2.1　导数概念

2.1.1　引例

对导数研究的动力是一种源自数学自身的需要，典型的数学问题是求切线的斜率.

很多实际问题与曲线的切线有关.例如有关运动的方向问题，有关光线的入射角和反射角问题等.在平面解析几何中，圆的切线定义为“与圆只有一个交点的直线”（见图2-1），对于一般的平面曲线来说，这个定义并不适用.例如，过P点的直线L是曲线C上的切线，但不符合上面的定义（见图2-2）.

1.直角坐标系下曲线切线的斜率

设曲线C是函数y=f（x）的图像（见图2-3），P是曲线C上任一定点，在C上任取一异于P的点Q（x0+Δx，f（x0+Δx））.Q是随着Δx的变化而改变位置的C上的动点，则过这两点的直线是曲线C的割线，记为PQ.若Δx→0，即点Q（x0+Δx，f（x0+Δx））沿着曲线C趋向于定点P（x0，f（x0））时，割线PQ有极限位置PT（仍是一条直线）.则称直线PT是函数曲线C在点P（x0，f（x0））的切线.由直线的点斜式方程可写出切线PT的表达式

y=k（x-x0）+f（x0）.

现在要关心的是“怎样计算切线PT表达式中的斜率k”.由切线定义可看出，斜率k自然是割线PQ的斜率当Δx→0时的极限.因为割线PQ的斜率

所以，若Δx→0时，kPQ有极限，则定义此极限为点P处切线的斜率，即

2.变速直线运动的瞬时速度

设有一质点作变速直线运动，已知它的运动方程是s=f（t），则在时刻t0到时刻t0+Δt这个时间段Δt的平均速度是

不论|Δt|取得多么小（当然Δt不能取0值！），由上式得到的都是平均速度.那么，怎样得到运动质点在时刻t0的瞬时速度v（t0）呢？这就要使用极限方法.若当Δt→0时平均速度有极限，则称此极限为f（t）在t0时刻的瞬时速度，即

2.1.2　导数的定义

比较式（2.1）与式（2.2）的右端，二者显然是具有同样结构形式的极限.一般地说，设有函数y=f（x），x0是一个定点，则比式是函数y=f（x）在点x0相应于自变量增量Δx的平均变化率.若极限

存在，则称此极限为函数y=f（x）在点x0的变化率.

抛开其实际意义，将这种结构形式的极限抽象出来，就得到数学上导数的定义.

1.导数的定义

定义2.1　设函数y=f（x）在点x0处的某邻域内有定义，x0+Δx仍属于该邻域.若极限存在，则称函数y=f（x）在点x0处可导，并称该极限值为函数y=f（x）在点x0处的导数，记为f′（x0）.即

也可以记作

若式（2.4）的极限不存在，则称函数y=f（x）在点x0处不可导.特别地，若式（2.4）的极限为无穷大，则称函数y=f（x）在点x0处导数为无穷大.

若令x=x0+Δx，则定义式可写为

令Δx=h，则定义式也可写为

特别地，当x0=0时，

由导数定义可知，曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线斜率就是函数y=f（x）在点x0处的导数，即k=f′（x0）；质点作变速直线运动的瞬时速度，就是路程函数s=f（t）在时刻t0对时间t的导数，即v（t0）=f′（t0）.

如果函数f（x）在开区间（a，b）内的每一点x都可导，则称函数f（x）在区间（a，b）内可导，这时函数f（x）在开区间（a，b）内任一点x都有导数值f′（x），这显然就构成了一个定义在开区间（a，b）内的函数，称其为f（x）的导函数，简称导数.记为f′（x），y′，或，即有

【例1】　求函数y=x3在x=1处的导数f′（1）.

解　当x由1变到1+Δx时，函数相应的增量为

Δy=（1+Δx）3-13=3·Δx+3·（Δx）2+（Δx）3，

【例2】　求函数f（x）=ax+b在点x的导数.

解　当x由x变到x+Δx时，函数相应的增量为

Δy=f（x+Δx）-f（x）=[a（x+Δx）+b]-[ax+b]=a·Δx，

即　　（ax+b）′=a.

由上例知，一次项的系数a即为平面直角坐标系下直线的斜率，这与引例中“导数即为切线的斜率”的结论一致；当a=0时，即为常值函数，即

【例3】　试按导数定义求下列各极限（假设各极限均存在）：

（1）　　（2），其中f（0）=0.

（2）因为f（0）=0，于是

【例4】　求函数f（x）=sin x的导数及

即　　（sin x）′=cos x；

完全类似地可证得（cos x）′=sin x.

【例5】　求函数f（x）=xn（n∈N+）在x=a处的导数.

即　　（xn）′=nxn-1.

更一般地

（xμ）′=μxμ-1（μ∈R）.

利用上述公式可容易地求得幂函数的导数，例如：，

【例6】　求函数y=logax（a＞0，a≠1）的导数.

即 ，特殊地，

【例7】　求函数f（x）=ax（a＞0，a≠1）的导数.

即　（ax）′=axln a，特殊地，（ex）′=ex.

上述例题的结果均可作为公式使用.

2.左、右导数

定义2.2　设函数y=f（x）在点x0及其某个左邻域内有定义，如果极限

存在，则称这个极限是函数y=f（x）在点x0的左导数，记为 .即

同理，若极限存在，则称此极限为函数f（x）在点x0处的右导数，记为.即

由极限存在定理不难得到下面的结论：

定理2.1　函数y=f（x）在点x0处可导的充要条件是：函数y=f（x）在点x0处的左、右导数均存在且相等.

【例8】　讨论函数f（x）=|x|在x=0处的连续性与可导性.

解　易证函数f（x）=|x|在点x=0处是连续的（见图2-4）.下面主要来讨论f（x）=|x|在点x=0处的可导性.

所以， ，即f（x）=|x|在x=0处不可导.

一般地，若曲线y=f（x）的图形在点x0处出现尖点，则它在该点不可导.因此，如果函数在一个区间内可导，则其图形不出现尖点，或者说是一条连续的光滑曲线.

如果函数f（x）在闭区间[a，b]上有定义，在开区间（a，b）内可导，并且在左端点a存在右导数，在右端点存在左导数，则称函数f（x）在闭区间[a，b]上可导.

【例9】　求函数在x=0处的导数.

解　当Δx＜0时，Δy=f（0+Δx）-f（0）=sin Δx-0=sin Δx，故

当Δx＞0时，Δy=f（0+Δx）-f（0）=Δx-0=Δx，故

由得

【例10】　设函数处处连续、处处可导，求a与b.

解　因为函数f（x）在点x=1处连续，所以即a+b=0.

由可导知

又因为f（1）=ln 1=0，再由a+b=0知b=-1.

2.1.3　导数的几何解释

由引例与导数的定义知函数y=f（x）在点x0的导数f′（x0）就是曲线y=f（x）在点M0（x0，y0）处的切线的斜率.

根据导数的几何意义并应用直线的点斜式方程，可以得到曲线y=f（x）在定点M0（x0，y0）处的切线方程为y-y0=f′（x0）（x-x0）.

过切点M0且与该切线垂直的直线叫做曲线y=f（x）在点M0处的法线，如果f′（x0）≠0，法线的斜率为，从而法线方程为

【例11】　求曲线y=x3在（1，1）上的切线和法线方程.

解　k=y′|x=1=3x2|x=1=3，故所求的切线方程为

y-1=3·（x-1），即y=3x-2；

法线方程为

2.1.4　函数的可导性与连续性的关系

定理2.2　如果函数y=f（x）在点x0处可导，则函数在该点处必连续.

事实上设函数y=f（x）在点x0处可导，则存在，从而

而式（2.6）表明函数y=f（x）在点x连续，所以函数可导必有函数连续.

定理的逆命题并不成立，即函数的连续点未必是可导的点.

【例12】　讨论函数在x=0处的可导性与连续性.

解　因为不存在，所以f（x）在x=0处不可导.

因为，所以.即f（x）在x=0处连续.

例12表明了函数连续是它可导的必要条件，但不是充分条件.由定理2.2的逆否命题知，若函数在某点处不连续，则它在该点处一定不可导.

习题2.1

1.下列各题均假设f′（x0）存在，按导数定义指出此极限表示什么？

2.设函数，问a取何值时，f（x）为可导函数.

3.求曲线y=2x-x3上与x轴平行的切线方程.

4.设φ（x）在x=a处连续，f（x）=（x2-a2）φ（x），求f′（a）.

5.设，求：

（1），并判断是否存在

（2）求f′（x）.

6.设f（x）=6x3，试用定义求f′（1）.