第四节 弹性理论法

弹性理论计算方法用于桩基的应力和变形是20世纪60年代初期提出来的。在弹性理论中，地基被当作半无限弹性体，在工作荷载下，由于桩侧和桩端的土体中的塑性变形不明显，故可以近似应用弹性理论和叠加原理进行沉降分析。弹性理论法假定土为均质的、连续的、各向同性的弹性半空间体，土体性质不因桩体的存在而变化。采用弹性半空间体内集中荷载作用下的Mindlin解计算土体位移，由桩体位移和土体位移协调条件建立平衡方程，从而求解桩体位移和应力。如图3-4-1所示，弹性半无限体内深度z₀处作用集中力P，离地面深度z处的作一点M的位移和应力的Mindlin解如下。

图3-4-1 Mindlin解示意图

竖向位移解

竖向应力解

式中；

z ₀——集中力作用点的深度；

ν_s——土体的泊松比；

E——土体的弹性模量。

对图3-4-2所示的单根摩擦桩进行分析，把桩当作在地面处受有轴向荷载P、桩长为L、桩身直径为D。为了便于分析，假设桩侧摩阻力为沿桩身均匀分布的摩擦应力p，桩端阻力为在桩底均匀分布的垂直应力p_b。

图3-4-2 摩擦桩分析示意图

在进行分析时，将桩划分成n个单元，每段桩长为L/n。分析中假定桩侧面为完全粗糙，桩底面为完全光滑，并认为土是理想的、均质的、各向同性的弹性半空间，其杨氏模量为E_s，泊松比为v_s，它们都不因桩的存在而改变。如果桩-土界面条件为弹性的，且不发生滑动，则桩和其邻接土的位移相等。对于图3-4-2中的典型桩单元i，由于桩单元j上的侧摩擦力p_j使桩单元i处桩周土产生的竖向位移ρs_ij可表示为

式中 I_ij——单元j上的剪应力p_j=1时在单元i处产生的土的竖向位移系数。

所有的n个单元应力和桩端应力使单元i处土产生竖向位移为

式中 I_ib——桩端应力p_b=1时在单元i处产生的土的竖向位移系数。

对于其他的单元和桩端可以写出类似的表达式，于是，桩所有单元的土位移可用矩阵的形式表示为

式中——土的竖向位移矢量；

{p}——桩侧剪应力和桩端应力矢量；

［I_s］——土位移系数的方阵，由下式给出：

式中［I_s］中各元素表示半空间体内单位点荷载产生的位移，可以由Mindlin方程的数值积分求得。

根据位移协调原理，若桩土间没有相对位移，则桩土界面相邻的位移相等，即

式中 {ρ^p}——桩的位移矢量。

若考虑桩是不可压缩的，则上式中的位移矢量是常量，等于桩顶沉降。根据静力平衡条件及式（3-4-4）和式（3-4-5），联立求即可求得n个单元的桩周均布应力p_j、桩端均布应力p_b以及桩顶沉降s。计算时也可以考虑桩身的压缩，按图3-4-2所示计算简图得到各桩单元的压缩量，进而得到桩的位移矢量，可自行推导。

弹性理论方法概念清楚，运用灵活。但受其假设的限制，与很多工程情况不符，且土性参数难以确定，计算量很大，故在实际工程应用中较少，但其适合用于程序开发。