2.8　圣维南原理

在求解弹性力学问题时，使应力分量、应变分量、位移分量完全满足基本方程并不困难；但是，要使得边界条件也得到完全满足，却往往困难很大（因此，弹性力学问题在数学上被称为边值问题）。

另一方面，在很多的工程结构计算中，都会遇到这样的情况：在物体的一小部分边界上，仅仅知道物体所受的面力的合成，而这个面力的分布方式并不明确，因而无从考虑这部分边界上的应力边界条件。

在上述两种情况下，圣维南原理有时可以提供很大的帮助。

圣维南原理为：如果把物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同）。那么，近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以忽略不计。

圣维南原理的图解如图2-9所示，例如，设有柱形构件，在两端截面的形心受到大小相等而方向相反的拉力P。如果把一端或两端的拉力变换为静力等效的力，则只有虚线画出的部分的应力分布有显著的改变，而其余部分所受的影响是可以不计的。如果再将两端的拉力变换为均匀分布的拉力，集度等于P/A，A为构件的横截面面积，仍然只有靠近两端部分的应力受到显著的影响。这就是说，在图2-9所示的四种情况下，离开两端较远的部分的应力分布，并没有显著的差别。

必须注意：应用圣维南原理，绝不能离开“静力等效”的条件。另外，圣维南原理只能应用于物体的一小部分边界上（又称为局部边界、小边界或次要边界），因为如果应用于大边界上（又称为主要边界），必然使整个物体的应力状态发生显著改变。

人物

Augustin-Louis Cauchy

Augustin-Louis Cauchy（柯西，1789—1857年）是法国数学家、物理学家、天文学家。1807—1810年，Cauchy在École des-ponts Paris Tech（法国国立路桥学校）学习，曾当过交通道路工程师。由于身体欠佳，接受了拉格朗日和拉普拉斯的劝告，放弃工程师而致力于纯数学的研究。Cauchy在数学上的最大贡献是在微积分中引进了极限概念，并以极限为基础建立了逻辑清晰的分析体系。这是微积分发展史上的精华，也是Cauchy对人类科学发展所做的巨大贡献。Cauchy在其他方面的研究成果也很丰富。复变函数的微积分理论就是由他创立的。在代数方面、理论物理、光学、弹性理论方面，也有突出贡献。

Cauchy、Navier和Saint Venant架设了早期的弹性力学。1828年，Cauchy引进了应力和应变的概念，并推导出平衡微分方程和几何方程。因此，人们常以此为弹性力学的真正开端。