2.4.3　观测矩阵

压缩感知非相干观测的特点，使得观测矩阵需要满足一定的条件才能确保压缩感知的成功实现。那么，观测矩阵需要满足什么样的条件？如何构造观测矩阵呢？压缩感知的理论研究回答了这些问题。

1. 约束等距条件

由于同一信号不能分别在两个不相关的正交基上获得最稀疏表示，而观测矢量y也可看作感知矩阵中K个列矢量的线性组合，因此，为保证观测矩阵不会把两个不同的稀疏信号映射为同一个采样集合，要求观测矩阵是非奇异的。Candès和陶哲轩从能量角度提出了观测矩阵需要满足归一化测不准原则（Uniform Uncertainty Principle，UUP）：

式中，γ_min/max（·）表示矩阵最小/最大奇异值操作，常数0<C₁≤1≤C₂。该条件的一种更加便于计算的等价条件为：对于K-稀疏信号x，保证非相干观测和精确重构的观测矩阵应满足

由式（2-14）可知，线性测量需要具有稳定的能量性质，能够保持K个重要分量的长度。因此，如果信号x稀疏，则观测矩阵Φ必须“稠密”以保证能量的稳定。

为了更加直观，在UUP的基础上Candès等又提出了约束等距性质（Restricted Isometry Property，RIP）：若存在常数δ_K∈［0，1］，使得

成立，则称矩阵Φ满足K阶RIP条件，其中δ_K为约束等距常数（Restricted Isometry Constant，RIC）。考虑极限情况，取δ_K=0，则不等式变为等式，矩阵Φ为标准正交矩阵，因而也是一个方阵。然而，根据压缩感知理论，Φ∈ℝM×N是一个“扁胖”矩阵，若要满足式（2-15），则需要尽量保持正交矩阵的特性，即Φ中的列矢量相互高度不相关。因此，RIP条件及RIP常数实际上刻画了从矩阵Φ中任意抽取K列所形成的M×K维矩阵接近于正交矩阵的程度。RIP常数δ_K越接近零，对应的Φ就越近似于正交阵，相应地矩阵性能也越好。

2. 观测矩阵的构造

压缩感知中的观测矩阵必须满足RIP性质。目前，观测矩阵大致可以分成随机矩阵、欠采样酉矩阵、结构化矩阵、确定性矩阵四大类。随机观测矩阵由于其无结构的特性，在理论和实验中得到了普遍应用。随着应用的推进，结构化观测矩阵的优势得以凸显，因此，寻找确定性矩阵成为近年来压缩感知理论研究的热门方向。下面介绍几种经典随机观测矩阵以及近年来出现的结构化观测矩阵。

（1）随机观测矩阵

①高斯矩阵。高斯随机矩阵是最早被论证和使用的随机观测矩阵，其原子服从正态分布N（μ，σ2）。该矩阵的特点在于其普适性，可保证与几乎所有的稀疏基具有低互相关性，甚至与另一高斯矩阵也不相关。另一方面，高斯矩阵也易于在仿真中实现。

②符号随机矩阵。这类矩阵的元素为，元素符号独立获得，且在统计意义上，正元素与负元素等概率出现。

③部分Hadamard矩阵。Hadamard矩阵H仅包含±1两种元素，且满足

HTH=NI

（2-16）

式中，N为矩阵维数，I表示N维单位矩阵。部分Hadamard矩阵由Hadamard矩阵随机抽取M列得到，M对应压缩感知观测次数。

④部分傅里叶矩阵。部分傅里叶矩阵的构造原理和部分Hadamard矩阵的构造原理类似，即从傅里叶变换对应的方阵中随机抽取M列得到。

（2）结构化观测矩阵

①Toeplitz矩阵。为了借鉴随机矩阵中元素相互独立的特性，考虑采用特定的矩阵结构结合相互独立的元素来构造观测矩阵。Toeplitz型观测矩阵即为上述思想指导下的一种结构化矩阵方案：从某种分布或变量中随机独立抽取标量r_i作为元素，再用这些元素构造Toeplitz矩阵作为观测矩阵。

式（2-17）中，Φ的元素满足

Toeplitz观测矩阵的元素具有固定结构，可以减少观测矩阵的存储开销。在硬件计算矩阵相乘时，Toeplitz结构的矩阵具有多种快速算法，且这种结构还存在于多种工程问题中，易与实际应用相结合。

②混沌矩阵。混沌矩阵的思路类似于Toeplitz矩阵的思路，也是用可获得的相互独立的原子结合固有结构得到观测矩阵。在该方案中，元素从混沌序列中以一定的间隔进行抽取，保证相互独立，再将这些元素按一定模式排列组成观测矩阵（同式（2-17））。

③结构化随机矩阵。结构化随机矩阵采用人为的方式来提高观测矩阵与信号的非相干性。首先将正交矩阵F∈ℝN×N和置乱矩阵R∈ℝN×N相乘，再从中随机抽取M列获得观测矩阵。

式中，D为随机抽取FR的矩阵，各列可从单位矩阵中随机抽取得到。为能量因子，使得置乱前后信号能量保持稳定。置乱矩阵R可以选择乱序矩阵（称为全局置乱）或者对角线随机矩阵（称为本地置乱）。本地置乱方式可认为与混合Hadamard观测矩阵方案相同。