3.3　函数的研究与作图

3.3.1　函数的单调性和极值

1.单调性

定义1　设函数f（x）在区间[a，b]内有定义，且对于区间[a，b]上任意两点x1，x2，当x1<x2时，恒有f（x1）<f（x2），则称函数f（x）在区间[a，b]上是单调增加（monotonic ln crease）（见图3-2）；如果对于区间[a，b]上任意两点x1，x2，当x1<x2时，恒有f（x1）>f（x2），则称函数f（x）在区间[a，b]上是单调减少（monotonic decrease）（见图3-3）.在定义域内单调增加（或单调减少）的函数，称为单调增加（或单调减少）函数.单调增加和单调减少函数，统称为单调函数（monotonic function）.

如果函数f（x）在区间[a，b]上单调增加（单调减少），那么它的图形是一条沿x轴正向上升（下降）的曲线.这时，曲线上各点的切线斜率是非负的（非正的），即y′=f′（x）≥0[y′=f′（x）≤0]，如图3-4所示.由此可见，函数的单调性与导数的符号有着密切联系.

定理1　设函数f（x）在区间[a，b]上可导，且单调增加（单调减少），则函数f（x）在区间[a，b]上f′（x）≥0（≤0）.

证明　由导数定义　

又由假设，函数f（x）是单调增加的，则Δx与f（x+Δx）-f（x）符号相同.

单调减少情况，同理可证f′（x）≤0.

定理2　设函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，若在（a，b）内f′（x）>0（<0），则函数f（x）在[a，b]上单调增加（单调减少）.

证明　在[a，b]上任取两点x1，x2，假设x1<x2，由Lagrange中值定理，有

f（x2）-f（x1）=f′（ξ）（x2-x1）　（x1<ξ<x2）

由于　　x2-x1>0，f′（ξ）>0

所以f（x2）-f（x1）>0，即f（x2）>f（x1）.

故f（x）在区间[a，b]上是单调增加的.

同理可证，f′（x）<0时，f（x）在[a，b]上是单调减少的.

若将定理中的闭区间换成其他各种区间（包括无穷区间），那么结论仍然成立.

例1　求函数的单调区间.

解　y′=1+（x-1）′=1-x-2

当x=±1时，y′=0.

y′>0时，x∈（-∞，-1）∪（1，+∞），单调增加.

y′<0时，x∈（-1，1）单调减少.

例2　求函数f（x）=y=ex-x-1的单调区间.

解　函数f（x）=ex-x-1的定义域是（-∞，+∞），并且f′（x）=ex-1

令f′（x），得函数f（x）的驻点x.

在（-∞，0）内f′（x）<0，所以f（x）在（-∞，0]上单调减少；

在（0，+∞）内f′（x）>0，所以f（x）在[0，+∞）上单调增加.

例3　求函数的单调区间.

解　此函数的定义域为（-∞，+∞）.

由 ，当x=0时，f′（x）不存在.在（-∞，0）上，f′（x）<0，则函数f（x）在（-∞，0）上单调减少；在（0，+∞）上，f′（x）>0，则函数f（x）在（0，+∞）上单调增加（见图3-5）.

例4　试证明：当x>0时，

证明　令

f（x）在[0+，∞）上连续，在（0+，∞）上有f′（x）>0，因此在[0+，∞）上f（x）单调增加，从而当x>0时，f（x）>f（0），由于f（0）=0，故f（x）>0，即

2.极值

定义2　设函数y=f（x）在x0点某一邻域内有定义，若函数f（x）在该邻域内：

（1）f（x0）比除x0点外的各点函数值都大，即

f（x0）>f（x）（x≠x0）

则称函数f（x）在x0点取得极大值（local maximum）f（x0），而将x0点称为极大值点（local maximum point）；

（2）f（x0）比除x0点外的各点函数值都小，即

f（x0）<f（x）（x≠x0）

则称函数f（x）在x0点取得极小值（local minimum）f（x0），而将x0点称为极小值点（local minimum point）.

函数的极大值和极小值统称为极值（extremum），函数极大值点和极小值点统称为极值点（extremepoint）.

极值的概念是局部性的，它们是根据x0点的函数值与其附近有一个局部范围内的点的函数值比较而得来的，极大（小）值不一定是整个定义域区间上函数的最大（小）值，函数在某一区间上可能有若干个极大值和极小值，极大值可能比极小值还小.整个区间上的最大（小）值，不一定是极大（小）值，但极大（小）值，有可能为最大（小）值.由图3-6可以看到函数f（x）有两个极大值f（x2），f（x5）；三个极小值f（x1），f（x4），f（x6）.其中极大值f（x2）比极小值f（x6）还小.函数f（x）在[a，b]上最大值f（b），最小值f（x1）.最大值f（b）不是极大值，极小值f（x1）为最小值.

由图3-6还可看到，在函数取得极值处，曲线上存在切线，且切线是水平的，即函数在该点的导数f′（x）=0.但要注意，在导数f′（x）=0点处（即曲线在该点的切线平行于x轴），函数不一定取得极值.例如，f′（x3）=0，但f（x3）并不是函数的极值.下面给出极值的有关定理.

定理3　（极值的必要条件）若函数f（x）在x0点处具有导数，且在x0点处取得极值，则必有f′（x0）=0.

证明　不妨设f（x0）是极大值（极小值情形可类似证明）.

因此，在x0点某个邻域内，对于任意x（除x0点外），f（x）<f（x0）成立.于是

由于函数f（x）在x0点处可导，因此 .从而f′（x0）=0.

使导数为零的点[即方程f′（x）=0的实根]，称为函数f（x）的驻点（critical point）.由定理3可知，可导函数的极值点，必定是它的驻点.但反过来，函数的驻点，却不一定都是极值点，例如f（x）=x3的导数f′（x）=3x2，x=0是函数f（x）=x3的驻点，但x=0却不是函数的极值点（见图3-7）.

对于驻点是不是极值点，如何判别呢？

定理4　（极值判别法1）设函数f（x）在x0点的某个邻域内可导，且f′（x0）=0.

（1）若x<x0时，恒有f′（x）>0；x>x0时，恒有f′（x）<0，则函数f（x）在x0点取得极大值；

（2）若x<x0时，恒有f′（x）<0；x>x0时，恒有f′（x）>0，则函数f（x）在x0点取得极小值；

（3）在当x取x0点左右两侧的值时，f′（x）符号不变，则函数f（x）在x0点不取极值.

证明　就情形（1），设x是x0的某邻域内任一点，由Lagrange中值定理，有

f（x）-f（x0）=f′（ξ）（x-x0）（ξ在x0与x之间）

当x<x0时，有f′（ξ）>0，得f′（ξ）（x-x0）<0，有f（x）<f（x0）；当x>x0时，有f′（ξ）<0，得f′（ξ）（x-x0）<0，有f（x）<f（x0）.根据极值定义知，f（x）在x0点处取得极大值f（x0）（见图3-8）.

类似地，可证明情形（2）（见图3-9）及情形（3）（见图3-10和图3-11）.

由上述两个定理，可得出求函数（可导的函数）极值点和极值的方法：

（1）求出导数f′（x）.

（2）解方程f′（x）=0，求出f（x）的全部驻点.

（3）考察导数f′（x）在每个驻点的左、右邻近点的符号，并由定理4判定该点是否为极值点.若是，是极大值点，还是极小值点；

（4）求出各极值点处的函数值，便求出函数的全部极值点及极值.

例5　求函数的极值.

解　函数f（x）的定义域为（-∞，+∞）.

f′（x）=x3-2x2+x=x（x-1）2

f′（x）=0的点：x=0，x=1

f′（x）不存在的点：无.

具体如下：

故x=0是极小值点，极小值为f（0）=2.

当函数f（x）在驻点处，二阶导数存在且不为0，也可以利用下面定理，来判定驻点处取得极大值还是极小值.

定理5　（极值判别法2）设函数f（x）在x0点处具有二阶导数，且f′（x0）=0，则

（1）当f″（x0）<0时，函数f（x）在x0点处取得极大值；

（2）当f″（x0）>0时，函数f（x）在x0点处取得极小值；

（3）当f″（x0）=0时，不能判定函数f（x）在x0点是否取得极值.

证明　（1）设f″（x0）<0

当x充分接近x0时，必有　　

所以，当x<x0时，f′（x0）>0；当x>x0时，f′（x）<0，由定理6，则函数f（x）在x0点取得极大值.

（2）同理可证，当f″（x）>0时，函数f（x）在x0点处取得极小值.

（3）f″（x0）=0时，无法判定驻点是否为极值点，例如f（x）=x3和g（x）=x4，在x=0点处的一阶和二阶导数都等于零，即f′（0）=0，g′（0）=0；f″（0）=0，g″（0）=0.但f（x）=x3在x=0处无极值；而g（x）=x4，在x=0处取得极小值，g（0）=0（见图3-12）.

例6　求函数f（x）=（x2-1）3+1的极值.

解　f′（x）=6x（x2-1）2，f″（x）=6（x2-1）（5x2-1）.

令f′（x）=0，即6x（x2-1）=0，故其根为x1=0，x2=-1，x3=1.

因f″（0）=6>0，所以f（x）在x=0处，取得极小值f（0）=0

因f″（-1）=f″（1）=0，由定理5无法判别.

这时，当x<-1时，f′（x）<0；当-1<x<0时，f′（x）<0，所以f（x）在x=-1处没有极值；同理，f（x）在x=1处也没有极值（见图3-13）.

以上，我们讨论函数的极值时，假定函数在所讨论的区间内可导.在此条件下，由定理3我们知道，函数的极值点一定是驻点，因此求出全部驻点后，再逐一考察各个驻点是否为极值点就行了.但如果函数在个别点处不可导，那么上述条件就不满足，这时，我们便不能肯定极值点一定是驻点了.事实上，在导数不存在点处，函数也可能取得极值，见下面例子.

例7　求函的极值.

令f′（x）=0，得驻点x=2；又x=1时，f′（x）不存在.

列表讨论f′（x）的符号变化情况：

当x=1时，f′（x）不存在，但函数f（x）在该点连续，由上面得到的函数单调性，可知在x=1处，函数f（x）取得极大值；在x=2处，函数取得极小值：.

在科学技术和生产实践中，经常会遇到这样一类问题：在一定条件下，怎样使“产品最多”“用料最省”“成本最低”等问题.在医药学中，也会遇到类似问题.比如，口服或肌肉注射一定剂量的某种药物后，血药浓度何时达到最高值？在一定条件下，如何使用药最经济、疗效最佳、毒性最小等问题.这类问题反映在数学上，就是所谓的函数最大值、最小值问题.

显然，函数的最大值点、最小值点，或是函数的极值点[包括驻点和f′（x）不存在的点]，或是闭区间的端点.因此，求函数的最大值或最小值，需将这些点的函数值进行比较，找出其中最大值和最小值.函数的最大值或最小值与局部性的极值概念不同，它是整体性概念.

例8　求函数f（x）=2x3+3x2-12x+14在[-3，4]上的最大值与最小值.

解　f′（x）=6x2+6x-12=6（x+2）（x-1），解方程f′（x）=0，得x1=-2，x2=1.

故f（-2）=34，f（1）=7，f（-3）=23，f（4）=142.

比较上面各值，得f（x）在区间[-3，4]上的最大值f（4）=142，最小值f（1）=7.

如果连续函数在闭区间上单调，那么最大值和最小值必定是区间端点的函数值.如果可导函数f（x）在该区间只有一个极值f（x0），f（x0）若是极大值，则f（x0）便是此区间的最大值；若是极小值，则f（x0）便是此区间的最小值.

实际问题中，往往是根据问题的性质，就可以断定函数f（x）的最大值或最小值.

3.3.2　函数曲线的凹凸性和拐点、渐近线

函数的单调性与极值对于描绘函数的图形起着很大作用.但是，仅仅知道这些，还不能比较准确地描绘函数的图形.函数曲线的弯曲方向，是又一个重要特性，见图3-14.关于曲线的弯曲方向，我们用曲线与其切线的相对位置来描述.

定义3　设曲线y=f（x），如果曲线f（x）在某区间内，位于切线的上方，则称这段曲线为（向上）凹的（concave），见图3-15所示；如果曲线f（x）位于切线的下方，则称这段曲线为（向上）凸的（convex），如图3-16所示.

下面利用函数的二阶导数来讨论函数曲线的凹凸性.

设函数y=f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）上一阶、二阶导数存在.由图3-15可以看出，当函数f（x）的曲线为凹的时，曲线上的点M（x，y）随着横坐标x增大而沿曲线变动时，该点的切线斜率tan α也随着x的增大而增大.所以，导数f′（x）是单调增加的，故有f″（x）>0.同理，当函数f（x）曲线为凸的时（见图3-16），曲线上M（x，y）点，切线的斜率tan α随着x的增大而减少，所以，导数f′（x）是单调减少的，故有f″（x）<0.

于是，我们便得到了曲线凹凸性的判别定理.

定理6　设函数y=f（x）在（a，b）内具有二阶导数，那么

（1）若在（a，b）内，f″（x）>0，则曲线y=f（x）在（a，b）上是凹的；

（2）若在（a，b）内，f″（x）<0，则曲线y=f（x）在（a，b）上是凸的.

例9　判别曲线的凹凸性.

解　定义域为（-∞，+∞）.

y″=0的点，即在区间和区间内是凹的，在区间内是凸的.

定义4　如果曲线y=f（x）在其上一点（x0，f（x0））的一侧是凹的，另一侧是凸的，称点（x0，f（x0））为曲线f（x）的拐点（point of inflection）.

拐点是曲线凹凸的分界点.那么在拐点横坐标的左右近旁处f″（x）要变号.因此，y=f（x）拐点的横坐标x，一般是使f″（x）=0的点.于是，我们可按下列步骤判别曲线的凹凸性及拐点：

（1）求f″（x）.

（2）令f″（x）=0，解出此方程在函数y=f（x）定义域内的实根，这些点将其定义域分成若干个开区间.

（3）判别f″（x）在每个开区间内的符号，从而得出函数f（x）在各个区间内的凹凸性，同时确定上述各点是否为拐点.

例10　讨论曲线f（x）=3x4-4x3+1的凹凸性及拐点.

解　函数f（x）的定义域为（-∞，+∞）

令f″（x）=0，得x1=0，

曲线f（x）的凹凸性及拐点如下表所示.

所以，曲线f（x）在（-∞，0），内是凹的；在上是凸的；（0，1），是拐点，如图3-17所示.

例11　求曲线的拐点.

解　函数f（x）的定义域为（-∞，+∞），且f（x）在定义域内连续，且当x≠0时，

当x=0时，f′（x），f″（x）都不存在，故二阶导数在（-∞，+∞）内不连续，且不具有零点.但x=0为f″（x）不存在的点，并把（-∞，+∞）分成（-∞，+∞]和[-∞，+∞）.

在（-∞，0）内，f″（x）>0，此曲线在（-∞，0）上是凹的.在（0，+∞）内，f″（x）<0，此曲线在[0，+∞）上是凸的.

又f（0）=0，故点（0，0）为曲线的一个拐点.

为了更准确地描绘函数图形，我们最后介绍渐近线的概念.

定义5　当曲线上的动点沿该曲线无限远离原点时，若动点与某一直线的距离趋向于零，则称此直线为该曲线的渐近线（asymptote）.

一般地，有以下几种.

1.垂直渐近线（vertical asymptote）

若或，则直线x=x0是曲线y=f（x）的一条垂直渐近线.

例如，对于函数曲线y=tan x，，故直线是曲线y=tan x的一条垂直渐近线；又如，函数曲线y=ln x，，故直线x=0（即y轴）是曲线y=ln x的一条垂直渐近线.

2.水平渐近线（horizontal asymptote）

若或（b为常数），则直线y=b是曲线y=f（x）的一条水平渐近线.例如，对于函数曲线y=arctan x，，故直线，是曲线y=arctan x的一条水平渐近线；又，故直线是曲线y=arctan x的另一条水平渐近线.

例12　求曲线的水平渐近线、垂直渐近线.

解　因为，所以y=2为水平渐近线.

因为，所以x=1为垂直渐近线.

3.斜渐近线（oblique asymptote）

若或（k和b为常数），则称直线y=kx+b为曲线y=f（x）的斜渐近性.

例13　求曲线的渐近线.

所以曲线有垂直渐近线x=-3和x=1.

所以曲线有斜渐近线y=x-2.

3.3.3　函数图形的描绘

函数的图形能够直观地反映函数的各种特性，对函数进行定性分析是很有用的.

以前我们画函数图形时，都是利用描点法，而一些关键性的点（如极值点和拐点），却不易得到；曲线的单调性、凹凸性等一些重要的性态也没有掌握.因此，用描点法所描绘的函数图形常常不能比较真实地表现出函数的图形.现在，我们已掌握了函数的单调性、凹凸性、极值、拐点等，从而能比较准确地描绘函数的图形.下面就给出利用导数描绘函数图形的具体方法.

（1）确定函数y=f（x）的定义域（确定函数图形的范围）.

（2）判别函数f（x）是否具有奇偶性或周期性（缩小描绘函数图形的范围，以便从部分掌握整体）.

（3）求函数f（x）的间断点，并讨论函数f（x）在该点的左右变化情况，可能存在的极限，也可能趋于无穷，此时有垂直渐近线.如果定义域是无穷区间，还要讨论当｜x｜无限增加时，函数f（x）的变化趋势，如果存在极限，此时有水平渐近线.

（4）求函数f（x）的一阶、二阶导数，并求解方程f′（x）=0，f″（x）=0的根，用这些根和间断点以及一阶、二阶导数不存在的点，把函数定义域划分成几个区间.并分别讨论函数的单调性、极值、凹凸性与拐点，列成一表.

（5）求出曲线的驻点、极值点、拐点及曲线与坐标轴的交点，有时还要给出某些个别点.

（6）在直角坐标系中，首先标明一些关键点，画出渐近线，其次按照曲线的性态逐段描绘，便得到函数y=f（x）的图形.

例14　描绘函数的图形.

解　函数y的定义域为（-∞，+∞），且在整个定义域上连续.又因为，所以该函数为偶函数，故函数关于y轴对称.，所以y=0（x轴）为水平渐近线.

令f′（x）=0，得x1=0；令f″（x）=0，得

列表如下：

函数的图形，如图3-18所示.

例15　描绘函数的图形.

解　函数y的定义域为（-∞，-3），（-3，+∞）且在整个定义域上连续的，x1=-3为间断点.

令f′（x）=0，得x2=3；令f″（x）=0，得x3=6.

，所以y=1为水平渐近线； ，所以x=-3为垂直渐近线.

列表如下：

f（3）=4，，再求一些点的函数值f（0）=1，f（-1）=-8，f（-9）=-8，，函数的图形如图3-19所示.