3.1　蒙特卡洛法求定积分

蒙特卡洛（Monte Carlo）法是一类随机算法的统称。它是20世纪40年代中期由于科学技术的发展，尤其是电子计算机的发明，而被提出并发扬光大的一种以概率统计理论为基础的数值计算方法。它的核心思想就是使用随机数（或更准确地说是伪随机数）来解决一些复杂的计算问题。现今，蒙特卡洛法已经在诸多领域展现出了超强的能力。本节，我们将通过蒙特卡洛法最为常见的一种应用——求解定积分，来演示这类算法的核心思想。

3.1.1　无意识统计学家法则

作为一个预备知识，先来介绍一下无意识统计学家法则（Law of the Unconscious Statistician，LOTUS）。在概率论与统计学中，如果知道随机变量X的概率分布，但是并不显式地知道函数g（X）的分布，那么LOTUS就是一个可以用来计算关于随机变量X的函数g（X）之期望的定理。该法则的具体形式依赖于随机变量X之概率分布的描述形式。

如果随机变量X的分布是离散的，而且我们知道它的PMF是f_X，但不知道f_g（X），那么g（X）的期望是

其中和式是在取遍X的所有可能之值x后求得。

如果随机变量X的分布是连续的，而且我们知道它的PDF是f_X，但不知道f_g（X），那么g（X）的期望是

简而言之，已知随机变量X的概率分布，但不知道g（X）的分布，此时用LOTUS公式能计算出函数g（X）的数学期望。其实就是在计算期望时，用已知的X的PDF（或PMF）代替未知的g（X）的PDF（或PMF）。

3.1.2　投点法

投点法是讲解蒙特卡洛法基本思想的一个最基础也最直观的实例。这个方法也常常被用来求圆周率π。现在我们用它来求函数的定积分。如图3-1所示，有一个函数f（x），若要求它从a到b的定积分，其实就是求曲线下方的面积。

可以用一个比较容易算得面积的矩型罩在函数的积分区间上（假设其面积为Area）。然后随机地向这个矩形框里面投点，其中落在函数f（x）下方的点为菱形，其他点为三角形。然后统计菱形点的数量占所有点（菱形＋三角形）数量的比例为r，那么就可以据此估算出函数f（x）从a到b的定积分为Area×r。

注意由蒙特卡洛法得出的值并不是一个精确值，而是一个近似值。而且当投点的数量越来越大时，这个近似值也越接近真实值。

3.1.3　期望法

下面来重点介绍利用蒙特卡洛法求定积分的第二种方法——期望法，有时也称为平均值法。

任取一组相互独立、同分布的随机变量｛X_i｝，X_i在［a，b］上服从分布律f_X，也就是说f_X是随机变量X的PDF（或PMF）。令，则g^∗（X_i）也是一组独立同分布的随机变量，而且因为g^∗（x）是关于x的函数，所以根据LOTUS可得

由强大数定理

若选

则依概率1收敛到I。平均值法就用作为I的近似值。

假设要计算的积分有如下形式

其中，被积函数g（x）在区间［a，b］上可积。任意选择一个有简便办法可以进行抽样的概率密度函数f_X（x），使其满足下列条件：

（1）当g（x）≠0时，f_X（x）≠0，a≤x≤b；

（2）。

如果记

那么原积分式可以写成

因而求积分的步骤是：

（1）产生服从分布律f_X的随机变量X_i，i=1，2，…，N；

（2）计算均值

并用它作为I的近似值，即。

如果a，b为有限值，那么f_X可取作为均匀分布

此时原来的积分式变为

因而求积分的步骤是：

（1）产生［a，b］上的均匀分布随机变量X_i，i=1，2，…，N；

（2）计算均值

并用它作为I的近似值，即。

最后来看一下平均值法的直观解释。注意积分的几何意义就是［a，b］区间曲线下方的面积，如图3-2所示。

当在［a，b］随机取一点x时，它对应的函数值就是f（x），然后便可以用f（x）·（b-a）来粗略估计曲线下方的面积（也就是积分），如图3-3所示，当然这种估计（或近似）是非常粗略的。

于是我们想到在［a，b］随机取一系列点x_i时（x_i满足均匀分布），然后把估算出来的面积取平均来作为积分估计的一个更好的近似值，如图3-4所示。可以想象，如果这样的采样点越来越多，那么对于这个积分的估计也就越来越接近。

按照上面这个思路，得到积分公式为

其中，就是均匀分布的PMF。这跟之前推导出来的蒙特卡洛积分公式是一致的。