前 言

伟大的作曲家伊戈尔·斯特拉文斯基（Igor Stravinsky）曾经说过：“音乐这种形式和数学较为接近——也许不是和数学本身相关，但肯定与数学思维和关系式有关。”的确，许多作家对数学与音乐之间的密切关系都曾加以评论。他们指出，很多科学家都喜欢聆听音乐，甚至亲自演奏乐器；每论及此，阿尔伯特·爱因斯坦（Albert Einstein）和他那把标志性的小提琴就会浮现在我们的脑海中。除此之外，类似的例子不胜枚举。

这一说法可能是正确的，但是在过去，这两个领域之间的关系从未真正保持对称。例如，数学和音乐都采用某种行之有效的符号系统——一组书面符号（尽管音乐领域还有许多口头术语，更多地用于标识演奏时的情感），业内人士均能精确地领悟和把握。另外让人感兴趣的是，尽管数学领域由于新的分支不断涌现，其所采用的符号系统时至今日仍在不断发展，但这两套系统大致在相同的时间，即公元1 000年左右，开始起步。

数学和音乐也共享不少术语。以“调和”（harmonic）一词为例，它作为形容词时，意思是“悦耳的”；如果作为名词，指的则是所有乐器合奏时所形成的一系列高亢的泛音。如今，这个词在数学和音乐领域都得到广泛运用；两卷本的《百科全书数学词典》(Encyclopedic Dictionary of Mathematics)至少列出了20多个该词汇的用法，包括“调和平均数”（harmonic mean）、“调和级数”（harmonic series）、“调和分析”（harmonic analysis），以及“调和函数”（harmonic function）。其他通用的术语还包括“转位/逆”［inversion，音乐的音程（interval）的转位/相对于圆的某个点的逆点］、“根音/根”（root，音乐和弦的根音/数字或者方程的根）、“进行/数列”（progression，音符的进行/数字的数列）、“音列/序列”［series，在音乐领域，阿诺德·勋伯格（Arnold Schoenberg，1874—1951）的十二音谱曲法用到了“音列”的概念；在数学中，求无限项的总和时则会用到“序列”的概念］。

过去的250年间，音乐一直是数学家的灵感源泉，他们在这眼泉水里总能找到非常特别的问题，让自己的头脑保持工作状态。其中，最著名的可能就是“振动弦”（vibrating string）的问题。18世纪，这个问题成为某些最伟大的数学家之间相互对垒的议题，而与此相关的争论持续了50多年，最终导致了后微积分时代的数学发展。对于两个正数a和b，其算术平均值（arithmetic means）、几何平均值（geometric means）和调和平均数（harmonic means）分别为A=、G=和H=，这三种公式极有可能源自八度的2:1、五度的3:2和四度的4:3这三个比例，它们均为毕达哥拉斯的“完全协和”（perfect consonances）音程——正如形容词“悦耳的”所蕴含的意味。作为数论的一个分支，处理连分数的理论可能就源于探求音阶（scale）中各种音程的最佳数值比的过程。

但是，数学是否对音乐也产生了同样的影响呢？显而易见，数学对音乐的技术层面有更多的发言权，例如对乐器的音调，或者如何设计音乐厅使其实现最完美的声响效果等。然而，对作为艺术的音乐而言，除了一些特例，数学产生的影响相当有限；这两个学科都各自遵循着自身的发展规律。这种认为两者相互独立的典型观点，可以参考莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）关于音乐理论的诸多论述（参见第四章），尽管有人指出，“对音乐家来说，它包含的几何知识过于庞杂，而在几何学家看来，它囊括的音乐知识又太过繁复”。

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我在一个热爱欧洲文化——文学、艺术和音乐的家庭中长大。我的父母都没有受过音乐训练，但是，我的母亲是一位艺术家，她非常热爱莫扎特；每当她坐在桌旁，描绘那些美丽的花朵时，她总会把收音机调到古典音乐频道。因此，莫扎特和他的音乐，以及母亲告诉我的关于他的许多故事，都成为我童年生活的一部分。有一天，她带我去看一部讲述莫扎特生平的电影。那时，距离彼得·谢弗（Peter Shaffer）虚构的《阿马德乌斯》(Amadeus)①成为头条新闻，还有几十年的时间。我记得，当看到莫扎特处于弥留之际，仍在病榻上向他的弟子苏斯迈尔（Süssmayr）口授那部未完成的《安魂曲》(Requiem)时，我不禁为他人生中的这最后一幕潸然泪下。

但是，使我对科学和音乐保持终生热爱的实际上是我的外祖父。1938年，由于纳粹的严酷统治，犹太人的生活难以为继，他和我的外祖母离开德国，前往以色列（接着又到了巴勒斯坦）。我有一张他的照片（参见写有献辞的那一页），［1］当时我大约五岁，照片中他正为我演奏小提琴。在这张由我母亲拍摄的照片背面，她写上了那首外祖父为我演奏的歌曲的名字——《可爱的月亮，你走得如此安详》(Guter Mond, du gehst so stille)，这是一首传统的德国摇篮曲。［2］那成为我人生中的第一场现场演出，时至今日，往昔的情景依旧历历在目。直到有一天，外祖父告诉我说他必须和小提琴说再见了——他迫切地需要钱。顷刻，我泪流满面。［3］

另外，我还有一本外祖父在中学（高中）学习时用过的物理书。这本书于1897年出版，附有数百幅精美的插图；更重要的是，它报道了物理学的最新进展，包括X射线［当时被称为“伦琴射线”（Röntgen rays）］的发现及其对医学的潜在益处。他肯定非常认真地研读过这本书，因为几乎每一页都有他手写的注释。我们会一起坐上好几个小时，他向我解释各种各样的东西，这是我接受的最早的科学启蒙。我至今还保存着这本书，并视若珍宝（参见图P.1）。

20世纪40年代，战争的阴云笼罩着世界，但我的父母仍偶尔在位于特拉维夫的家中播放古典音乐来款待客人。他们用一个机械转盘，也就是留声机，来播放黑胶唱片，录音规格为78转/分。我是多么喜欢这些时光啊！留声机必须使用一个较大的曲柄，也就是通常所说的“曼努埃拉”（manuela），需要用手将它摇上一阵，才能让留声机转上大约10分钟，这点时间刚好够播完唱片的两个面。如果你没有及时上足发条，转盘就会慢下来，而音乐的节奏随之减缓，音高降低。一首时长40分钟的贝多芬的交响曲需要五六张此类唱片，它们一般被存放在一本看上去像老式相册（album）的夹子里（现在常用来指代歌曲专辑的“album”一词可能就来源于这种老式唱片册）。每本唱片册都像上千页的微积分教科书那么重！切记，切记！千万不要让哪张唱片从夹子里滑出来，它会在地板上跌成碎片。但是，播放唱片时，唱针才是最需要关注的。每播放十几个小时，就应该更换一下唱针，否则它会变钝，并损伤唱片的音槽。唱针由铬制成，而在战争期间，铬的供应受到严格限制。不过好在很快，替代品——木制唱针就出现了！不消说（此处不含有任何双关意义），木制唱针播放出来的声音异常沙哑，但正是这种声音带给我古典音乐的启蒙。

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“每个聪明的音乐家都应该熟悉他的艺术背后所隐含的物理定律。”克拉伦斯·G. 汉密尔顿（Clarence G. Hamilton）在他那本于1912年出版的迷人小册子《声音及其与音乐的关系》(Sound and Its Relation to Music)中写道。如果我们能暂时忽略他那些言论中略微夸大其词的成分（注意，尽管他说出的那句话只针对男性音乐家，但也的确符合当时的社会规范），事实也的确如此，仅有很少的古典作曲家在他们的职业生涯中曾与数学或物理打过交道。在这为数不多的人中，有两个名字脱颖而出：一位是让—菲利普·拉莫（Jean-Philippe Rameau，1683—1764），他写了一篇流传颇广的关于声学的论文；另一位是朱塞佩·塔蒂尼（Giuseppe Tartini，1692—1770），此人发现了如今所谓的混合音（combination tones，参见第五章）。在我们的时代也出现了某些改变，几位作曲家将他们的音乐建立在数学定律之上，都取得了不同程度的成功。他们中的佼佼者就是勋伯格，他的系列作品会在第九、十章中被详细介绍。此外，我还要提到伊阿尼斯·泽纳基斯（Iannis Xenakis，1922—2001）和卡尔海因茨·施托克豪森（Karlheinz Stockhausen 1928—2007）。前者在改行做音乐前，曾接受土木工程师和建筑师的专业训练，他在自己的音乐作品中用到了随机理论（stochastic principles）；整体看来，他的曲谱充斥着扭曲的图形和线条，而不是那种传统乐谱里的音符和五线谱。在最初的一段时间里，他们的作品受到了富有先锋主义精神的听众的热烈欢迎。但是，这些作品能否被古典音乐的主流接纳，尚待观察。

数学和音乐，这两个领域拥有如此多的相似之处，但彼此之间又保持着一定的距离。本书所讲的，正是关于这种相互关系的故事。这绝不是一本想对此做全面历史回顾的书，也不是一本关于音乐的数学物理教程，这类教材已经有很多优秀的代表。相反，我想做的只是从历史的角度来审视一下音乐和数学之间的亲密关系，着眼于那些真实发生过的事情，以及故事背后的人物——那些科学家、发明家、作曲家，以及偶尔出现的怪人。尽管在某些事情上，一些读者可能会提出反对意见，但是，我并不因此而羞于表达自己的观点，例如通常与音乐声调的设定相关的情感属性。在我看来，它们有些被过度夸大了。本书适合那些对数学、音乐和科学感兴趣的普通读者，书中没有任何超出高中代数和三角学的数学要求。但是，如果读者具备音乐符号的基本知识的话，会比较有助于阅读。

然而，最后需要指出，所有将数学与音乐联系在一起的尝试，实质上都是受到限制的，因为这两个领域的目标相互矛盾：数学，以及更广泛意义上的科学，其目标是激发我们的智慧和以客观、逻辑的方式分析抽象模式及关系的能力；而音乐，则致力于触摸我们的心灵，唤醒我们对声音、节奏、时间和听觉模式的情感反应。在这里，让我们借用亚利桑那州凤凰城乐器博物馆（Musical Instrument Museum，简称MIM）的一句迎客辞：“音乐是灵魂的语言（Music is the language of the soul）。”

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任何像这样的有关跨学科主题的讨论，都难免会涉及几个相邻的领域。不言而喻，物理定律无论是在音乐领域，还是在天文领域都发挥着作用——从毕达哥拉斯信奉行星的轨道是由音乐般和谐的定律控制，一直到19世纪晚期，人们发现行星及其卫星的运行轨道间存在共振现象，并且这种共振通常具有常用的音乐音程比例（参见第十二章）。我们或许还要提及人们最近在星系之间的广袤空间中所检测到的声波，它们具有特定的波长和音高（参见附录C），这也许反映了像古老寓言一样的《宇宙音乐》(Music of the Spheres)的轮回。

无论如何，在数学和物理科学之间，甚至推广到数学和人文科学之间，我们今天所划出的森严界限并非前人的普遍做法。事实上，直至19世纪初期，经典科学领域的大部分伟大人物都认为自己既是数学家，又是哲学家、物理学家和自然科学家。他们在诸多学科中游刃有余，且一致认为这些学科有助于理解大自然的运行方式。在这份入选的学科名单中，自然也包括音乐。

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关于参考书目的说明：为了避免重复，文本中提及并出现在参考书目中的书籍仅有作者的姓名和书名。我几乎不需要特别说明，所有与音乐有关的术语，以及诸多作曲家的生平等内容，在巨细无遗的29卷本《新格罗夫音乐和音乐家词典》(The New Grove Dictionary of Music and Musicians)［该书于2001年由麦克米伦公司（Macmillan）出版，可以通过www.oxfordmusiconline.com在线查阅］中都有详细记录。在苏格兰的圣·安德鲁斯大学的数学与统计学院（School of Mathematical and Computational Sciences, University of St Andrews）的网站（www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Indexes/ HistoryTopics.html）上，可以找到许多数学家的优秀传记。

在此，我非常感谢我的朋友和同事们，包括戴维·安德烈·阿纳蒂（David Andrea Anati）、威尔伯·霍普（Wilbur Hoppe）、罗伯特·兰格（Robert Langer）和迈克尔·斯特林（Michael Sterling），我们就数学和音乐方面的问题进行过许多讨论，都让我受益匪浅。我还要感谢匿名审稿人，正是他们阅读了手稿，给我提出了有益的评论和建议。我要大大地拥抱一下维基·卡恩（Vickie Kearn），这位我充分信任的编辑在普林斯顿大学出版社工作了近20年，感谢她在本书编写过程中的各个阶段都给予了宝贵的建议和指导。我还要衷心感谢普林斯顿大学出版社的工作人员，他们在出版本书的各个环节中均不懈地努力。特别地，我要感谢黛比·特加登（Debbie Tegarden），她监督了本书的整个出版过程，并在选择众多插图的过程中提供了巨大的帮助；感谢劳伦·布卡（Lauren Bucca）主动帮助获取了许多使用这些插图所需的权限；感谢克里斯·费兰特（Chris Ferrante）提供原版的文字和护封的设计；还要感谢迪米特里·卡列特尼科夫（Dimitri Karetnikov）、梅根·卡纳贝（Meghan Kanabay）、伊丽莎白·布拉泽耶夫斯基（Elizabeth Blazejewski）和雅基·普瓦里耶（Jacquie Poirier）的协同配合，完成了原版图片、数字文档和文字的排版工作。我还要感谢卡罗勒·施瓦格尔（Carole Schwager）对手稿进行复制编辑，以及乔迪·贝德（Jodi Beder）帮助抄写第十章中勋伯格的音列音乐。为了让文中的插图具有最好的效果，我的孙子理查德·马奥尔（Richard Maor）也提供了非常大的帮助，对此我非常感谢。最后，同样非常重要的是，我要对我亲爱的妻子达利亚（Dalia）致以最热诚的谢意。在本书的成书过程中，她一直鼓励着我，并在本书付梓之前进行了细致的校对。如果没有她，这本书将永远不会见到光明。谢谢大家！

注释

［1］感谢我的妹妹舒拉米特·内桑森（Shulamit Nathansohn），我们从父母那里继承了数百张照片，是她从中找到了这张照片。

［2］感谢互联网使我得以再次发现那首歌，其时距离外祖父为我演奏已经过去了整整75年。你可以在https://www.youtube.com/watch?v= 7C_yFytWKlU听到朱利·安尼尔演唱的版本。

［3］我还保存着外祖父的音叉（tuniy fork，参见第七章），那是他用来给小提琴调音的。在一根叉上刻有字母“A”；虽然生锈了，它仍然会产生音符A（La），频率为准确无误的440赫兹（Hz，即每秒的旋转次数）。

①又译《莫扎特之死》《上帝的宠儿》等，是“二战”后英国当代著名剧作家彼得·谢弗的代表作之一。不仅话剧版在英国国家剧院和美国百老汇票房大卖，电影版还获得第57届奥斯卡最佳改编剧本等八项大奖。——译者注