2.2 复合材料介电模型

复合材料由两种或两种以上的物质混合而成，且大多数以固相、液相和气相组成的多相体存在，如水泥混凝土和沥青混合料。水泥混凝土由水泥净浆、骨料和空气混合而成；骨料、沥青、空气又是沥青混合料的主要组成成分。复合材料介电常数主要与组成成分介电常数、体积率、几何结构特点、电化学特性、测试频率、温度等因素有关，描述复合材料整体介电常数与上述影响因素之间关系的式子，称为复合材料介电模型。国内外，基于理论分析或试验研究先后提出若干模型，这些模型大致可以分为两类：一类与介质的组成结构有密切关系的理论模型，即依据介质的微观组成结构，运用相关理论对极化机制进行研究，推导出介电常数的理论模型；而另一类是根据试验数据，通过数据拟合建立的统计函数模型。下面将常用的经典介电模型逐一介绍。

2.2.1 Lichtenecker-Rother （LR）方程

式中 ε_m、ε_i——混合介质、成分i的介电常数；

v_i——组成成分i所占的体积比；

c——几何形状影响系数。

Lichtenecker-Rother（LR）方程^［62］中c取不同值时表示不同情况：若复合材料的多相是层状的交替或平行的随机排列，且电极也平行于层面，即相当于串联混合，那么c=-1；若多相是层状的交替或平行的随机排列，但是电极是垂直于层面，即相当于并联混合，那么c=+1。此处，并联和串联分别代表的是两种材料复合的几何极端，多数情况下，参数c在（-1～+1）之间变化。

针对由土颗粒、自由水及空气组成的饱和土，Roth等（1990）研究发现：c取值为0.5，误差较小，所以c=0.5时LR方程可用来计算大部分三相土的介电常数^［63］；Dobson等（1985）则将土体假设称为由土颗粒、自由水、空气及结合水组成的四相混合介质，其研究结果显示：c取值为0.65时较为合适^［64］。

如果是非均匀介质，可看成既是串联混合又是并联混合，那么n≈0，则这时可有混合对数法则——Lichtenecker公式^［65］：

如果将参数c（-1～+1）取不同的值，则LR方程可以演变为以下几种常见介电模型：

（1）当参数c=1时，被称为Brown模型，又称为线性模型^［66］：

（2）当参数c=0.5时，被称为复折射率法（CRIM），又称均方根模型，在土壤学和地球物理领域应用广泛。

（3）当参数c=1/3时，则为Looyenga模型、立方根模型：

根据相关研究成果，立方根模型非常适用于模拟计算球形和随机分布的椭圆形物质介电常数，在石油测井领域被广泛地应用。

2.2.2 瑞利（Rayleigh）模型

介质为两相复合材料时，瑞利模型为

将该模型拓展到n相介质：

2.2.3 其他模型

1.Böttcher方程

对称两相复合材料的Böttcher方程为

应用于多相复合材料的Böttcher介电模型：

2.Berentsveig公式

式中 ε——混合介质的平均介电常数。

平均介电常数定义为

式（2.22）也可以变换为

3.Bruggeman-Hanai （BH）模型

式中——混合材料、主要成分、其他成分的介电常数。

一些研究人员也将BH方程进行变换，并提出了其概括模型，概括模型主要是在模型中引入极化参数L，并将极化参数取之为0到1之间，其表达式为

在概括模型中，当极化参数L=0时，则概括模型等同于c=+1的LR方程；当极化参数L=1时，概括模型与c=-1的LR一致。

4.Wagner and Landau模型

5.Wiener模型

式中 F——调节系数，且-1≤F≤1。

6.李剑浩介电常数新公式

7.Bruggeman、Bottcher和Odelevsky模型

除此之外，国内外许多学者还对一些成分复杂的物质介电模型进行了研究^［67-69］，提出了一些有用的理论公式，为研究物质介电模型的研究提供了理论基础。