2.3 常用的关系运算

在实际应用中，数据查询是最常用的操作。关系代数是一种抽象的查询语言，是以集合运算为基础，以关系（表）为运算对象的高级运算。关系运算具有三大要素，即运算对象、运算符和运算结果。关系代数的运算对象和运算结果都是关系。

2.3.1 关系运算种类和运算符

1.关系运算的种类

关系运算的种类可分为两类，即传统的关系运算和专门的关系运算。传统的关系运算将关系（表）作为集合，而且对“水平”方向（行）进行运算，而专门的关系运算不仅涉及行还涉及列。

（1）传统的关系运算

传统的关系运算主要使用传统的集合运算方法，将关系（数据表）作为行（记录）的集合，从关系（表）的行方向进行（集合）运算，常用的是两个关系的运算。

传统的集合运算可以实现的基本操作如下。

1）并运算。在数据库中，可以实现对指定数据的插入和添加操作。

2）差运算。在数据库中，可以实现对指定数据记录的删除操作。

3）差并结合。修改数据的操作，由先删除（差）后插入（并）两个操作实现。

（2）专门的关系运算

专门的关系运算是针对关系数据库专门设计的，不仅涉及关系（表）的行（记录），也涉及关系的列（属性）。利用比较运算符和逻辑运算符可以实现辅助专门的关系运算符操作。有时还需要对关系（表）本身进行运算，如果需要显示表中某列的值，就需要利用关系的专门运算中的“投影”。

2.关系运算符

关系运算符有4类，即集合运算符、专门的关系运算符、（算术）比较运算符和逻辑运算符。具体的使用方法将在后面章节结合应用案例进行介绍。

1）集合运算符：∪（并运算）、-（差运算）、∩（交运算）、×（笛卡儿积）。

2）专门的关系运算符：σ（选择）、π（投影），（连接）、÷（除）。

3）（算术）比较运算符：>（大于）、≥（大于等于）、<（小于）、≤（小于等于）、=（等于）、≠（不等于）。

4）逻辑运算符：￢（非）、∧（与）、∨（并）。

2.3.2 传统的关系运算

实际上，传统的关系运算可以归纳为集合运算，即对两个关系的集合运算，传统的关系运算主要包括4种，即并、差、交和广义笛卡儿积。

1.并运算

设关系R和关系S具有相同的n目（属性/列），且相应的属性取自同一个域，则关系R和关系S的并（Union）由属于R或属S的行（记录）组成。其结果关系的目仍为n，记为R∪S。形式化定义为

R∪S={t|t∈R∨t∈S}

其中，t表示关系R或S中的记录，即关系R或S中的行。

注意：R∪S的结果集合是R中记录和S中记录合并在一起构成的一个新关系，特别要指出的是，合并后的结果必须要去除重复记录。

【案例2-10】已知关系R和关系S如表2-3和表2-4所示，计算出关系R和关系S的并R∪S，其计算结果如表2-5所示。

表2-3 关系R

表2-4 关系S

表2-5 R∪S结果

2.差运算

设关系R和关系S具有相同的n目（列/属性），且相应的属性取自同一个域，则关系R和关系S的差（Difference）由属于R且不属于S的记录组成。其结果关系的目数仍为n，记为R-S。形式化定义为

R-S={t|t∈R∧t∉S}

其中，t表示属于R且不属于（差掉）S的所有记录。

【案例2-11】已知关系R和关系S如表2-3和

表2-4所示，求关系R和S的差R-S，其计算结果如表2-6所示。

表2-6 关系R-S

3.交运算

设关系R和关系S具有相同的n目（列/属性），且相应的属性取自同一个域，则关系R和关系S的交（Intersection）由属于R且属于S的记录组成。其结果关系的属性数仍为n，记为R∩S。形式化定义为

R∩S={tξt∈R∧t∈S}

其中，t为同时属于关系R和S中的所有记录，即关系R且S中行的公共部分。

知识拓展

关系R和关系S的交集

【案例2-12】已知关系R和关系S，如表2-3和表2-4所示，计算关系R和S的交R∩S，其计算结果如表2-7所示。

表2-7 关系R∩S

4.广义笛卡儿积

设关系R和关系S的目（列/属性）分别为r及s。关系R和S的广义笛卡儿积（Extended Cartesian）R×S是一个（r+s）目的记录集合（新关系有r+s列），每个记录前r个分量（属性值）来自关系R的一个记录，后s个分量是关系S的一个记录。关系R和关系S的笛卡儿积记为R×S，其形式化定义为

R×S={t|t=<t^r，t^s>∧t^r∈R∧t^s∈S}

说明：t^r、t^s中r，s为上标，分别表示r个分量和s个分量。若关系R的基数（行数）k₁，关系S的基数为k₂，则关系R和关系S的笛卡儿积的基数为k₁×k₂。

【案例2-13】已知关系R和关系S如表2-4和表2-8所示，求关系R和S的广义笛卡儿积R×S，具体的结果如表2-9所示。

表2-8 关系S

表2-9 关系R×S

注意：关系R和关系S中有相同的属性名“学号”，在计算结果中为了区分，需要在其属性名前标注上相应的关系名，如R.学号和S.学号。

在实际应用中，单独的笛卡儿积本身没有具体实际意义和用途，只有在两表连接时加上限制条件，才会起到正确处理有效数据的作用。

2.3.3 专门的关系运算

专门的关系运算有4种：选择运算、投影运算、连接运算和除运算。其中，选择运算可以在多表中选取符合满足条件的记录并构成新关系（表）；投影运算可选取记录中指定的属性（列）构成新关系；连接运算可选取符合条件的记录串联（连接）成新关系；除运算可选取象集符合条件的记录的多个属性（列）构成新关系。

1.选择运算

选择（Selection）运算也称限制（Restriction），是对关系（表）进行水平（行）分割，也可以理解为对数据表（记录）水平方向（行）的选取。选择是在表中选取符合指定条件的记录，记为σ_F（R）。其中，σ为选择运算符，F表示选择条件，F通常是一个逻辑表达式，其取值为逻辑值“真”（成立）或“假”（不成立）。σ_F（R）表示从R中选取满足条件F的记录（行）所构成的新关系，形式化定义为

σ_F（R）={t|t∈R∧F（t）=true}

逻辑表达式F的基本形式为：XθY，其中，θ表示比较运算，可以是>、≥、<、≤、=、≠。X和Y为属性名，或为常量，或为简单函数，属性名可以用其序号来替代。在基本的选择条件中可以进一步进行逻辑运算，包括非（￢）、与（∧）、或（∨）运算。

【案例2-14】在商品数据表中，如表2-10所示，查询出所有产地为“深圳”的商品信息。在商品数据表中，进行选择运算σ_产地='深圳'或σ₈='深圳'，其结果如表2-11所示。

表2-10 商品数据表

表2-11 产地为“深圳”选择结果

【案例2-15】查询商品价格低于500元的商品信息。在商品数据表中，选择运算σ_价格<500或σ₃<500，其结果如表2-12所示。

表2-12 价格低于500元选择运算结果

2.投影运算

投影（Projection）运算是对关系（表）进行垂直分割，即对关系的列方向进行筛选。

投影运算是在一个关系中选取某些属性或列，并重新排列属性的顺序，再删掉重复记录后构成的新关系，是对二维表进行垂直分割，记为π_A（R），其中，π为投影运算符，A为关系R中的属性列。投影运算的形式化定义为

π_A（R）={t[A]t∈R}

知识拓展

投影结果中对重复记录操作

【案例2-16】已知商品数据表如2-10所示，查询商品的产地信息。

投影运算π_产地（商品信息表）或π₈（商品信息表）的结果如表2-13所示。

表2-13 投影“产地”运算结果

【案例2-17】已知商品数据表如2-10所示，查询商品的名称和价格信息。投影π_商品名称，价格（商品信息表）或π_2.3（商品信息表）的结果如表2-14所示。

表2-14 投影“商品名称”和“价格”运算结果

3.连接运算

连接（Join）运算也称为θ连接，是从两个关系的广义笛卡儿积中选取属性间满足一定条件的记录。形式化定义为

其中，A和B分别为关系R和关系S上目数相同且可比的属性组。θ为比较运算符。连接运算从R和S的笛卡儿积R×S中选取R关系在A属性组上的值与S关系在B属性组上值满足比较关系θ的记录。

连接运算中有两种最常用的连接，即等值连接（Equijoin）和自然连接（Natural Join）。

1）等值连接是指θ为“=”的连接运算。等值连接从关系R和关系S的广义笛卡儿积中选取A与B属性（列）相等的记录，即等值连接为

2）自然连接是一种特殊的等值连接。要求两个关系中进行比较的分量（属性值/数据项）必须是相同的属性组，并且在结果中把重复的属性列去掉。如果关系R和S具有相同的属性组B，则自然连接可记为

注意：通常连接操作是从行的角度进行运算。而自然连接还需要取消重复列（常为后面的列），所以是同时从行和列的角度进行的运算。

【案例2-18】设有两个关系R和关系S，分别如表2-15和表2-16所示，求、和，结果如表2-17～表2-19所示。

表2-15 关系R

表2-16 关系S

表2-17 关系

表2-18

表2-19

自然连接与等值连接的主要区别如下。

1）等值连接中相等的属性可以是相同属性，也可以是不同属性，而自然连接中相等的属性必须是相同的属性。

2）自然连接连接结果必须去除重复属性，而等值连接的结果不需要去除重复属性。

3）自然连接用于有公共属性的情况。若两个关系没有公共属性，则它们不能进行自然连接，而等值连接无此要求。自然连接常用于多表数据调用。

4.除运算

给定关系R（X，Y）和S（Y，Z），其中X、Y、Z为属性组。R中的Y与S中的Y可以有不同的属性名，但必须出自相同的域集。

R与S的除运算（Division）得到一个新的关系P（X），P是R中满足下列条件的记录在X属性列上的投影：记录在X上分量值x的象集Y_x包含S在Y上投影的集合。记作

R÷S={t_r[X]|t_r∈R∧π_Y（S）⊆Y_x}

其中Y_x为x在R中的象集，x=t_r[X]。

除运算通常是从关系的行和列的角度进行操作。

除运算的计算过程可按下列过程进行。

1）将被除关系的属性分为象集属性和结果属性两部分，与除关系相同的属性归于象集，不相同的属性归于结果集。

2）在除关系中，在与被除关系相同的属性（象集属性）上投影，得到除目标数据集。

3）将被除关系分组结果属性值相同的记录分为一组。

4）观察每个组，若它的象集属性值中包括除目标数据集，则对应的结果属性值应该属于除法运算结果集，并去掉与原被除关系相同的分组。

【案例2-19】（源自：数据库系统工程师2005年5月试题44），已知关系R（表2-20）和关系S（表2-21），求R÷S。

表2-20 关系R

表2-21 关系S

具体除运算的计算过程：

1）关系R中属性组A、B的取值为{（2，1），（2，2），（3，2）}，其中，（2，1）的象集为{（a，c），（b，d）}，（2，2）的象集为{（a，d）}，（3，2）的象集为{（b，d），（b，c）}。

2）关系S在属性组C、D上的投影为{（a，c），（b，d）}。

3）找出全部属性组A、B象集包含关系S属性组C、D上的投影的取值，即为新关系R÷S，此处通过比较1）和2），可以发现只有记录（2，1）的象集包含关系S在属性组C、D上的投影，所以R÷S只有一个记录（2，1），即R÷S运算结果如表2-22所示。

知识拓展

除法运算的实际应用

表2-22 R÷S

除的基本运算可以表示为等价关系表达式

π_A（R）-π_A（π_A（R）×S-R）

下面试举几个关系代数综合运算应用案例。

设商品销售数据库有3个关系：商品关系、售货员关系和售货关系。三个关系的关系模式如下。

商品（商品编号，商品名，产地，价格，等级）

售货员（售货号编号，姓名，性别，年龄）

售货（商品编号，售货员编号，数量）

【案例2-20】查询所有产地为北京的商品信息。

σ_{产地=‘北京’}（商品）

查询年龄35岁以下男性的售货员编号和姓名。

π_{售货员编号，姓名}（σ_{年龄<35∧性别=‘男’}（售货员））

查询售出商品编号为K006的售货员姓名。

讨论思考：

1）交、并、差运算的两个关系必须满足什么条件？

2）除运算的结果表示什么含义？

3）等值连接和自然连接之间的区别是什么？