1.1　流体力学的基本概念

1.1.1　流体的连续介质模型

流体质点：几何尺寸同流动空间相比是极小量，又含有大量分子的微元体。

连续介质：质点连续地充满所占空间的流体或固体。

连续介质模型：把流体视为没有间隙地充满它所占据的整个空间的一种连续介质，且其所有的物理量都是空间坐标和时间的连续函数的一种假设模型，即u=u(t,x,y,z)。

1.1.2　流体的性质

惯性：流体不受外力作用时，保持其原有运动状态的属性。惯性与质量有关，质量越大，惯性就越大。单位体积流体的质量称为密度（Density），用表示，单位为kg/m3。对于均质流体，设其体积为V，质量m，则密度为

（1-1）

对于非均质流体，密度因点而异。若取包含某点在内的体积与质量，则该点密度用极限方式表示，即

（1-2）

压缩性：作用在流体上的压力变化可引起流体的体积变化或密度变化。压缩性可用体积压缩率k来量度，即

（1-3）

式中，p为外部压强。

在研究流体流动的过程中，若考虑流体的压缩性，则为可压缩流动，相应的流体称为可压缩流体，例如高速流动的气体；若不考虑流体的压缩性，则为不可压缩流动，相应的流体称为不可压缩流体，如水、油等。

黏性：在运动的状态下，流体所产生的抵抗剪切变形的性质。黏性大小由黏度来量度。流体的黏度是由流动流体的内聚力和分子的动量交换所引起的。黏度有动力黏度和运动黏度之分。动力黏度由牛顿内摩擦定律导出

（1-4）

式中，为切应力，单位为Pa；为动力黏度，单位为Pa•s；为流体的剪切变形速率。

运动黏度与动力黏度的关系为

（1-5）

式中，为运动黏度，单位为m2/s。

在研究流体流动的过程中，若考虑流体的黏性，则为黏性流动，相应的流体称为黏性流体；若不考虑流体的黏性，则为理想流体的流动，相应的流体称为理想流体。

根据流体是否满足牛顿内摩擦定律，可以将流体分为牛顿流体和非牛顿流体。牛顿流体严格满足牛顿内摩擦定律且保持为常数。非牛顿流体的切应力与速度梯度不成正比，非牛顿流体一般又分为塑性流体、假塑性流体、胀塑性流体3种。

塑性流体，如牙膏等，有一个保持不产生剪切变形的初始应力，只有克服了这个初始应力，其切应力才与速度梯度成正比，即

（1-6）

假塑性流体，如泥浆等，其切应力与速度梯度的关系是

（1-7）

胀塑性流体，如乳化液等，其切应力与速度梯度的关系是

（1-8）

1.1.3　流体力学中的力与压强

质量力：与流体微团质量大小有关并且集中在微团质量中心的力。在重力场中有重力；直线运动中，有惯性力。单位质量力是一个矢量，一般用单位质量所具有的质量力来表示，其形式如下

（1-9）

式中，i、j、k为单位质量力在坐标轴上的投影。

表面力：大小与表面面积有关而且作用在流体表面上的力。表面力按其作用方向可以分为两种：一种是沿表面内法线方向的压力，称为正压力；另一种是沿表面切向的摩擦力，称为切向力。

对于理想流体的流动，流体质点所受到的作用力只有正压力，没有切向力。对于黏性流体的流动，流体质点所受到的作用力既有正压力，又有切向力。

作用在静止流体上的表面力只有沿表面内法线方向的正压力。单位面积内所受到的表面力称为这点的静压强。静压强具有两个特征：①静压强的方向垂直指向作用面；②流场内某点静压强的大小与方向无关。

液体的表面张力：作用于液体表面的液体间的相互作用力。液体表面有自动收缩的趋势，收缩的液面存在与该处液面相切的拉力。正是这种力的存在，才会出现弯曲液面内外出现压强差及常见的毛细现象等。

实验表明，液体表面张力的大小T与液面的截线长度L成正比，即

（1-10）

式中，称为表面张力系数，它表示液面上单位长度截线上的表面张力，其大小由液体性质与接触相温度、压力等决定，其单位为N/m。

标准大气压的压强是101325 Pa（760 mmHg），记作atm。若压强大于标准大气压，则以此压强为计算基准得到的压强称为相对压强，也称表压强，通常用表示。若压强小于标准大气压，则压强低于标准大气压的值就称为真空度，通常用表示。以压强0 Pa为计算的基准，得到的压强称为绝对压强，通常用表示。这几者的关系如下

（1-11）

（1-12）

在流体力学中，压强都用符号p表示，但对于液体，用相对压强；对于气体，特别是马赫数大于0.1的流动，应视为可压缩流体，用绝对压强。

压强的单位较多，一般用Pa，也可用单位bar，还可以用汞柱、水柱，换算关系如下

1 Pa=1 N/m2

1 bar=100 kPa

1 atm=760 mmHg=10.33 mH2O=101325 Pa

对于静止状态的流体，只有静压强。对于流动状态的流体，有静压强、动压强、测压管压强和总压强之分，可从伯努利方程中分析它们的意义。

伯努利方程阐述一条流线上流体质点的机械能守恒。对于理想流体的不可压缩流动，其表达式如下

（1-13）

式中，为压强水头，也是压能项，为静压强；为速度水头，也是动能项；为位置水头，也是重力势能项。这3项之和就是流体质点的总机械能。H为总的水头高。

将式（1-13）的等号两边同时乘以，则有

（1-14）

式中，为静压强，简称静压；为动压强，简称动压；为总压强，简称总压。对于不考虑重力的流动，总压就是静压和动压之和。

1.1.4　流体运动的描述

1．描述流体运动的方法

描述流体物理量有两种方法：一种是拉格朗日描述；另一种是欧拉描述。

拉格朗日描述也称随体描述，它着眼于流体质点，并认为流体质点的物理量是随流体质点及时间变化的，即把流体质点的物理量表示为拉格朗日坐标及时间的函数。设拉格朗日坐标为(a, b, c)，以此坐标表示的流体质点的物理量，如矢径、速度、压强等，在任一时刻t的值，都可以用a、b、c及t表示出来。

若以f表示流体质点的某一物理量，其拉格朗日描述的数学表达是

（1-15）

例如，设时刻t流体质点的矢径（即t时刻流体质点的位置）为r，则其拉格朗日描述为

（1-16）

同样，流体质点的速度的拉格朗日描述是

（1-17）

欧拉描述也称空间描述，它着眼于空间点，认为流体的物理量随空间点及时间变化，即把流体物理量表示为欧拉坐标及时间的函数。设欧拉坐标为(q1, q2, q3)［欧拉坐标可以用直角坐标(x, y, z)、柱坐标(r, θ, z)或球坐标(r, θ, ϕ)来表示］，用欧拉坐标表示的各空间点上的流体物理量，如速度、压强等，在任一时刻t的值，都可以用q1、q2、q3及t表示出来。由数学分析可知，当某时刻一个物理量在空间的分布一旦确定，该物理量便会在此空间形成一个场。因此，欧拉描述实际上描述了一个个物理量的场。

若以f表示流体质点的某一物理量，其欧拉描述的数学表达是（设空间坐标用直角坐标）

（1-18）

同样，流体质点的速度的欧拉描述是

（1-19）

2. 拉格朗日描述与欧拉描述之间的关系

拉格朗日描述着眼于流体质点，将物理量视为随体坐标与时间变化的函数；欧拉描述着眼于空间点，将物理量视为随空间坐标与时间变化的函数。它们可以描述同一物理量，必定互相相关。设表达式表示流体质点(a, b, c)在t时刻的物理量；表达式表示空间点(x, y, z)于t时刻的同一物理量。如果流体质点(a, b, c)在t时刻恰好运动到空间点(x, y, z)上，则应有

（1-20）

（1-21）

将式（1-20）代入式（1-21）左边，即有

（1-22）

或者反解式（1-20），得到

（1-23）

将式（1-23）代入式（1-21）的右边，也应有

（1-24）

由此，可以通过拉格朗日描述推出欧拉描述，同样，也可以通过欧拉描述推出拉格朗日描述。

3.随体导数

流体质点物理量随时间的变化率称为随体导数，又称物质导数、质点导数。

按拉格朗日描述，物理量f表示为，f的随体导数就是跟随质点(a, b, c)的物理量f对时间t的导数。例如速度是矢径对时间的偏导数

（1-25）

即随体导数就是偏导数。

按欧拉描述，物理量f表示为，但并不表示随体导数，它只表示物理量在空间点上的时间变化率。随体导数必须跟随t时刻位于空间点上的流体质点。由于该流体质点是运动的，即x、y、z是变化的。若用a、b、c表示该流体质点的拉格朗日坐标，则x、y、z将根据式（1-16）变化，从而f=F(x, y, z, t)的变化满足链式法则。因此，物理量f=F(x, y, z, t)的随体导数是

（1-26）

其中，表示随体导数。

从中可以看出，对于流体质点物理量的随体导数，其欧拉描述与拉格朗日描述大不相同。前者是两者之和，而后者是偏导数。

4. 定常流动与非定常流动

根据流动过程中流体的物理参数是否与时间相关，可将流动分为定常流动与非定常流动。

定常流动：流体流动过程中各物理量均与时间无关。

非定常流动：流体流动过程中某个或某些物理量与时间有关。

5. 迹线与流线

常用迹线和流线来描述流体的流动。

迹线：随着时间的变化，空间某一处的流体质点在流动过程中所留下的痕迹。t=0时，位于空间坐标(a, b, c)处的流体质点的迹线方程为

（1-27）

式中，u、v、w分别为流体质点速度的3个分量，x、y、z为t时刻此流体质点的空间位置。

流线：在同一个时刻，由无数个流体质点组成的一条曲线，曲线上每一点的切线与该质点处流体质点的运动方向平行。流场在t时刻的流线方程为

（1-28）

对于定常流动，流线的形状不随时间变化，而且流体质点的迹线与流线重合。在实际流场中，除驻点或奇点外，流线不能相交，不能突然转折。

6. 流量与净通量

流量：单位时间内流过某一控制面的流体体积，用Q表示，单位为m3/s。若单位时间内流过的流体是以质量衡量的，则称为质量流量，不加说明时“流量”一词概指体积流量。在曲面控制面上，有

（1-29）

在流场中取整个封闭曲面作为控制面A，封闭曲面内的空间称为控制体。流体经一部分控制面流入控制体，同时也有流体经另一部分控制面从控制体中流出。此时用流出的流体减去流入的流体，所得出的流量称为流过全部封闭控制面A的净通量（或净流量），用符号q表示，可通过下式计算

（1-30）

对不可压缩流体来说，流过任意封闭控制面的净通量等于0。

7. 无旋流动与有旋流动

由速度分解定理可知，流体质点的运动可以分解为：

1）随同其他质点的平动；

2）自身的旋转运动；

3）自身的变形运动（拉伸变形和剪切变形）。

在流动过程中，若流体质点自身做无旋运动，则称流动是无旋流动，也就是有势流动，否则就称流动是有旋流动。流体质点的旋度是一个矢量，通常用ω表示，其大小为：

（1-31）

若ω=0，则称流动为无旋流动，否则就是有旋流动。

ω与流体的流线或迹线形状无关；黏性流动一般为有旋流动；对于无旋流动，伯努利方程适用于流场中的任意两点之间。对于无旋流动，存在一个势函数，满足

（1-32）

即 （1-33）

8. 层流与湍流

流体的流动分为层流流动和湍流流动。从实验的角度来看，层流流动就是流体层与层之间相互没有任何干扰，层与层之间既没有质量的传递也没有动量的传递；而湍流流动层与层之间相互有干扰，而且干扰的力度还会随着流速的增大而加大，层与层之间既有质量的传递又有动量的传递。

判断流动是层流还是湍流，看其雷诺数是否超过临界雷诺数即可。雷诺数的定义如下

（1-34）

式中，V为截面的平均流速，L为特征长度，为流体的运动黏度。

对于圆形管内的流体流动，特征长度L取圆形管的直径d。一般认为临界雷诺数为2320，即

（1-35）

当Re<2320时，管中是层流；当Re=2320时，管中流动处于临界状态；当Re>2320时，管中是湍流。

对于异型管道内的流体流动，特征长度L取水力直径dH，则雷诺数的表达式为

（1-36）

异型管道水力直径的定义如下

（1-37）

式中，A为过流断面的面积；S为过流断面上流体与固体接触的周长。

临界雷诺数会因管道形状的不同而有所差别。通过实验得到几种异型管道的临界雷诺数，见表1-1。

对于平板的外部绕流，特征长度取沿流动方向的长度，其临界雷诺数为5×105～ 3×106。

表1-1　几种异型管道的临界雷诺数