二、《几何原本》的三大特点
《几何原本》构建了一个非常严密的理论体系,它的诞生,标志着古典几何学已经成熟。具有如下特点:
第一个特点,《几何原本》中的作图题占比很高,但作图时使用的工具只是圆规和直尺,而且直尺是无刻度的,这正是高度抽象化的欧几里得几何学的特色。欧几里得用圆规和直尺作出许多不同类型的图,例如正三角形、正方形、正五边形、正六边形和正十五边形等。直到两千年后,才有高斯增补了正十七边形的作法。
第二个特点,《几何原本》全书使用严格的逻辑证题。现在常见的说法是,欧几里得从五条“公理”和五条“公设”出发,加上一些定义,严格地推导出庞大的命题系统。例如,有人说,“上帝定义了点,组成了线,继而有了面,叠成立体空间,欧几里得左手拿着直尺,右手拿着圆规,通过五条公设和五条公理,绘出了世界。”
不过,在我看来,这种说法是不准确的。由表1的统计可见,《几何原本》中的“公设”,全书一共引用了15次,其中有13次都在第一卷;而“公理”,全书一共引用了19次,其中有18次都在第一卷。由此可见,这些“公理”和“公设”主要影响的是第一卷,而对全书并无直接影响。
表1 《几何原本》中引用了公设与公理的命题
在《几何原本》中,对“命题”有直接影响的是各卷的“定义”,有些“定义”也对其他卷有影响。尤其是第一卷的“定义” ,对涉及几何问题的各卷都有影响;第七卷的“定义”,对涉及数的问题的各卷都有影响。
当然,《几何原本》中的这个公理系统是可以改进完善的,后世有很多数学家在这方面做了工作,其中最有名的是德国数学家希尔伯特( Hilbert) ,他于1899 年提出了一个严格的公理系统。希尔伯特提出的这个公理系统中,有“关联公理”八条,说明三组几何对象——点、直线和平面之间的关联;“顺序公理”四条,说明直线上的点的相互关系;“合同公理”五条,处理图形的移动;“连续公理”两条,说明直线的连续关系; “平行公理”一条,说明两条直线间的平行关系。
实际上,《几何原本》的严谨逻辑,主要体现在“命题”的结构中。我们前面提到的曾经给《几何原本》作注的那位希腊数学家普罗克洛斯,对此有一个极好的说明,他说:
每一个问题和每一个其所有部分皆完美的完整定理,均包含以下所有要素:“表述”“设置”“定义”“构形”“证明”“结论”。
在这些要素之中,“表述”给出了什么是给定的和什么是待求的,完美的“表述”一定由这两部分组成。
“设置”标识了什么已由其自身给出,并在应用于研究之前予以调整。
“定义”单独陈述和说清楚待求的是什么特定的东西。
“构形”中把想得到的东西添加到论据中,其目的是找到待求的东西。
“证明”由公认事实,科学地推理得出所需的推断。
“结论”又返回到“表述”,确认已经说明的内容。
这些都是“问题”和“定理”的组成部分,但最本质的和在所有问题中都能找到的那些是“表述”“证明”和“结论”。因为同等必需的是事先知道:待求的是什么,这应当通过中间步骤来说明,且被说明的事实应该被推断出来;不可能免除这三项中的任何一项。其余部分往往被引入,但也往往因为无用而被排除在外。
这套严格的论证体系得益于古希腊辩论家的缜密逻辑,对后世数学发展的影响不可估量。
第三个特点,《几何原本》完全没有具体数字。这种情况不仅出现在有关几何学的各章,也出现在有关数论的各章。显然,在数论的场合中,没有具体数字往往增加阅读和理解的困难。为了读者阅读方便,本书汉译者在翻译过程中构造了一些数字例子,以附注形式给出,希望对读者有所帮助。虽然这似乎不是欧几里得的本意,他实际上更希望读者用抽象思维理解本书的内容。不过,对于时间有限的一般读者来说,要做到这一点并不容易。
我们知道,现代中小学几何学包括“作图” “证明”和“计算”三个部分。可是,在《几何原本》中,第三部分内容——“计算”,完全没有在书中出现。到了《几何原本》问世几十年以后,古希腊另一位科学巨人阿基米德才弥补了这一缺憾,他发展了几何学的计算部分,我们称之为度量几何学。
这里要特别提一下第五公设,即“平行公设”。这个公设的意思简单说就是,过直线外一点只能作一条平行线。在《几何原本》中,这个所谓“平行公设”相当冗长,且在原书中很少引用。因此,两千年来,不少人都试图避免它或证明它,但均徒劳无功。直到19世纪,俄国数学家罗巴切夫斯基( Lobachevsky) ,用“过直线外一点至少可以作两条平行线”的所谓“双曲平行公设”代替它,建立了罗氏几何。后来,又有德国数学家黎曼( Rie-mann) ,用“过直线外一点不可能作平行线”的所谓“椭圆平行公设”代替它,建立了黎曼几何。
可见,欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何这三种几何学,分别是在平面、双曲面和球面上建立的几何学。图1给出了一个概述。
图1 三种几何学