他们可以一步一个脚印，以正确的顺序走好每一步，那么数学其实不会太难。

数学中没有什么是难以掌握的，但是有时候以正确的顺序学习数学非常重要。当然，攀登一个高高的阶梯，或许自始至终需要付出很多努力，但攀爬每一级台阶耗费的力气是一样的。数学也是如此，一步一步攀登，其乐无穷。如果你理解素数，那么探索素绳结就会容易很多；如果你先掌握了三维图形，那么四维图形就不会那么难以想象。你可以将本书的每个章节想象成一个结构体，每个章节都基于前面的一些章节。

你也可以跳过一些章节选择自己的探索路径，只要你在探索后面某个章节之前已经掌握了它所依赖的所有章节。随着内容的推进，后面的章节会涵盖越来越多的高等数学知识，这些内容你可能从来没有在数学课堂中听到过。它们初看起来吓人，但别担心，只要你以正确的顺序学习这些知识，当你到达数学世界中遥远的角落时，你就已经积累了足够的知识来享受它们给予的所有乐趣和惊喜。

最后我要再强调一点，攀登本书阶梯的动力应该是欣赏沿途的风景。长久以来，数学被看成是教育的同义词，它本应该是趣味和探索的代名词。当我们将谜题逐个解决，将数学游戏实践，我们很快就能到达阶梯的顶端，欣赏到大多数人从未见闻的数学之美。我们将能够实践那些超越一般人直觉的事物。在旅途中，数学会把我们带入虚数的世界，向我们展示只有在196,883维空间才存在的图形，向我们展示无穷之外的物体。从第四维到超越数，我们将逐渐领会。