2.2 有限元法的概述

随着电子和细微产品的不断发展，微纳结构的加工对生产率、基底表面质量和加工精度提出了更高的要求，有限元模拟将是解决这一系列问题的重要手段^[65]。采用有限元法模拟切削可获得切削实验无法或难以直接测量的状态变量，如加工后工件的应力场、应变场和切削温度分布等。根据仿真模型选择恰当的切削参数和刀具参数，有利于得到高质量的单晶硅表面，为进一步在单晶硅表面进行机械-化学加工微纳结构奠定基础。有限元法的基本思想如下：

1.结构简化及连续体的离散化

将真实结构简化为力学模型，引入一些假设和简化条件。此外，还要对载荷做某些简化。计算中就是使用该简化后的模型^[66，67]。然后将连续体离散为有限个形状规则的小单元体，相邻单元之间用节点相连并对单元和节点进行编号。作用在单元上的外载荷，按等效原则移植为节点载荷。用划分后的有限个小单元的集合体，代替原来的连续体。

2.单元分析

1）Marc是以单元节点位移作为基本未知量。假定单元位移模式（单元的位移插值函数），单元内其余各点的位移通过节点位移用插值函数{u}=[N]{u ^e}求得^[68]。{u}是单元内任一点的位移列阵；{u ^e}是单元节点位移列阵；[N]是单元形函数矩阵。

2）利用几何方程、物理方程{ε}=[B]{u ^e}、{σ}=[D]{ε}导出单元应力表达式：

式中 {ε}、{σ}——单元内任一点应变、应力列阵；

[B]、[D]——单元应变、弹性矩阵；

[S]=[D][B]——单元的应力矩阵。

3）由虚功原理得{R^e}=dV，简写为{R ^e}=[K ^e]{u ^e}。

其中，节点外载荷为

式中——单元内体力（或内热源）的贡献；

——面力（或热流）的贡献；

F——节点集中力；

[K^e]=∫_V[B]^T[D][B]dV——单元刚度矩阵；

u^*e——单元e中节点虚位移，它所引起的虚应变为ε^*。

3.整体分析

将单元刚度矩阵[K ^e]组集成总体刚度矩阵[K]，并将{R ^e}组集成总载荷列阵{R}。一般说来，集合所依据的原理是根据节点上力的平衡条件得出的。于是得到以总载荷列阵{R}、总体刚度矩阵[K]以及整个物体的节点位移列阵{u}表示的整个物体的平衡方程为

引入边界条件，求出各节点的位移，解出整体结构的节点的位移列阵{u}后，再根据单元节点的编号找出对应于单元的位移列阵{u^e}，单元内任一点的应力和应变就可利用几何、物理方程求得。