1.5.1 数值信息的表示

1.数的定点和浮点表示

在计算机中，一个带小数点的数据通常有两种表示方法：定点表示法和浮点表示法。在计算过程中小数点位置固定的数据称为定点数，小数点位置浮动的数据称为浮点数。

计算机中常用的定点数有两种，即定点纯整数和定点纯小数。将小数点固定在数的最低位之后，就是定点纯整数。将小数点固定在符号位之后、最高数值位之前，就是定点纯小数。

我们知道一个十进制数可以表示成一个纯小数与一个以10为底的整数次幂的乘积，如135.45可表示为0.13545×103。同理，一个任意二进制数N可以表示为下式：

其中，S称为尾数，是二进制纯小数，表示N的有效数位；J称为N的阶码，是二进制整数，指明了小数点的实际位置，改变J的值也就改变了数N的小数点的位置。该式也就是数的浮点表示形式，而其中的尾数和阶码分别是定点纯小数和定点纯整数。例如，二进制数11101.11的浮点数表示形式可为：0.1110111×25。

2.数的编码表示

一般的数都有正负之分，计算机只能记忆0和1，为了将数在计算机中存放和处理就要将数的符号进行编码。基本方法是在数中增加一位符号位（一般将其安排在数的最高位之前），并用“0”表示数的正号，用“1”表示数的负号，例如：

数+1110011在计算机中可存为01110011；

数-1110011在计算机中可存为11110011。

这种数值位部分不变，仅用0和1表示其符号得到的数的编码，称为原码，并将原来的数称为真值，将其编码形式称为机器数。

按上述原码的定义和编码方法，数0就有两种编码形式：0000…0和100…0。所以对于带符号的整数来说，n位二进制原码表示的数值范围是：

例如，8位原码的表示范围为：-127～+127，16位原码的表示范围为-32767～+32767。

用原码作乘法，计算机的控制较为简单，两符号位单独相乘就得结果的符号位，数值部分相乘就得结果的数值。但用其作加减法就较为困难，主要难在结果符号的判定，并且实际进行加法还是进行减法操作还要依据操作对象具体判定。为了简化运算操作，把加法和减法统一起来以简化运算器的设计，计算机中也用到了其他的编码形式，主要有补码和反码。

为了说明补码的原理，先介绍数学中的“同余”概念，即对于a、b两个数，若用一个正整数K去除，所得的余数相同，则称a、b对于模K是同余的（或称互补）。就是说，a和b在模K的意义下相等，记作a=b（MOD K）。

例如，a=13，b=25，K=12，用K去除a和b余数都是1，记作13＝25(MOD12)。

实际上，在时针钟表校对时间时若顺时针方向拨7h与反时针方向拨5h小时其效果是相同的，即加7和减5是一样的。就是因为在表盘上只有12个计数状态，即其模为12，则7＝-5(MOD12)。

对于计算机，其运算器的位数（字长）总是有限的，即它也有“模”的存在，可以利用“补数”实现加减法之间的相互转换。下面仅给出求补码和反码的算法和应用举例。

（1）求反码的算法。

对于正数，其反码和原码同形；对于负数，则将其原码的符号位保持不变，而将其他位按位求反（即将0换为1，将1换为0）。

（2）求补码的算法。

对于正数，其补码和原码同形；对于负数，先求其反码，再在最低位加“1”（称为末位加1）。

求原码、反码和补码的计算，举例如表1.1所示（以8位代码为例）。

若对一补码再次求补就又得到了对应的原码。

表1.1 真值、原码、反码、补码对照举例

说明：在二进制数的小数取舍中，0舍1入。（0.82）10=（0.110100011…）2，取8位小数，就把第9位上的1入到第8位，而第8位进位，从而得到十进制0.82的二进制数是0.11010010。在原码中，为了凑8位数字，把最后一个0舍去。-0.6的转换类似。

3.补码运算举例

补码运算的基本规则是[X]_补+[Y]_补=[X+Y]_补，由此规律进行计算。

（1）18-13=5。

由式18-13=18+(-13)，则8位补码计算的竖式如下：

最高位进位自动丢失后，结果的符号位为0，即为正数，补码原码同形。转换为十进制数即为+5，运算结果正确。

（2）25-36=-11。

由式25-36=25+(-36)，则8位补码计算的竖式如下：

结果的符号位为1，即为负数。由于负数的补码原码不同形，所以先将其再求补得到其原码10001011，再转换为十进制数即为-11，运算结果正确。

4.计算机中数的浮点表示

前面已经提到数的浮点表示形式，即阶码和尾数的表示形式。原则上讲，阶码和尾数都可以任意选用原码、补码或反码，这里仅简单举例说明采用补码表示的定点纯整数表示阶码、采用补码表示的定点纯小数表示尾数的浮点数表示方法。例如，在IBM PC系列微机中，采用4个字节存放一个实型数据，其中阶码占1个字节，尾数占3个字节。阶码的符号（简称阶符）和数值的符号（简称数符）各占一位，且阶码和尾数均为补码形式。当存放十进制数+256.8125时，其浮点格式为

即(256.8125)₁₀=(0.1000000001101×21001)₂。

当存放十进制数据-0.21875时，其浮点格式为：

即（-0.21875）₁₀=（-0.00111）₂=（-0.111×2-010）₂。

由上例可以看到，当写一个编码时必须按规定写足位数，必要时可补写0或1。另外，为了充分利用编码表示高的数据精度，计算机中采用了“规格化”的浮点数的概念，即尾数小数点的后一位必须是非“0”，即对正数小数点的后一位必须是“1”；对负数补码，小数点的后一位必须是“0”。否则就左移一次尾数，阶码减一，直到符合规格化要求。