（一）分数的运算

01．一次小小的游戏

“我没有一美分的零币。”汉克说完，一边叮当地敲着他的钱币一边问本恩，“你有多少？”

本恩查看了一下，回答道：“正好五枚。”

“我想我们可以来做一个小小的游戏。”汉克一边说一边开始分牌。规定是这样的：第一局输的人，输掉他的钱币的五分之一；第二局输的人，输掉他那时拥有的钱币的四分之一；而第三局输的人，则需支付他当时拥有的钱币的三分之一。

于是他们开始玩了，并且互相间准确付了钱。第三局本恩输了，付完钱后他站起来说：“我觉得这种游戏投入的精力过多，回报太少。直到现在我们之间的钱数，总共也只相差七美分。”

这自然是很小的游戏，因为他们的钱合起来一共也只有75美分。

试问，在游戏开始的时候，汉克有多少钱呢？

提示：美分是最小的单位，不能再分。

解析：假设游戏结束后，汉克的钱是x美分，本恩的钱是（75-x）美分。

根据题意知：

或者：

根据①式得到：游戏结束之后，汉克的钱是41美分，本恩的钱是34美分；根据②式得到：游戏结束之后，汉克的钱是34美分，本恩的钱是41美分。

再设第二局的结果也就是第三局开始时，汉克有y美分，本恩有（75-y）美分。

根据题意知：

或者：

根据③式解得第3局开始时，汉克有24美分，本恩有51美分。根据④式解得第3局开始时，汉克有13.5美分，本恩有61.5美分。这与“我没有一美分的零币”不符合，舍去。

那么现在就可以确定，汉克输了第二局，汉克在第三局开始的时候，钱数是24美分。

24×=32（美分）

75-32=43（美分）

第一局输的人开始的钱数应该是他第二局开始钱数的，所以只能是汉克第一局输了。所以他一开始的钱数应该是：

32×=40（美分）

值得说明的是第一局开始：汉克有40美分，本恩有35美分；第二局开始：汉克有32美分，本恩有43美分；第三局开始：汉克有24美分，本恩有51美分；游戏结束时：汉克有41美分，本恩有34美分。

02．毕达哥拉斯有多少学生

毕达哥拉斯生于靠近小亚细亚海岸的萨摩斯岛，据说曾就学于泰勒斯。他是古希腊的数学家、天文学家和哲学家，对数学的发展做出了卓越的贡献，最著名的是他与他的学生发现并证明了“毕达哥拉斯定理”（在我国称为“勾股定理”）。毕达哥拉斯认为数不能离开感觉到的对象而独立存在，一切对象都由整数组成，他提出了“万物皆数”的概念，他把数学研究抽象化，认为宇宙间的一切现象都能归结为整数与整数之比。他并不把数与几何上的点区分开来，因此他从几何角度把一个数看作是扩大了的一个点或是很小的一个球。他常把数描绘成沙滩上的沙子或是小石子，按沙子或是小石子所能排列而成的形状把数进行分类。例如，1，3，6，10，…这些数叫作三角数，并且认识到1，1+2，1+2+3，…这些数的和也是三角数，计算出1+2+3+…+n=。同时，也给出了正方形数的通项公式：（n+1）2，证明方法同样使用了三角形数，即把一个正方形数分成两个三角形数，如下图所示。

毕达哥拉斯所说的数仅指整数，他不把两个整数之比看成一个分数或是另一类数，当他发现一个量不能用整数表达时，常常会感觉到不安。

古希腊人对数学最大的贡献是坚持一切数学结果必须根据规定的公设和公理，公设和公理都被人当作不成问题的真理加以接受，用演绎法推理。但毕达哥拉斯几何里没有证明这一问题，最合理的结论是：在大部分时间里，他们是根据一些特例来肯定所得的结果。

公设

1．从任意一点到另外任意一点可作直线。

2．一条有限直线可以继续延长。

3．以任一点为圆心、任一距离为半径可作圆。

4．所有直角彼此相等。

5．若一直线与两直线相交，且若同侧所交两内角之和小于直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的一点。

公理

1．与同一量相等的量彼此相等。

2．等量加等量，其和仍相等。

3．等量减等量，其差仍相等。

4．彼此能重合的物是全等的。

5．整体大于部分。

一次，有人问毕达哥拉斯有多少学生，他的回答却是一道有趣的数学题：我的学生一半学数学，四分之一学音乐，七分之一沉默无言，此外，还有三名女生。请你算一算，毕达哥拉斯究竟有多少名学生？

解析：

（名）

答：毕达哥拉斯有28名学生。

03．阿摩斯趣题

有人问一个赶着70头牛到牧场放牧的人：“你赶来的这些牛，占全部家畜的多少？”

牧人答：“我赶来的牛是家畜的的。”问：牧人家有多少家畜？

解析：的是，全部家畜的是70头，全部家畜为：

70÷=315（头）

答：牧人家有315头家畜。

小知识：

当美索不达米亚地区的民族不断更替变化，从而接受新的文化影响之时，埃及的文明却在不受外来势力的影响下独自发展，这种发展是受到尼罗河的恩惠。

埃及的数学资料保留下来的很少，现存的主要原始资料是几本纸草书，其中最著名的纸草书就是兰德纸草书。虽然这些纸草书的撰写年代在公元前1700年左右，但其中所含的数学知识是埃及人早在公元前3500年就已经知道的，而从那时起，直到希腊人征服埃及以前，他们在数学方面已很少增加新的知识。

通过纸草书我们可以看到当时埃及人在数学方面并不像与之相邻的美索不达米亚人那样内行，不能表明他们在数学方面达到了很高的水平。人们常常把早期的数学思想归功于美索不达米亚人与希腊人。希腊数学中一个重要的人物泰勒斯在埃及受过教育，后来毕达哥拉斯也在埃及受过教育。

埃及人的算术要比其邻邦美索不达米亚人的算术原始得多，那时的埃及人甚至没把乘法当作一种算法处理。为了得到两个数的乘法，他们先把其中的一个数加倍，然后再把从某些中间步骤中得到的结果加起来。例如，计算5×80，他们先计算2×80，然后把两个这个算式相加，得到4×80，最后把1×80与4×80相加，得到5×80的值。

在埃及的代数中，他们把未知量称为“堆”（heap），因此，问题往往先用“堆”的形式表示出来，然后再求解。下面是著名的埃及数学文本兰德纸草书中记录的一个问题：若一堆和堆加起来是19，那么堆的值是多少？用现在的符号可以写成方程：，线性方程就起源于这类问题。埃及人认识到这样的问题具有挑战性，值得去研究。

埃及数学的一个最主要的特点是：在几千年的岁月长河中，它似乎一直都满足于埃及人的需要。埃及所获得的成就似乎都是在一个非常简单的数学体系下实现的。显然，埃及人对这个简单的体系相当满意。

04．思立哈拉趣题

有一群蜜蜂，其中落在杜鹃花上，落在栀子花上，还有一些蜜蜂向月季花飞去，它的数量等于杜鹃花和栀子花上蜜蜂数目之差的3倍。最后一只蜜蜂在芳香的茉莉花和玉兰花之间飞来飞去，求共有多少只蜜蜂？

解析：

本题关键在于找出最后一只蜜蜂占全部蜜蜂的比例，因为：

杜鹃花上的蜜蜂是：全部的

栀子花上的蜜蜂是：全部的

月季花上的蜜蜂是：全部的

茉莉花和玉兰花之间的蜜蜂是：1只

最后一只蜜蜂占全部蜜蜂的比例是：

蜜蜂总数：（只）

答：共有15只蜜蜂。

05．萨姆·劳埃德的砖重趣题

如果一块砖与四分之三块砖加四分之三磅等重（如图所示），则砖重几何？

解析：

一块砖与四分之三块砖加四分之三磅等重，即四分之一块砖和四分之三磅等重，所以，一块砖重：

=3（磅）

答：一块砖重3磅。

06．唐士陶趣题

英国著名数学家唐士陶1522年出了一道题：一塔沉在河里，有沉入地层中，在水中，露出水面的有60英尺。问这座塔在地层中、在水中的部分有多少英尺？

解析：

该塔露出水面的高度占塔的比例为：所以塔高为：（英尺）

塔在地层中的部分为：（英尺）

塔在水中的部分为：（英尺）

07．亚洛布趣题

两个城市相距260英里，两名使者在同一时间各从一个城市出发，相向而行。一个人比另一个人每天多走2英里，12天后两人相遇。那么两个使者每天各走多少英里？

解析：两名使者一天共走：（英里）

走路少的使者一天走：（英里）

走路多的使者一天走：（英里）

答：两个使者每天各走英里、英里。

08．公主出题

传说捷克的公主柳布莎出过这样一道有趣的题：“一只篮子中有若干李子，取它的一半又一个给第一个人，再取其余的一半又一个给第二个人，又取最后所余的一半又三个给第三个人，这时篮内的李子没有剩余的了，问篮中原有李子多少个？”

解析：从“又取最后所余的一半又三个给第三个人，这时篮内的李子没有剩余的了”可知，第三个人得到李子3÷=6（个），若第二个人不又拿一个，则第一个人拿完剩下的李子是（6+1）×2=14（个），若第一个人不又拿一个，则李子总数是（14+1）×2=30（个）。

答：篮中原有李子30个。

09．野牛迁居

一群野牛居住在森林里。它们准备要迁居，于是野牛王把野牛召集在了一起，但发现缺席只数是出席只数的，它很生气，刚要批评时，又跑来1只野牛，这时缺席只数是出席只数的，问这群野牛有多少只？

解析：“缺席只数是出席只数的”，也就是缺席只数是总数的。同理，又跑来1只野牛后，缺席只数是出席只数的，缺席只数是总数的。从而知道一只野牛占总数的。

所以，这群野牛有：（只）。

10．欧拉的卖鸡蛋问题

欧拉的著作中还有这样一道有趣的题目：两个农妇带100个鸡蛋去市场上卖。两人所带鸡蛋个数不等，但卖得的钱数相同。第一个农妇对第二个农妇说：“如果咱们两人的鸡蛋交换，我可以卖得15个克罗索（德国古代的一种货币）。”第二个农妇答道：“可是如果咱们俩的鸡蛋交换，我就只能卖得个克罗索。”试问：这两个农妇各带了多少个鸡蛋？

解析：（1）算术方法。

这两个农妇带的鸡蛋个数不等，但卖得的钱数相等，说明她们所带的鸡蛋的个数与她们卖鸡蛋的单价成反比。另外，交换鸡蛋后第一个农妇卖得的钱比第二个农妇多，说明原来第一个农妇所带的鸡蛋比第二个农妇少，而且，交换鸡蛋的个数并按各自的单价出售所得的钱数之比应为二人所带鸡蛋个数之比的平方。于是，由可知，两人所带的鸡蛋个数之比为3∶2。因而，第一个农妇带的鸡蛋为：（个）。

第二个农妇带的鸡蛋为100-40=60（个）。

（2）代数方法。

设第一个农妇带了x个鸡蛋，则第二个农妇带了（100-x）个鸡蛋，她们两人卖鸡蛋的单价分别为与。

由于两个人卖得的钱数相同，故有方程

显然应为正值，故上式两边开方可得。

利用合比定理（若，则）可得：

即

x=40

100-40=60（个）

答：第一个农妇带了40个鸡蛋，第二个农妇带了60个鸡蛋。

注：莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler，1707-1783年），瑞士数学家，历史上最伟大的数学家之一。天才、全才、多产、勤奋是欧拉的标签。数学中很多名词以欧拉的名字命名，比如，欧拉常数、欧拉方程、欧拉恒等式、欧拉示性数，等等，我们今天学习和使用的很多数学符号都是欧拉创设的，例如，π，i，e，sin，cos，△x，Σ，f（x）等。作为人类最有影响力、最多产的数学家，欧拉在数学上的地位是崇高的，无人能撼动的，但作为世界顶尖的数学家，他也有他的遗憾。欧拉一生成果丰富，但是他从来没有创造过属于自己的邻域，或者说没有开创一门新的数学分支，他的工作都是在深化和细化别人的工作，从而取得巨大成果。

我介绍高等分析的时候，它还是个孩子，而你正在将它带大成人。

——约翰·伯努利

读欧拉的著作吧，在任何意义上，他都是我们所有人的老师。

——皮埃尔-西蒙·拉普拉斯

11．涡卡诺夫斯基的算术题

一只狗追赶一匹马，狗跳6次的时间，马只能跳5次，狗跳4次的距离和马跳7次的距离相同。马跑了5.5千米以后，狗开始在后面追赶，马又跑了多长的距离，才被狗追上？

解析：设狗跳4次的距离为S。

单位时间（狗跳6次的时间）内狗跑的距离=6×（S/4）。

相同时间（狗跳6次的时间）内马跑的距离=5×（S/7）。

则相同时间内，狗比马多跑的距离L=6×（S/4）-5×（S/7）=11×S/14

狗要追5.5千米需要的时间是T=5.5/L=5.5/（11×S/14）=7/S

这段时间内，马跑的距离是T×5×（S/7）=7/S×5×（S/7）=5（千米）

答：马又跑了5千米，才被狗追上。

12．印度古题

将某数乘5，从所得的积中减去乘积的，余数再除以10，然后依次加上原数的，和，最后得68，求某数。

解析：

这题若用现在的代数方法解，很容易列出方程求解。对于初中学生来说是容易的事。我们仔细分析后得知，只要用小学的算术方法就可简便解出。

我们先设法求出原数的五倍，从乘积中减去，则剩下的数是乘积的，余数再除以10，即将乘积的，依次加上原数的，和，实际上就是加上乘积的，和，因此乘积的（是68，所以，乘积应等于。

240是原数的5倍，所以原数为240÷5=48。

13．俄罗斯古题

狮子1小时吃完1只羊，老虎2小时吃完1只羊，豺狗3小时吃完1只羊。问狮子、老虎和豺狗一起吃，1小时吃几只羊？吃一只羊需要多少时间？

解析：（用算术方法解）我们可先考虑6小时（因为在6小时里狮子、老虎和豺狗吃羊的只数都是整数）的情况：6小时狮子吃完6只羊，老虎吃完3只羊，豺狗吃完2只羊，因此，狮子、老虎和豺狗一起吃，6小时吃完6+3+2=11（只）羊，所以1小时吃只羊，吃一只羊所需时间为小时。

也可按下列式计算：

（1）狮子、老虎和豺狗一小时吃几只羊？

（只）

（2）狮子、老虎和豺狗吃一只羊需要多少时间？

（小时）

14．五樽均酒

有五个酒樽（盛酒器），容量各不等。若乙樽之酒倾于甲樽，丙又倾于乙，丁又倾于丙，戊又倾于丁。如是则五樽容量皆为3斗（1斗=10升，合现在的2000毫升）。问各樽最初之量如何？

题的大意是：有甲、乙、丙、丁、戊五个酒樽，容量各不相等。如果将乙樽里的酒倾倒给甲樽；丙樽里的酒又倾倒给乙樽；丁樽里的酒又倾倒给丙樽；戊樽里的酒又倾倒给丁樽。这时甲、乙、丙、丁、戊五个酒樽里的酒都是3斗。问各樽里最初有多少酒？

解析：

1斗=10升

戊樽里最初有酒：（升）

用30升减去来自戊樽倾倒的酒数，为丁樽里最初有酒的，所以丁樽里最初有酒（下同）：（升）

丙樽里最初有酒：（升）

乙樽里最初有酒：（升）

甲樽里最初有酒：（升）

15．唐老鸭与米老鼠赛跑

唐老鸭与米老鼠进行一万米赛跑，米老鼠的速度是每分钟125米，唐老鸭的速度是每分钟100米。唐老鸭手中掌握一种迫使米老鼠倒退的电子遥控器，通过这种遥控器发出第n个命令，米老鼠就以原速度的倒退一分钟，然后再按原速度继续前进。如果唐老鸭想在比赛中获胜，那么它通过遥控器发出指令的次数至少应是多少次？

解析：唐老鸭跑完1万米需要100分钟。设唐老鸭在100分钟内共发出n次迫使米老鼠倒退的指令，则在100分钟内米老鼠有n分钟的时间在倒退，有（100-n）分钟的时间在前进，依题意要求：

求唐老鸭发出的指令数为n时，使得米老鼠前进的距离减去米老鼠倒退的距离小于10000米，即：

我们应该从n=1，n=2，n=3，……逐个试算，为了方便，从n=12试算。

当n=12时，

而125×（88-7.8）=125×80.2=10025＞10000，不符合要求。

当n=13时，

而125×（87-9.1）=125×77.9=9737.5＜10000，符合要求。