3.4　空间问题中一点的应力状态

现在，假定物体在任一点P的六个应力分量σx、σy、σz、τyz、τzx、τxy为已知，试求经过P点的任一斜面上的应力。为此，在P点附近取一个平面ABC，平行于这一斜面，并与经过P点而平行于坐标面的三个平面形成一个微小的四面体PABC，空间问题中一点的应力状态如图3-2所示。当四面体PABC无限缩小而趋于P点时，平面ABC上的应力就成为该斜面上的应力。

命平面ABC的外法线为N，其方向余弦为

cos（N，x）=l

cos（N，y）=m

cos（N，z）=n

设三角形ABC的面积为ΔS，则三角形BPC、CPA、APB的面职分别为lΔS、mΔS、nΔS。另外，设四面体PABC的体积为ΔV。三角形ABC上的全应力p在坐标轴方向的分量px、py、pz。

根据四面体的平衡条件∑Fx=0，得

-σxlΔS-τyxmΔS-τzxnΔS+fxΔV+pxΔS=0

同除ΔS，并略去高阶项，得

px=lσx+mτyx+nτzx　　（3-37）

同理，可以得出另外两个方向的平衡方程为

py=lτxy+mσy+nτzy　　（3-38）

pz=lτxz+mτyz+nσz　　（3-39）

可以根据式（3-37）、式（3-38）、式（3-39），得出空间问题的应力边界条件。如果ABC是物体受面力作用的边界面，则px、py、pz成为面力分量，得出

设斜面ABC上的正应力为σN，则由投影可得

σN=lpx+mpy+npz

将式（3-37）、式（3-38）、式（3-39）代入上式，得出

σN=l2σx+m2σy+n2σz+2mnτyz+2nlτzx+2lmτxy　　（3-43）

设斜面ABC上的切应力为τN，利用（p）2=（σN）2+（τN）2，得出

利用，得出

3.4.1　主应力与应力主向

假设在P点有一个应力主面存在。这样，由于该面上的切应力等于零，所以该面上的全应力就等于该面上的正应力，也就等于主应力σ。于是该面上的全应力在坐标轴上的投影成为

px=lσ

py=mσ

pz=nσ

将式（3-37）、式（3-38）、式（3-39）代入上式，得出

lσx+mτyx+nτzx=lσ

lτxy+mσy+nτzy=mσ

lτxz+mτyz+nσz=nσ

移项后，得

l（σx-σ）+mτyx+nτzx=0　　（3-45）

lτxy+m（σy-σ）+nτzy=0　　（3-46）

lτxz+mτyz+n（σz-σ）=0　　（3-47）

因为l、m、n不全为0，则以上方程组的系数行列式为0，即

展开为

如何求解σ对应的l、m、n，可以利用式（3-45）、式（3-46）、式（3-47）中的任何两式。比如，式（3-45）和式（3-46）同除l1，得

据此，可以求出和，而后利用求出l1，进一步求出m1和n1。

同理，可以求得与主应力σ2（σ3）相应的方向余弦l2（l3）、m2（m3）、n2（n3）。

应力不变量：在一定的应力状态下，物体内任一点的主应力不会随坐标系的改变而有所改变（尽管应力分量随着坐标系改变）。

I1=σ1+σ2+σ3=σx+σy+σz

3.4.2　最大与最小的应力

假定物体内某一点的三个应力主向及与之对应的三个主应力σ1、σ2、σ3已知，将三个坐标轴放在三个应力主向，于是有σx=σ1，σy=σ2，σz=σ3和τyz=τzx=τxy=0。

3.4.2.1　最大与最小的正应力

根据式（3-43），σN=l2σ1+m2σ2+n2σ3。利用关系式l2+m2+n2=1，得出任一斜面上的正应力σN=（1-m2-n2）σ1+m2σ2+n2σ3。为了求出σN的极值，命，由此得m=0，n=0，从而有l=±1，得出σN的一个极值，等于σ1。

同理，又可得出σN的另外两个极值，分别等于σ2和σ3。

由此可见，在物体内的任意一点，三个主应力中最大的一个是该点的最大正应力，而三个主应力中最小的一个就是该点的最小正应力。由此又可见，在三个主应力相等的特殊情况下，所有各斜面上的正应力都相同，且等于主应力，而切应力都等于零。

3.4.2.2　最大与最小的切应力

在选定的坐标系下，利用式（3-37）、式（3-38）、式（3-39），有

px=lσ1

py=mσ2

pz=mσ3

上式代入，并结合σN=l2σ1+m2σ2+n2σ3，得出

为了求出的极值，命，简化以后，得

由此得出，最大切应力和最小切应力为。