1.1 函数_医用高等数学-QQ阅读男生历史网

书名：医用高等数学
作者名：刘亚平裴铎巴一
本章字数：2659字
更新时间：2021-04-03 00:18:36

1.1　函数

1.1.1　函数的概念

在观察各种自然现象或实验过程中，常常会遇到各种不同的量，在过程中不断运动和变化的量称为变量（variable）.而这种运动和变化往往都是相互联系、彼此制约的.反映在数量上，就是变量与变量之间的依赖关系，即函数关系.

定义1　设x与y是某个变化过程中的两个变量，若变量x在它可能取值范围内所取的每一个值，变量y依照一定的对应规律f，都有唯一确定的值与其对应，则称变量y为变量x的函数，记为

y=f（x）　　（1.1）

式中：x称为自变量（independent variable），y称为因变量（dependent variable），对应规律f称为函数关系（functional relation）.

例1　外界环境温度对人体代谢率的影响可表达如下：

其中每一对数值可以在直角坐标系中找到相应的点，于是便得到A、B、C、D、E五点，见图1-1.医学中常用折线把它们连接起来，这时环境温度和代谢率两个变量之间的相互影响关系从图中便一目了然.环境温度太低或太高对代谢率的影响较大，只有温度在20℃左右，代谢率最低且比较稳定.故临床做“基础代谢率”时，就要保持室温在20℃左右的条件下进行.

图　1-1

例2　对某糖尿病患者作葡萄糖耐糖试验，每千克体重口服葡萄糖1.75g后，测定血糖结果如下：

例3　设d是某药物的成人剂量，c是该药物的未成年人剂量，a是未成年人的年龄，则有下面两个计算公式：

两个公式分别适用于不同的场合.对给定的药物和不同年龄的未成年人，d是常量，a和c是变量.

上述三例说明，参与同一过程的两个变量之间都存在着某种确定的对应关系.在这种关系下，第一个变量取定了某一个数值，第二个变量也相应地取定某一个数值，抛开变量的具体意义，就可以抽象出函数的概念.

函数常用的表示方法有：解析法（或公式法）、列表法、图像法.

如果当自变量x取某一值x0时，函数具有唯一确定的对应值，则称函数在x0处有定义.使函数有定义的自变量的取值范围称为函数的定义域（domain of definition）.把以x0为中心，长度为2δ的开区间（x0-δ，x0+δ）称为点x0的δ邻域（neighborhood），记为x0-δ<x<x0+δ或｜x-x0｜<δ.在点x0的δ邻域内，去掉x0点所得到的开区间（x0-δ，x0）和（x0，x0+δ）称为点x0的δ去心邻域（deleted neighborhood），记为

x0-δ<x<x0，x0<x<x0+δ或0<｜x-x0｜<δ

所以说函数f（x）在点x0的某个邻域内有定义，即指存在某个正数δ，使得f（x）在区间（x0-δ，x0+δ）内每一点都有定义.

一般地，函数的定义域应由问题的实际意义来确定.例如，物体自由落体的运动方程的定义域为（其中h为落体距地面的高度）；1～6个月的婴儿体重方程y=3+0.6x的定义域为[1，6].当函数用纯粹的解析式给出时，其定义域就是使该解析式有意义的自变量的取值范围.

对于函数y=f（x），当自变量x在定义域中取定值x0时，f（x）的对应值称做函数当x=x0时的函数值（value of function），记为f（x0）或

函数值的全体称为函数的值域（range）.

1.1.2　函数的特性

1.有界性

设函数f（x）在区间（a，b）内有定义，如果存在一个正数M，使对所有的x∈（a，b），恒有｜f（x）｜≤M，则称函数f（x）在；（a，b）内是有界的.如果不存在这样的正数M，则称（x）在（a，b）内是无界的.

例如：sin x在（-∞，+∞）内是有界的在[2，+∞）内是有界的，但在（0，2）内是无界的.

2.单调性

设x1、x2是函数f（x）的定义区间（a，b）内的任意两点，且x1<x2，若f（x1）<f（x2），则称f（x）在（a，b）内是单调递增的；若f（x1）>f（x2），则称f（x）在（a，b）内是单调递减的.

3.奇偶性

如果对于函数f（x）定义域内的任意点x，恒有f（-x）=f（x），则称f（x）是偶函数；如果对于函数f（x）定义域内的任意点，恒有f（-x）=-f（x），则称f（x）为奇函数.偶函数的图像是关于y轴对称的，而奇函数的图像是关于坐标原点对称的.

4.周期性

对于函数f（x），如果存在正的常数T，使得f（x）=f（x+T）恒成立，则称f（x）为周期函数，满足这个等式的最小正数T，称为函数的周期.

1.1.3　反函数

定义2　设函数y=f（x）的定义域是D，值域是f（D），如果对于值域f（D）中的每一个y，在定义域D中有且只有一个x，使得f（x）=y，则按此对应法则得到了一个定义在f（D）上的函数，并把该函数称为函数y=f（x）的反函数（inverse function），记作x=f-1（y），y∈f（D）.

由反函数的定义可知，函数f的定义域D和值域f（D）恰好是反函数f-1的值域和定义域，并且f-1的反函数是f，也就是说，函数f和f-1互为反函数，即

f-1（f（x））≡x，x∈D

f（f-1（y））≡y，y∈f（D）

习惯上，我们用x表示自变量，用y表示因变量，于是函数y=f（x）的反函数通常写成y=f-1（x），x∈f（D）；相对于函数y=f-1（x）来说，原来的函数y=f（x）称为直接函数（或原函数）.

例如，按习惯记法，函数y=ax+b（a≠0）与y=ax（a>0，a≠1）的反函数是，y=logax.

注意：反函数的两种表现形式x=f-1（y）和y=f-1（x）表示同一个函数.

性质1　y=f（x）单调递增（减）其反函数y=f-1（x）存在，且也单调递增（减）.

性质2　y=f（x）和其反函数y=f-1（x）的图像关于直线y=x对称.

例如，指数函数y=ex，x∈（-∞，+∞）和对数函数y=ln x，x∈（0，+∞）互为反函数，它们都单调递增，其图像关于y=x对称.

1.1.4　分段函数

在实际问题的研究中，一个函数关系有时需要用几个式子来表示.

定义3　在定义域内的不同范围上，对应规律用不同的解析式来表示的函数，称为分段函数（piecewise function）.

例如，绝对值函数　及　均为分段函数.

在求分段函数的函数值时，应将不同范围的自变量的值代入相应的函数表达式.

例如，符号函数，所以x=-2，2，0时对应的函数值分别为sgn（-2）=-1，sgn（2）=1，sgn（0）=0.

又如，在生理学研究中，有人根据测得血液中胰岛素浓度c（t）随时间t（min）的变化数据，建立了如下经验公式

其中，显然浓度c（t）是时间t的分段函数，其定义域为[0，+∞），且t=2，10对应的函数值为c（2）=2（10-2）=16，c（10）=25e-k（10-5）=25e-5k.

1.1.5　基本初等函数与初等函数

1.基本初等函数

幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数（fundamental elementary function）.

幂函数：y=xμ（μ是常数）；

指数函数：y=ax（a是常数，a>0，a≠1）；

对数函数：y=logax（a是常数，a>0，a≠1）；

三角函数：正弦函数y=sin x；余弦函数：y=cos x；

正切函数：y=tan x；余切函数：y=cotx；

正割函数：；余割函数：.

反三角函数：用“arc+函数名”的形式表示反三角函数，而不是f-1（x），其函数值表示一个角，常用的反三角函数有：

反正弦函数：y=arcsin x；余弦函数：y=arccos x；

反正切函数：y=arctan x；反余切函数：y=arccotx.

注意：三角函数不满足一个自变量对应一个函数值的要求，因此其反函数一定在某个一一对应的区间内取得.

基本初等函数的图像及主要性质见附录A.

2.复合函数

定义4　若y是u的函数y=f（u），而u又是x的函数u=φ（x），且φ（x）的值域全部或部分在f（u）的定义域内，则称y是x的复合函数（compound function），记为

y=f（φ（x））　　（1.2）

其中u称为中间变量.

例如，y=sinu，经复合可以得到y关于x的复合函数.

以上是两个函数的“嵌套”关系构成的复合函数，不难将其推广到有限个函数的多层“嵌套”关系构成的复合函数.例如，由y=tanu，u=ev，v=x2可以复合成y关于x的复合函数.

但需注意，不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数.例如，y=arcsinu及u=x2+2就不能复合成一个复合函数.因为函数u=x2+2的值域为[2，+∞），在此区间上y=arcsinu没有意义.

我们不仅要学会把若干个函数“复合”成一个复合函数，而且要善于把一个复合函数“分解”成若干个简单的函数.例如可以看成是由，u=arctanv，v=lg w，w=x2-1复合而成的；而可以看成是由y=2u，u=v2，v=sin w，w=x+1复合而成的.注意：要从外到里层层分解，分解到简单函数为止，简单函数（simple function）是指基本初等函数或者是常数与基本初等函数经过四则运算后得出的函数.这种分解在微分运算中经常用到.