0.2 形形色色的分岔现象

最常见的分岔有两类：一类是平衡解的分岔，如果在旋转的圆环中来看小环，上面的例子就是一个平衡解的分岔，最初小环在大环的最低点平衡，当旋转参数ω超过临界值后，小环就在大环的另一点平衡，这种分岔也叫静分岔；另一类是霍普夫分岔，它是由平衡状态分出一支周期运动，在上面的例子中，如果在固定参考系中看小环，在临界转速后，小环便产生了一个周期运动。

例如，一根理想的弹性直杆，在两端压力p的作用下，直杆总是处于一种平衡位置。如果把图0.1.1中的ω轴换作参数p，把状态θ换为杆中点的挠度w，则在压力p的作用下，直杆中点的挠度为零是一种平衡状态。当压力p增大时，起初杆还是直的，一旦p超过了某个临界压力p∗，直杆的状态就不再是稳定的了，而是产生了弯曲变形，w 与p的关系类似于图0.2.1所示的曲线。可以看到，当超过临界压力时，挠度随压力的增加是很快的。这是一类典型的静分岔问题。

我们知道，许多结构物都是由受压的杆或其他受压元件组成的，这些结构的受压部分的状态也像受压杆一样，当超过某个临界压力时，结构的挠度或变形会迅速增加而常常导致结构破坏。

人们常见的口琴上有许多簧片。拿其中的一片来看，当吹的口风小时，簧片不发生运动。而当吹的口风稍大时，即超过了某个临界风速，簧片就会产生周期运动而振动起来。这是一种典型的霍普夫分岔。风琴、唢呐、单簧管、双簧管、号、笛等乐器都是利用这个原理制作的。当然，霍普夫分岔并不只可以被用来制作乐器给人们带来快乐，它也会给人带来烦恼和灾难。

几乎所有的噪声，如树叶的沙沙声、机器的隆隆声、摩擦噪声、水管中流水的嗡嗡声等都是和霍普夫分岔相关的。在20世纪三四十年代，航空中曾经发生过一种可怕的空难，即在飞行中当速度超过某个临界值时，机翼产生突然的“颤振”，导致机毁人亡。如果把机翼看作口琴上的簧片，那么“颤振”现象就容易理解了。1940年美国建造了一座吊桥，即长853.4m的塔科马 (Tacoma) 大桥。大桥建成后不久，同年11月7日的一场不大的风 (风速仅为19m/s) 引起了振幅接近数米的“颤振”，在这样大振幅振荡下大桥很快便塌毁了。

在生态学研究中，有一种“捕食者”模型。该模型研究两种动物，如大鱼和小鱼，大鱼吃小鱼。一般来讲，大鱼和小鱼可以在一定的数量上达到平衡。不过，还有一种更为常见的现象是，大鱼、小鱼的数量周期性地振荡变化。当大鱼多时，小鱼就少了，于是大鱼就因为找不到食物而饿死数量 (减少)；大鱼少了，小鱼又因为没有天敌而大量繁殖 (数量增加)。这种振荡也是一种典型的霍普夫分岔。同样，股票市场的涨落、经济危机的周期性发生、沙漠中沙丘的周期性起伏、心脏从正常跳动转化为颤动等都属于分岔现象。

1900年，法国人白纳 (Benard) 做了一个试验。以温度均匀的水平金属板盛放一薄层液体。当加热金属板且上下的温差不大时，液体处于静止状态，热量是通过热传导的方式自下向上传递的。当温差达到某个临界值时，静止平衡的液体成为不稳定的，液体开始流动。此时流场成规则的胞状结构，在每一胞中，流体自中心至边沿形成环流。这个现象解释了白天在日照下地面温度升高后局部地区风的成因。

在物理学中，19世纪中叶人们就发现物质的气、液、固三态之间的变化是依赖于压力和温度等参数的，并且发现这些相态之间的变化和临界参数有关，如临界温度、临界压力等。水在普通气压的条件下在100 ℃时沸腾，变为气相。这100 ℃就是一种临界温度，也就是一个相变的分岔点。临界现象在磁学、电学中还可以找到许多。

分岔现象的例子已经列举了许多，这些例子足以说明它同现代自然科学与技术的联系十分紧密。这也就是为什么分岔现象近年来得到越来越多的重视。