柏拉图的音乐起源理论

在柏拉图看来，八度双倍（octave-doubles）的矩阵象征了“母亲原则”，因此，未切分的圆环也是它的象征。（“宇宙的自然模型，由永续变革的潜能及其双倍［double］的对立面形成和分类。”）圆环的每次变革，都和与2相乘或被2整除相关。苏格拉底问：“许多两倍的东西呢？它们看起来是一半的东西，不少于看起来是两倍的东西？”他得到的明确回答是：“不少于。”（《王制》479b）在音调-圆环中，倍数和约数“交织在一起”，以便“将思想唤起到探究活动中去”，只有当“感觉不再揭示某物而是揭示其对立物”时，它才实施活动（《王制》523b、c）。叙述问题和回答的苏格拉底，显得十分坦诚：

不过我们称视觉看大与小不是分开着，而是作为合在一起的某样东西。不是吗？

是啊。

为了整理清楚这一点，思想不得不去理解大与小，同样，不是合在一起而是分开，做与视觉相反的事情。（《王制》524c-d）

通过规定倍增的意思，柏拉图实现了大幅度的数学浓缩，他的音乐解释随后起到了“歌曲本身的序曲”的作用，而严肃的哲学研究就建立在辩证法的基础上。

柏拉图用作数喻的“母亲”“父亲”和“孩子”，意思相当清楚：

打个比方，我们把容器称为母亲，生成物的来源称为父亲，二者形成的自然则是他们的后代。（《蒂迈欧》50d）

按照他的观点，“神”是亘古不变的“1”，是参照点；“2”是“母亲”或“容器”，未切分的圆环是其象征；她的第一个“孩子”是他们之间的算术平均值，即八度（octave）中的质数3——为了避免出现分数，八度变成了原来的两倍，从而出现了2∶3∶4。不过，这个孩子总是有一个“孪生”兄弟，源于3的可相互代替的意思——起着调和平均值的作用——这样一来，在音乐的比例6∶8∶9∶12中，我们实际遇到了第一类柏拉图的孩子。根据苏格拉底的定义，代表了和声和算术的数字8和9，就有了“兄弟”的意思。

所有人都把父母生自己期间出生的人称为姐妹兄弟。（《王制》461d）

在任何算术倍增中——它定义了一个八度，所有由生成比（generative ratios）联系起来的整数，一定要被视为“兄弟姐妹”，因为它们相乘的可替代方式（等于可替代的调音策略），使得父系非常不确定，除了这里研究的第一个简单的例子。［直接用数学语言来说，柏拉图在开可换性原则功能的玩笑，a×b=b×a，与此相关，a×（b×c）=（a×b）×c。］为了保持音程结构，婚姻必须总是发生在“相反性情”的人之间：注意，（音乐五度音程2∶3和四度音程3∶4的同度音程），以及（五度音程2∶3中的大三度4∶5和小三度5∶6的同度音程）。作为立法者最重要的职责，这些“包办婚姻”（arranged marriages）在以下文本中得到了强调：《王制》（459-460）、《治邦者》（304-311）和《法义》（“你应该总是倾向于嫁给低于你的人”，733）。（注意，在我的例子中，第一个比例式稍微比第二个大，第一个的分子是第二个的分母。）

在《法义》的隐喻中，质数3（作为父亲）“生了”“最富有等级的公民”，定义了音乐的五度音程2∶3和四度音程3∶4，八度1∶2最大的再分部分（subdivisions）。质数5在大三度4∶5和小三度5∶6——它们再分了音乐的五度音程2∶3——中，生出了“第二富有等级的公民”。质数7（作为父亲）生了“第三富有等极的公民”，在七的三度音程（septimal thirds）6∶7和七的音调（septimal tones）7∶8中，它再分了音乐的四度音程3∶4。（注意，增加音程靠乘以分数形式表示的它们的比：。）更大质数产生的数字，被排除出了规则之外，它们可能构成了“奴隶”阶级。柏拉图开玩笑说，数字的性别角色永无休止，但在它们的背后，却给予了精确别致的毕达哥拉斯音乐化数字理论以极大尊重。

在政治理论中，像在音乐理论中一样，创造性和创造性的局限构成了一个中心问题。有可能预见到的无限必须被包含在内。冲突和不妥协的系统可能是太阳和行星，偶数八度（2的幂）和奇数五度音程（3的幂），或者国家事务（res publica）的各种各样的具体情形——必须得到协调，以取代混乱。造物者在诸天之中显示了什么样的可能性，乐师在音调方面显示了什么样的可能性，哲人就应该学着在政治生活中促生怎样的可能性。限度，确切说自我的限度，是柏拉图首要的关切之一。他的四种城邦模型，恰好对应着四种不同的音调系统（tuning systems），每一种都有各自的生产者组合（set of generators），和明确的人口限制：

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[1]希斯（Thomas Heath），《萨摩斯的阿里斯塔库斯》（Aristarchus of Samos，London，1931），页94-115。

[2]泰勒（A.E.Taylor），《柏拉图〈蒂迈欧〉注疏》（A Commentary On Plato's Timaeus，London：1928），页124。

[3]亚当，《柏拉图的〈王制〉》（The Republic of Plato，Cambridge，1902年与1969年），第2卷。

[4]泰勒，《柏拉图〈蒂迈欧〉注疏》，前揭，页96。

[5]康福德，《柏拉图的宇宙论——〈蒂迈欧〉》（Plato's Cosmology，The Timaeus of Plato；New York），页74。

[6]康福德，《柏拉图的〈王制〉》（London，1945），页269、315。

[7]布伦博，《柏拉图的数学想象》（Platon's Mathematical Imagination，Bloomington，1954；New York，1968）。

[8]塞姆斯，《古代的和谐象征》（Die harmonikale Symbolik des Altherthums），两卷本，Köln，1868-1876，Hildesheim翻印，1972。

[9]莱维，《和声理论》（A Theory of Harmony；Chicago：1950）。相关论文：《毕达哥拉斯传统》（The Pythagorean Tradition，Chicago，1949-1950）；《毕达哥拉斯关于尺度的概念》（The Pythagorean Concept of Measure），载Main Currents in Modern Thought，vol.21，no.3，January-February 1965，页51-57；《回应〈控制论的威胁和许诺〉》（A Response to“The Threat and Promise of Cybernetics”），载Main Currents in Modern Thought，vol.22，no.2，November-December 1965，页48-50。

[10]对此，以研究《法义》见长的桑德斯（Trevor J.Saunders）解释道：“那些貌似笨拙的双关语和其他的语言游戏，通常很难用英语表达”；他将柏拉图对话录中的希腊语描述为“既清楚又模糊，既精致又粗心，既啰嗦又简洁；其用意通常无法确知，译者因之不得不成为解释者”。参见柏拉图《法义》（Harmondsworth：Penguin Books Ltd.，1970），页39。康福德在翻译《王制》时也曾在注释中表示，书中很多关键的词汇，包括“音乐”等等，已经超越了其原本的意义，或者说“会在英语国家的读者那里引起错误的联想”；他还对周厄提（Benjamin Jowett）表示了不满，后者将柏拉图的一个论断按字面义翻译为：人类德行最佳的指导来自“哲学与音乐的调和”。参见《柏拉图的王制》（London：Oxford University Press，1945），前言，页vi。另外一名译者布鲁姆（Allan Bloom）力图更精确地翻译《王制》，他认为柏拉图的对话录“有让人不可思议的严密和微妙”；他决然地宣称，“是苏格拉底对音乐作出了合理的解释”（前揭，页xviii和页xiii）。布鲁姆本人的翻译连同其极有价值的注释，再加上其他相关论文，对于笔者的研究都有非常重要的借鉴意义。

[11]亚里士多德很清楚，柏拉图对“形式数字”（form-number）的爱好仅仅局限于前十个整数（《形而上学》1084），柏拉图“明白地鉴别了”那些拥有“自己的形式”的数字（《论灵魂》404）。亚里士多德坚持认为，音乐上的形式与数字完全不同，前者在于比例；“大致上，2∶1的比例与数字一起形成了八度音”（《形而上学》1013a）。亚里士多德对柏拉图形而上学的介绍，已经有人提出了质疑；我发现，对于下面我将介绍的音乐理论，亚里士多德的批评是很好的向导。