3.1　微分中值定理

引理[费马（Fermat）引理]　设函数φ（x）在点ξ及其邻域内连续，且当x=ξ+Δx在此邻域内时，总有φ（x）≤φ（ξ）[或总有φ（x）≥φ（ξ）].则当φ′（ξ）存在时，有φ′（ξ）=0.

证明　设φ（x）≤φ（ξ），则对ξ附近的任何一点x=ξ+Δx都有φ（ξ+Δx）-φ（ξ）≤0.

所以，若φ′（ξ）存在，

因此只有φ′（ξ）=0.φ（x）≥φ（ξ）时类似.

定理1[罗尔（Rolle）定理]　设函数φ（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，且φ（a）=φ（b），则在（a，b）内至少存在一点ξ，使φ′（ξ）=0.

证明　若φ（x）在[a，b]上为常数，则φ′（x）=0（a≤x≤b）.那么，（a，b）内的任何一点都可取作ξ，并且，φ′（ξ）=0.

设φ（x）在[a，b]上不是常数，由闭区间上连续函数的性质，φ（x）在[a，b]上必有最大值M和最小值m，且M与m中至少有一个不等于φ（a）.不妨假设M≠φ（a），则在（a，b）内至少存在一点ξ，使φ（ξ）=M.由于ξ∈（a，b）故φ′（ξ）存在，由引理1得知，φ′（ξ）=0.

定理2[拉格朗日（Lagrange）中值定理]　如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，则在（a，b）内至少存在一点ξ，使

证明　构造辅助函数

由f（x）的可导性，得

易验证φ（x）满足定理1的三个条件，故至少存在一点ξ：a<ξ<b，使φ′（ξ）=0.即

定理2的几何意义见图3-1.过曲线y=f（x）上两点A（a，f（a）），B（b，f（b））做割线.只要在区间（a，b）内每一点，曲线y=f（x）都有不垂直于x轴的切线，则通过平移割线AB，一定能在曲线y=f（x）上至少找到一点ξ，使过点ξ的切线与割线AB平行.即（a，b）内至少存在一点ξ，使ξ点处切线的斜率==割线AB的斜率.

特别地，如果还有f（a）=f（b），则有f′（ξ）=0，曲线y=f（x）在此处的切线与x轴平行.这就是定理1的情形，故定理1是定理2的特例.

推论1　若x∈（a，b）时f′（x）≡0，则f（x）≡c（c为常数，a<x<b）.

推论2　若x∈（a，b）时f′（x）≡g′（x），则f（x）=g（x）+c（c为常数，a<x<b）.

例1　证明：.

证　设f（x）=arcsin x+arccos x，则从

知f（x）≡c.取x=0，

例2　证明：当x>0时，

证明　设f（t）=ln（1+t），则f（t）在[0，x]上满足拉格朗日中值定理条件，因此应有

f（x）-f（0）=f′（ξ）（x-0）（0<ξ<x）

定理3[柯西（Cauchy）中值定理]　如果函数f（x）和g（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，且f′（x）和g′（x）不同时为零，g（a）≠g（b），则在（a，b）内至少存在一点ξ，使

证明从略.