4.3　非完全市场套利定价方法

经典的衍生资产定价所采用的方法就是无套利原则。Beja（1971）是最早用线性函数研究资产定价问题的学者，他认为均衡价格是存在的，而且注意到均衡性质要求泛函是线性的。罗思是最先提出无套利定价这一思想的著名学者之一（Ross, 1976a; Ross, 1976b），他认为客观上存在着一个不仅给实际上市的资产定价的规则，而且也存在能给所有资产定价的规则。套利机会是这样的一个投资策略，即保证在某些偶然情况下获取正报酬而没有负报酬的可能性，也无须净投资。换句话说，套利机会代表的是一个货币泵（money pump）。衍生资产定价理论是现代金融理论的重要内容之一，经典的衍生资产定价方法是构造一个与衍生资产收益完全相等的资产组合，称为完全复制策略，然后根据这一资产组合的价值来确定衍生资产的价格。但是，当金融市场不完全时，衍生资产的完全复制策略不一定存在，这时就不能进行合理的定价。而现实的金融市场是非完全的，那么，在这种情况下，怎样给衍生资产定价呢？Amin（1993）和郑立辉（2000）分别提出了基于鲁棒控制的定价方法。这种方法的基本思路是使衍生资产的价格首先满足卖方的要求，即用这笔衍生资产费用可以构造一个资产组合，使其收益总是大于或等于衍生资产的收益。这样的资产组合被称为强复制策略。Amin（1993）把强复制策略的最低成本作为衍生资产的价格，而郑立辉（2000）则要求衍生资产价格同时满足无套利的要求。事实上，非完全市场衍生资产价格不是一个确定的值，而是一个区间。在完全金融市场情况下，这个区间就退化为一个点，这时衍生资产定价与经典无套利定价方法得到的结果是一致的。本节在单期金融市场模型假设下，研究了非完全市场衍生资产定价问题，首先介绍了经典的无套利定价方法，指出了这种方法只适用于完全的金融市场的局限性，然后把无套利定价思想推广到了非完全市场，提出了衍生资产的定价区间方法和ε-套利定价方法，最后通过算例进一步说明经典的套利定价方法是区间定价方法和ε-套利定价方法的特殊情况。区间定价方法和ε-套利定价方法是经典的套利定价方法的推广，运用ε-套利定价方法所得到的结果一定在运用区间定价方法所得到的区间内。区间定价方法和ε-套利定价方法都既适用于完全金融市场，又适用于非完全的金融市场。

4.3.1　经典套利定价方法

为了更好地理解非完全的市场衍生资产定价方法，还是先给出完全的市场单期离散时间情况下的衍生资产定价方法。

考虑单时期模型，假设在金融市场中只有n种线性无关的风险资产（无风险资产可以看作特殊的风险资产），相应的期初价格向量为q=[q1　…　qn]T∈Rn，风险资产在期末有k种不确定状态，用有限集合S={s1，s2，…，sk}表示。用n×k维矩阵D表示风险资产在不确定状态下的价格矩阵，其元素dij表示风险资产i在状态j情况下的价格。θ=[θ1，θ2，…，θn]T∈Rn表示风险资产组合向量，其中的元素表示各种风险资产的持有量。资产组合θ的期初市场价值为qTθ。用I=[1, 1，…，1]T表示元素都是1的n维列向量。假设以n种风险资产为标的衍生资产收益函数为v：Rn→R，即它在不同状态下的收益为vj=v（d•j）。仍然用v表示衍生资产的收益向量，即v=[v1，v2，…，vk]T，下面我们来看怎样确定衍生资产v的价格p（v）。

以下规定：

≥：表示向量的所有元素非负；

>：表示≥，且在某些分量上是大于；

≫：表示向量的元素均为正数。

首先给出状态价格向量的定义：

定义4.1　如果存在向量X满足DX=q，则称X是一个状态价格向量。

在经典的金融理论中有如下结论（Duffie, 1992）：

定理4.1　当且仅当金融市场没有经典套利机会时，存在一个满足X≫0的状态价格向量，使得p（v）=vT X。

由状态价格向量的定义知，可以通过求解方程组q=DX得到X，然后利用上述结果确定出衍生资产的价格。当金融市场完全时，该方程组有唯一的解，能够利用经典套利的概念确定出衍生资产的价格。但是，当金融市场不完全时，该方程组的未知变量数目大于有效的方程数目。因此方程组的解X不唯一确定，衍生资产的价格也不唯一确定。

定理4.2　对于衍生资产v，如果存在完全复制策略θv，则当且仅当金融市场没有经典套利机会时，有p（v）=qTθv。

同样，当金融市场完全时，通过求解方程组DTθ=v，一定能得到完全复制策略θv。当金融市场不完全时，则上述方程组不一定有解。因此，当金融市场不完全时，用这种方法不一定能够确定出衍生资产的价格。

4.3.2　ε-套利定价方法

我们还是考虑单期离散时间模型，假设条件与4.3.1节所述相同。首先，给出几个定义。

定义4.2　如果资产组合θ满足qTθ≤0且DTθ>0，则称θ是一个传统套利。

定义4.3　如果资产组合θ满足qTθ≤0且DTθ≫0，则称θ是一个确定性套利。

定义4.4　对于给定ε，如果资产组合θ满足qTθ≤0且DTθ+εI≥0，则称θ是一个ε-套利。

确定性套利者在任意状态都得到正的套利收入，它是一个“确定性货币泵”；而传统套利和ε-套利只为套利者提供了获得无风险收益的可能，并不能保证其一定得到正的套利收入，它是一个“概率性货币泵”。ε-套利也是一个“概率性货币泵”，但是，它是一个有风险套利。

为了研究非完全的金融市场中衍生资产的定价方法，下面进一步给出金融市场的结构性概念。

定义4.5　对于任意衍生资产v，如果资产组合θ满足DTθ=v，则称θ是衍生资产v的完全复制策略。

定义4.6　对于任意衍生资产v，如果资产组合θ满足DTθ≥v，则称θ是衍生资产v的强复制策略。

定义4.7　对于任意衍生资产v，如果对于给定ε，资产组合θ满足‖DTθ-v‖≤ε，则称θ是一个ε-不完全复制策略。

记矩阵D张成的空间为span（D）={DTθ，θ∈RN}，则下面三个定义等价：

定义4.8　如果span（D）=RS，则称金融市场是完全的，否则称金融市场是非完全的。

定义4.9　如果n≥k，则称金融市场是完全的，否则称金融市场是非完全的。

定义4.10　在金融市场中，如果对于任意衍生资产v，都存在资产组合θ，使得DTθ=v，那么称金融市场是完全的，否则称金融市场是不完全的。

定义4.11　在金融市场中，如果对于任意衍生资产v，总存在v的强复制策略，那么称金融市场是广义完全的；否则，称金融市场是非广义完全的。

定义4.12　在金融市场中，如果存在某一衍生资产v，都找不到资产组合θ，使得DTθ=v，那么称金融市场是不完全的。

记衍生资产v的ε-复制策略构成的集合为Hε（v）={θ：‖DTθ-v‖≤ε}，则有：

定义4.13　对于衍生资产v和给定ε，其价格p*（v）定义为

这就是基于ε-套利的衍生资产定价公式。

4.3.3　确定性套利方法

继续在4.3.1节给定的假设条件下，讨论基于确定性套利的衍生资产定价方法。显然，如果金融市场是完全的，那么它一定是广义完全的，否则，不一定成立。可见，广义完全性是对完全性的一种推广。

记衍生资产v的强复制策略构成的集合为H（v）={θ：DTθ≥v}。

定义4.14　对于衍生资产v，其价格p*（v）定义为

式（4.3.2）就是基于确定性套利的衍生资产定价公式。一般来说，衍生资产的卖方要构造一个强复制策略来对他的潜在负债进行套期保值，因此衍生资产的卖方要求衍生资产价格不低于它的套期保值成本。于是Amin（1993）把衍生资产的价格定义为最低的套期保值成本。

定义4.15　衍生资产v的卖方价格定义为集合Pw（v）={qTθ：θ∈H（v）}中的元素，买方价格定义为集合Pb（v）={p：p使得金融市场无确定性套利}中的元素，衍生资产的公平价格定义为集合Pf（v）=Pw（v）∩Pb（v）中的元素。

这一定义把所有满足套期保值条件的价格定义为衍生资产的卖价。另一方面，由于衍生资产的买方一般要求衍生资产价格不给卖方带来套利机会；否则他宁愿自己利用这一套利机会，而不会把它让渡给衍生资产的卖方。因此，在定义15中，衍生资产的买价被定义为满足无套利条件的所有价格。衍生资产的公平价格应该同时满足买卖双方的要求，这正是定义15中衍生资产价格的经济含义。下面给出基于确定性套利的衍生资产定价定理，定理的证明见郑立辉和张近（2001）的研究。

定理4.3　当且仅当金融市场不存在确定性套利机会时，存在一个满足X>0的状态价格向量。

定理4.4　如果金融市场不存在传统套利机会和确定性套利机会，那么定义14和定义15确定的衍生资产价格等价，即Pf（v）={p*（v）}。

根据定理4可以得到如下结果：

推论4.1　在金融市场不允许传统套利和确定性套利的条件下，对于任意衍生资产v，如果存在完全复制策略θv，则p*（v）=qTθv，或Pf（v）={qTθv}。

推论4.2　当金融市场是广义完全的并且不允许传统套利和确定性套利时，对于任意衍生资产v，由定义13和定义14确定的衍生资产价格存在，且是唯一的。

4.3.4　区间定价方法

区间定价方法（Musiela & Kutkow ski, 1997）的基本思想仍然采用无套利定价原理，虽然在非完全市场不能确定衍生资产的价格，但却可以确定衍生资产的价格区间。用a表示衍生资产买入者可接受的价格，用b表示衍生资产卖出者可接受的价格，合理的衍生资产价格一定在区间[a，b]上。那么如何确定a和b呢？运用无套利原理。衍生资产的买方希望衍生资产价格的确定不给衍生资产的卖方带来套利机会，否则他宁愿自己利用这一套利机会，而不会把它让给衍生资产的卖方。这样运用衍生资产卖方无套利原则确定的衍生资产价格就是a。同理，运用衍生资产买方无套利原则确定的衍生资产价格就是b，下面在4.3.1节的假设条件下给出确定a和b的公式。

卖方无套利原则：对于衍生资产的买入者来说，就是要确定资产组合向量θ，对买入的衍生资产可能带来的损失进行套期保值，使在保证期末有非负盈利的情况下，把最大的初始成本作为衍生资产的价格，其数学模型为

若记衍生资产v的买方强复制策略构成的集合H（v）={θ：v-DTθ≥0}，则有：

定义4.16　对于衍生资产的v，其价格的下限定义为

按照这个价格，衍生资产的卖方无法构造套利组合。

买方无套利原则：对于衍生资产的卖出者来说，就是要确定资产组合向量θ，对卖出的衍生资产可能带来的损失进行套期保值，使在保证期末有非负的盈利的情况下的最小初始成本作为衍生资产的价格，其数学模型为

若记衍生资产v的卖方强复制策略构成的集合G（v）={θ：DTθ-v≥0}，则有：

定义4.17　对于衍生资产v，其价格的上限定义为

按照这个价格，衍生资产的买方无法构造套利组合。

衍生资产的卖方通过构造的强复制策略来对他的潜在负债进行套期保值所确定的衍生资产的价格就是衍生资产的买方的无套利价格。衍生资产的买方通过构造的强复制策略来对他的潜在负债进行套期保值所确定的衍生资产的价格就是衍生资产的卖方的无套利价格。

非完全市场衍生资产价格区间为：