1.7　连续函数

1.7.1　连续函数的概念

客观世界的许多量都是连续变化的.如气温随时间的变化、有机体随时间的生长等.这种连续变化量的特点是，当时间变化很小时，这些量的变化也很小，反映在数学上就是函数连续的概念.

直观上说，函数的图像就是曲线，“连续”的概念可以用函数图像作几何解释——图像上的点连绵不断，构成了曲线“连续”的外观.简单地说，连续函数的图像就是不间断的曲线.为了准确地处理“连续”的情况，需要给出确切的数学描述，而这么个直观、简单的“连续”现象的精确描述，要用极限概念来刻画.

先介绍一个用来描述变量的概念——增量.

设变量u从初值u1变到终值u2，称差u2-u1为变量u的增量（改变量），记为Δu，即

Δu=u2-u1.

Δu可正可负，也可为0；Δu是一个不可分割的记号.

如图1-13所示，设函数y=f（x）在点x0的某邻域内有定义，如果自变量x从x0变到x0+Δx，对应的函数值由f（x0）变到f（x0+Δx），则Δx为自变量x的增量，f（x0+Δx）-f（x0）称为函数y在点x0处的增量，记为Δy，即

Δy=f（x0+Δx）-f（x0）.

下面给出函数在一点处连续的定义.

定义1.13　设函数f（x）在点x0的某个邻域内有定义，若自变量x在点x0的增量Δx趋于零时，对应的函数增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）也趋于零，即

则称函数y=f（x）在点x0连续，点x0称为函数y=f（x）的连续点.

由定义可看出，连续刻画的是函数的这种特征：当自变量x有很小变化时，对应函数值的变化也很小.记x0+Δx=x，则有

显然函数在点x0连续的定义也可具体地用极限来给出.而

所谓函数f（x）在点x0连续即是指函数f（x）在点x0的左极限、右极限及函数值f（x0）三者都存在且相等，这就很自然地引出了函数在一点的单侧连续的概念.

定义1.14　若f（x）在区间（x0-δ，x0]（δ＞0）上有定义，且

则称函数y=f（x）在点x0左连续；

若f（x）在区间[x0，x0+δ）（δ＞0）上有定义，且

则称函数y=f（x）在点x0右连续.

显然，函数y=f（x）在点x0连续函数y=f（x）在点x0左连续且右连续.

函数在一点处连续是函数的局部性态，形象直观地说就是函数在这一点处两侧的图像能连接起来不间断.而对函数图像上的点连绵不断这一性态的刻画，则是函数在一个区间上连续的概念.

定义1.15　若函数f（x）在（a，b）内点点连续，称f（x）在开区间（a，b）内连续；若函数f（x）在（a，b）内连续，且在左端点x=a处右连续，在右端点x=b处左连续，则称f（x）在闭区间[a，b]上连续.

一般地，若函数在其定义区间（包含在定义域内的区间）上处处连续，则称它为该区间上的连续函数.形象直观地说，区间上连续函数的图形就是一条可一笔画出、连续不间断的曲线.

【例1】　证明函数f（x）=sin x在（-∞，+∞）内连续.

证明　∀x0∈（-∞，+∞），取自变量的增量为Δx，则

由夹逼准则可得，即有，这表明函数f（x）=sin x在x0点连续.又由x0的任意性，f（x）sin x在（-∞，+∞）内连续.

同理可以证明，f（x）=cos x在（-∞，+∞）内也是处处连续的.

【例2】　证明指数函数y=ax（a＞0，a≠1）在（-∞，+∞）内连续.

证明　∀x∈（-∞，+∞），取自变量的增量为Δx，则

Δy=ax+Δx-ax=ax（aΔx-1）=ax（eΔxln a-1），

所以，函数y=ax在（-∞，+∞）内连续.

【例3】　证明幂函数y=xμ在定义域内连续.

证明　对定义域中任一点x≠0，取自变量的增量为Δx，则有

所以，幂函数y=xμ在定义域内连续.

1.7.2　间断点及其分类

定义1.16　设函数f（x）在x0的某去心邻域内有定义，如果f（x）符合下列条件之一：

（1）f（x）在x0点无定义；

（2）f（x）在x0点有定义，但极限不存在；

（3）f（x）在x0点有定义，且极限也存在，但

则f（x）在x0点不连续，称x0为函数f（x）的一个间断点.

将函数的间断点分成两大类：一类是左、右极限都存在的间断点，称为第一类间断点；凡不是第一类的间断点统称为第二类间断点，它的特征是间断点处左、右极限至少有一个不存在.

下面通过例题来说明函数间断点的判定方法.

【例4】　讨论函数的间断点.

解　显然f（x）在点x=1处无定义，所以x=1是f（x）的间断点.但x→1，所以x=1是f（x）的第一类间断点.

如对f（x）补充定义：令x=1时，f（x）=2.即令，则f（x）在点x=1处就连续.

【例5】　讨论函数的间断点.

解　虽然f（x）在x=0有定义，且有极限，但所以x=0是f（x）的间断点.

若改变f（x）在点x=0的定义：令，则f（x）在点x=0处就连续了.

以上两例的间断点一是无定义，另一虽有定义但与极限值不相等.但注意到它们的间断点有一个共同的特征：间断点处函数的极限存在.只要补充或改变间断点处函数的定义（定义为极限值），就可使函数在间断点处连续.因此命名为可去间断点.这种使函数连续的方法称为对函数进行连续延拓.

【例6】　设，如图1-14所示，讨论函数在点x=1处的连续性.

解　在点x=1处，函数虽有定义，但从而点x=1是函数的间断点.

从几何上看，函数的图形在x=1处有一个跳跃现象（见图1-14），故称x=1是其跳跃间断点.一般称左、右极限都存在但不相等的间断点为函数的跳跃间断点.显然跳跃间断点不能通过延拓方式变成连续点.可去间断点和跳跃间断点都是函数的第一类间断点.

【例7】　讨论函数f（x）=tan x的间断点.

解　函数f（x）=tan x，在点无定义，所以是其间断点.又，所以是其第二类间断点，被称为无穷间断点.

【例8】　讨论函数的间断点.

解　x=0是函数f（x）的无定义点，因而是其间断点.

因为当x→0时，函数f（x）的极限不存在，且函数值在-1与1之间振荡，所以x=0是函数的振荡间断点.其图形如图1-15所示.

无穷间断点和振荡间断点是常见的第二类间断点.

1.7.3　连续函数的运算、初等函数的连续性

1.连续函数的运算

定理1.14（四则运算）　若函数f（x），g（x）均在点x0连续，则f（x）±g（x），f（x）.g（x）及都在点x0连续.

证明　仅就函数和的情形进行证明.由条件知：，再由极限运算法则，可得

定理1.15（反函数的连续性）　若函数f（x）在某区间上单调增加（或单调减少）且连续，则其反函数f-1（x）在对应的区间上也单调增加（或单调减少）且连续.

定理1.16（复合函数的连续性）　设u=φ（x），，y=f（u）在u=a连续，即，则对于复合函数y=f（φ（x））有

证明　由y=f（u）在u=a点连续，即.∀ε＞0，∃η＞0，当|u-a|＜η时，有|f（u）-f（a）|＜ε.

由，对于上面存在的η＞0，∃δ＞0，当0＜|x-x0|＜δ时，|φ（x）-a|＜η，即|u-a|＜η.

综合以上两点，∀ε＞0，∃δ＞0，当0＜|x-x0|＜δ时，|f（u）-f（a）|＜ε，即|f（φ（x））-f（a）|＜ε，证得

强化定理1.16的条件，可以得到下面的结论：若函数u=φ（x）在x=x0连续，且u0=φ（x0），而函数y=f（u）在u=u0点连续，则复合函数y=f（φ（x））在x=x0点连续，即连续函数的复合函数仍然是连续函数.这表明极限运算lim与连续函数f的作用可以交换顺序，求复合函数的极限时，主要是用这个结论.例如：

2.初等函数的连续性

由前面已证明的三角函数y=sin x，y=cos x的连续性，及连续函数四则运算法则即知，y=tan x，y=cot x在其定义域内连续.由三角函数的连续性及定理1.15即知，反三角函数在其定义域内连续.

由连续定义可证指数函数y=ax（a＞0，a≠1）在其定义域内是连续的，再由指数函数的单调性、连续性及定理1.15知对数函数y=logax在其定义域内连续.

综合以上可以得出结论：基本初等函数在其定义域内连续.

由基本初等函数的连续性、四则运算及复合函数的连续性易知：初等函数在其定义区间上都是连续的.

初等函数，是在数学发展的历史过程中，逐步形成的一类在应用上和理论上都很重要的函数.中学数学里讨论的函数基本上都是初等函数，高等数学的主要研究对象也是初等函数.即便是研究非初等函数，也要借助于初等函数.因此，得到的初等函数连续性的结论显然是十分重要的.

初等函数连续的一个重要应用是可以用来求许多函数的极限.若f（x）是初等函数，x0是f（x）定义区间内的点，则

例如，求.因为x=1是初等函数定义区间内的点，所以.（代入法）

【例9】　求

解　.因为，且ln u是连续函数，所以

类似可求极限

【例10】　求

解　令ax-1=t，则x=loga（1+t），当x→0时，t→0，所以

【例11】　函数在点x=0处是否连续？

解　注意f（x）是分段函数（见图1-16），且在点x=0两侧f（x）的表达式不一致.

因为，，所以.又f（0）=0，所以函数f（x）=|x|在点x=0处连续.

【例12】　函数在点x=0处是否连续？

证明　因为，所以f（x）在点x=0处连续.

1.7.4　闭区间上连续函数的性质

定理1.17（最值定理）　若函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则f（x）在区间[a，b]上可取到最大值及最小值，即存在x1，x2∈[a，b]，使得

闭区间和函数的连续性是函数取到最值的充分条件，同时也是十分重要的条件.破坏其中任何一个条件，结论都未必成立.

例如，函数y=x在开区间（1，2）内连续，但它在（1，2）内无最值（图1-17）.

函数在[0，3]内无最大值.

定理1.18（有界性定理）　若函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则必存在m和M，使得∀x∈[a，b]，均有m≤f（x）≤M（即函数在[a，b]上有界）.

证明　设函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，由最值定理可知，存在x1，x2∈[a，b]，使得

即：∀x∈[a，b]，有 ，即函数f（x）在[a，b]上有界.

定理1.19（介值定理）　设函数y=f（x）在闭区间[a，b]连续，并且f（a）≠f（b），则对介于f（a）与f（b）之间的任何数μ，在开区间（a，b）内必存在一点ξ，使得f（ξ）=μ.

从几何上看（见图1-18），沿曲线y=f（x）的端点A移动到另一端点B时，所走的连续路径y=f（x）必与分界线y=μ相交，交点的横坐标即为定理1.19结论中的ξ.

下面给出特殊情形下介值定理的表述——零点定理.

推论（零点定理）　设函数y=f（x）在闭区间[a，b]上连续，并且f（a）·f（b）＜0，则在开区间（a，b）内至少存在一点ξ，使得f（ξ）=0.

从几何上看零点定理的成立是十分明显的（见图1-19）：如果在闭区间[a，b]上的两个端点x=a，x=b处函数y=f（x）的值异号，曲线y=f（x）上对应的两个端点A与B就应分别位于x轴的上、下两侧，由定理1.19知曲线y=f（x）必与x轴相交.

用代数语言描述零点定理，可看出ξ即为方程f（x）=0的根，故又称零点定理为“方程根的存在定理”.利用它可以证明一些与方程的根有关的结论.

【例13】　证明代数方程3x-6x-2=0在开区间（2，3）内至少有一个实根.

解　令f（x）=3x-6x-2，显然f（x）在[2，3]上连续，且f（2）=-5＜0，f（3）=7＞0.由零点定理知，至少∃ξ∈（2，3），使得f（ξ）=0，即3ξ-6ξ-2=0，所以方程3x-6x-2=0在开区间（2，3）内至少有一个实根ξ.

【例14】　设f（x）在[0，2a]上连续，且f（0）=f（2a），则至少∃ξ∈[0，a]，使得f（ξ）=f（a+ξ）.

证明　构造辅助函数F（x）=f（x）-f（x+a），因为f（x）在[0，2a]上连续，所以F（x）在[0，a]上连续.则有F（0）=f（0）-f（a），F（a）=f（a）-f（2a）=f（a）-f（0）.

如果f（a）-f（0）=0，则x=0及x=a均满足条件.

如果f（a）-f（0）≠0，则F（0）·F（a）＜0，由零点定理，至少∃ξ∈（0，a），使得F（ξ）=0，即f（ξ）-f（a+ξ）=0⇒f（ξ）=f（a+ξ）.

推论2　在闭区间上的连续函数必取得介于其最大值和最小值之间的任何值.

习题1.7

1.研究下列函数的连续性：

2.指出下列函数的间断点，并说明它们属于哪一类型，若是可去间断点，则补充定义使它在该点连续.

3.设，为使f（x）在x=1处连续，a与b应如何取值？

4.求下列函数的连续区间：

5.求下列极限：