2.4　流动阻力和能量损失（压力损失）

在上一节中我们讲了实际流体的伯努利方程，即

这里h_ω表示单位重量流体的能量损失，那么h_ω如何求呢？这就是这节要解决的问题。即本节讨论实际流体（黏性流体）运动时的流动阻力及能量损失（压力损失），以及黏性流体在管道中的流动特性。

2.4.1　流动阻力及能量损失（压力损失）的两种形式

实际流体是具有黏性的。当流体微团之间有相对运动时，相互间必产生切应力，对流体运动形成阻力，称为流动阻力。要维持流动就必须克服阻力，从而消耗能量，使机械能转化为热能而损耗掉。这种机械能的消耗称为能量损失。能量损失多半是以压力降低的形式体现出来的，因此又叫压力损失。下面我们就来介绍一下流动阻力形成的物理原因及计算公式。

流体本身具有黏性是流动阻力形成的根本原因。但是，同是黏性流体，由于流动的边界条件不同，其阻力形成的过程也不同。

（1）沿程阻力、沿程压力损失Δp_λ

① 产生的原因：黏性。主要是由于流体与壁面、流体质点与质点间存在着摩擦力，阻碍着流体的运动，这种摩擦力是在流体的流动过程中不断地作用于流体表面的。流程越长，这种作用的累积效果也就越大。也就是说这种阻力的大小与流程的长短成正比，因此，这种阻力称为沿程阻力。由于沿程阻力直接由流体的黏性引起，因此，流体的黏性越大，沿程阻力也就越大。

② 发生的边界：发生在沿流程边界形状变化不很大的区域，一般在缓变流动区域，如直管段。

③ 计算公式（达西公式）：由因次分析法得出管道流动中的沿程压力损失Δp_λ与管长l、管径d、平均流速v的关系如下。

　　 （2.40）

式中，λ为沿程阻力系数；ρ为流体的密度。

（2）局部阻力、局部压力损失Δp_ξ

① 产生的原因：流态突变。在流态发生突变地方的附近，质点间发生撞击或形成一定的旋涡，由于黏性作用，质点间发生剧烈地摩擦和动量交换，必然要消耗流体的一部分能量。这种能量的消耗就构成了对流体流动的阻力，这种阻力一般只发生在流道的某一个局部，因此叫作局部阻力。实验表明，局部阻力的大小主要取决于流道变化的具体情况，而几乎和流体的黏性无关。

② 发生的边界：发生在流道边界形状急剧变化的地方，一般在急变流区域，如弯管、过流截面突然扩大或缩小、阀门等处。

③ 计算公式：由大量的实验知Δp_ξ与流速的平方成正比，即

　　 （2.41）

式中，ξ为局部阻力系数；ρ为流体的密度。

流体流过各种阀类的局部压力损失，亦可以用式（2.41）计算。但因阀内的通道结构复杂，按此公式计算比较困难，故阀类元件局部压力损失Δp_v的实际计算常用下列公式：

　　 （2.42）

式中，q_n为阀的额定流量；q为通过阀的实际流量；Δp_n为阀在额定流量q_n下的压力损失（可从阀的产品样本或设计手册中查出）。

（3）管路中的总的压力损失

整个管路系统的总压力损失应为所有沿程压力损失和所有局部压力损失之和，即

　　 （2.43）

从计算压力损失的公式可以看出，减小流速、缩短管道长度、减少管道截面的突变、提高管道内壁的加工质量等，都可以使压力损失减小。其中以流速的影响为最大，故液体在管路系统中的流速不应过高。但流速太低，也会使管路和阀类元件的尺寸加大，并使成本增高。

2.4.2　流体的两种流动状态

实践表明，流体的能量损失（压力损失）与流体的流动状态有密切的关系。英国物理学家雷诺（Reynolds）于1883年发表了他的实验成果。他通过大量的实验发现，实际流体运动存在着两种状态，即层流和紊流；并且测定了流体的能量损失（压力损失）与两种状态的关系。此即著名的雷诺实验。

雷诺实验的装置如图2.23所示。水箱1由进水管不断供水，并保持水箱水面高度恒定。水杯5内盛有红颜色的水，将开关6打开后，红色水即经细导管2流入水平玻璃管3中。调节阀门4的开度，使玻璃管中的液体缓慢流动，这时，红色水在管3中呈一条明显的直线，这条红线和清水不相混杂，这表明管中的液流是分层的，层与层之间互不干扰，液体的这种流动状态称为层流。调节阀门4，使玻璃管中的液体流速逐渐增大，当流速增大至某一值时，可看到红线开始抖动而呈波纹状，这表明层流状态受到破坏，液流开始紊乱。若使管中流速进一步增大，红色水流便和清水完全混合，红线便完全消失，这表明管道中液流完全紊乱，这时液体的流动状态称为紊流。如果将阀门4逐渐关小，就会看到相反的过程。

（1）层流和紊流

层流：液体的流动呈线性或层状，各层之间互不干扰，即只有纵向运动。

紊流：液体质点的运动杂乱无章，除了有纵向运动外，还存在着剧烈的横向运动。

层流时，液体流速较低，质点受黏性制约，不能随意运动，黏性力起主导作用；液体的能量主要消耗在摩擦损失上，它直接转化为热能，一部分被液体带走，一部分传给管壁。

紊流时，液体流速较高，黏性的制约作用减弱，惯性力起主导作用；液体的能量主要消耗在动能损失上，这部分损失使流体搅动混合，产生旋涡、尾流，造成气穴，撞击管壁，引起振动和噪声，最后化作热能消散掉。

（2）雷诺数Re

雷诺通过大量实验证明，液体在圆管中的流动状态不仅与管内的平均流速v有关，还和管道内径d、液体的运动黏度ν有关。实际上，判定液流状态的是上述三个参数所组成的一个无量纲数Re：

　　 （2.44）

式中，Re为雷诺数。即对流通截面相同的管道来说，若雷诺数Re相同，它们的流动状态就相同。

液流由层流转变为紊流时的雷诺数和由紊流转变为层流的雷诺数是不同的，后者的数值较前者小，所以一般都用后者作为判断液流流动状态的依据，称为临界雷诺数，记作Re_c。当液流的实际雷诺数Re小于临界雷诺数Re_c时，为层流；反之，为紊流。常见液流管道的临界雷诺数由实验求得，如表2.2所示。

式（2.44）中的d代表了圆管的特征长度，对于非圆截面的流道，可用水力直径（等效直径）d_H来代替，即

　　 （2.45）

　　 （2.46）

　　 （2.47）

式中　R——水力半径；

A——流通面积；

χ——湿周长度（流通截面上与液体相接触的管壁周长）。

水力半径R综合反映了流通截面上A与χ对阻力的影响。对于具有同样湿周χ的两个流通截面，A越大，液流受到壁面的约束就越小；对于具有同样流通面积A的两个流通截面，χ越小，液流受到壁面的阻力就越小。综合这两个因素可知，R=越大，液流受到的壁面阻力作用越小，即使流通面积很小也不易堵塞。

2.4.3　圆管层流

液体在圆管中的层流运动是液压传动中最常见的现象，在设计和使用液压系统时，就希望管道中的液流保持这种状态。

图2.24所示为液体在等径水平圆管中作层流流动时的情况。在图中的管内取出一段半径为r、长度为l、与管轴相重合的小圆柱体，作用在其两端面上的压力分别为p₁和p₂，作用在其侧面上的内摩擦力为F_f。液流作匀速运动时处于受力平衡状态，故有：

（p₁-p₂）πr²=F_f

根据内摩擦定律有：F_f=-2πrlμ（因du/dr为负值，故前面加负号）。令Δp=p₁-p₂，将这些关系式代入上式得：

即

积分并考虑到当r=R时，u=0得：

　　 （2.48）

可见管内流速随半径按抛物线规律分布，最大流速发生在轴线上，其值为u_max=。

在半径r处取出一厚为dr的微小圆环（如图2.24所示），通过此环形面积的流量为dq=u2πrdr，对此式积分，得通过整个管路的流量q：

　　 （2.49）

这就是哈根-泊肃叶公式。当测出除μ以外的各有关物理量后，应用此式便可求出流体的黏度μ。

圆管层流时的平均流速v为：

　　 （2.50）

同样可求出其动能修正系数α=2，动量修正系数β=4/3。

现在我们再来看看沿程压力损失Δp_λ，由平均流速表达式可求出Δp_λ：

　　 （2.51）

把此式与 比较得：沿程阻力系数λ=64/Re。

由此可看出，层流流动的沿程压力损失Δp_λ与平均流速v的平方成正比，沿程阻力系数λ只与Re有关，与管壁面粗糙度无关。这一结论已被实验所证实。但实际上流动中还夹杂着油温变化的影响，因此油液在金属管道中流动时宜取λ=75/Re，在橡胶软管中流动时则取λ=80/Re。

2.4.4　圆管紊流

在实际工程中常遇到紊流运动，但由于紊流运动的复杂性，虽然近几十年来许多学者做了大量研究工作，仍未得到满意的结果，尚需进一步探讨，目前所用的计算方法常常依赖于实验。

（1）脉动现象和时均化

在雷诺实验中可以观察到，在紊流运动中，流体质点的运动是极不规则的，它们不但与邻层的流体质点互相掺混，而且在某一固定的空间点上，其运动要素（压力、速度等）的大小和方向也随时间变化，并始终围绕某个“平均值”上下脉动，如图2.25所示。

如取时间间隔T（时均周期），瞬时速度在T时间内的平均值称为时间平均速度，简称时均速度，可表示为：

　　 （2.52）

同样，某点的时均压力可表示为：

　　 （2.53）

图2.26所示为圆管中的紊流。

由以上讨论可知，紊流运动总是非定常的，但如果流场中各空间点的运动要素的时均值不随时间变化，就可以认为是定常流动。因此对于紊流的定常流动，是指时间平均的定常流动。在工程实际的一般问题中，只需研究各运动要素的时均值，用运动要素的时均值来描述紊流运动即可，使问题大大简化。但在研究紊流的物理实质时，例如研究紊流阻力时，就必须考虑脉动的影响。

（2）黏性底层（层流边界层）、水力光滑管与水力粗糙管

流体作紊流运动时，由于黏性的作用，管壁附近的一薄层流体受管壁的约束，仍保持为层流状态，形成一极薄的黏性底层（层流边界层）。离管壁越远，管壁对流体的影响越小，经一过渡层后，才形成紊流。即管中的紊流运动沿横截面可分为三部分：黏性底层、过渡层和紊流核心区，如图2.26所示。过渡层很薄，通常和紊流核心区合称为紊流部分。黏性底层的厚度δ也很薄，通常只有几分之一毫米，它与主流的紊动程度有关，紊动越剧烈，δ就越小。δ与Re成反比，可用式（2.54）来求。

　　 （2.54）

式中，d为管径；λ为沿程阻力系数；Re为雷诺数。

根据黏性底层的厚度δ与管内壁绝对粗糙度ε之间的关系，可以把作紊流运动的管道分为水力光滑管和水力粗糙管。

水力光滑管：δ≥ε/0.3，如图2.27（a）所示。

水力粗糙管：δ≤ε/6，如图2.27（b）所示。

水力光滑管与水力粗糙管的概念是相对的，随着流动情况的改变，Re会变化，δ也相应地会变化。所以同一管道（其ε是固定不变的），Re变小时，可能是光滑管；而Re变大时，又可能是粗糙管了。

（3）截面速度分布

对于充分的紊流流动来说，其流通截面上流速的分布如图2.28所示。由图可见，紊流中的流速分布是比较均匀的。其最大流速u_max=（1～1.3）v，动能修正系数α≈1.05，动量修正系数β≈1.04，因而这两个系数均可近似地取为1。

由半经验公式推导可知，对于光滑圆管内的紊流来说，其截面上的流速分布遵循对数规律。在雷诺数为3×10³～10⁵的范围内，它符合1/7次方的规律，即

　　 （2.55）

式中符号的意义如图2.28所示。

2.4.5　沿程阻力系数λ

对于层流，沿程阻力系数λ值的公式已经导出，并被实验所证实。对于紊流，尚无法完全从理论上求得，只能借助于管道阻力试验来解决。一般来说，在压力管道中的λ值与Re和管壁相对粗糙度ε/d有关，即

下面就简单介绍一下尼古拉兹（J.Nikuradse）对于人工粗糙管所进行的水流阻力试验结果。

尼古拉兹用不同粒径的均匀砂粒粘贴在管内壁上，制成各种相对粗糙度的管子，实验时测出v、Δp_λ，然后代入公式，在各种相对粗糙度ε/d的管道下，得出λ和Re的关系曲线，如图2.29所示。这些曲线可分为五个区域。

Ⅰ为层流区：Re<2320，各管道的实验点均落在同一直线上。λ只与Re有关，与粗糙度无关。λ=64/Re，与理论公式相同。

Ⅱ为过渡区：2320<Re<4000，为层流向紊流的过渡区，不稳定，范围小。对它的研究较少，一般按下述水力光滑管处理。

Ⅲ为紊流光滑管区：4000<Re<26.98（d/ε）^8/7，各种相对粗糙度管道的实验点又都落在同一条直线（Ⅲ和Ⅳ的交界线）上。λ值只与Re有关，与ε/d无关。这是因为黏性底层掩盖了粗糙度。但是随着ε/d值的不同，各种管道离开此区的实验点的位置不同，ε/d越大离开此区越早。

关于此区的λ有以下计算公式：

4000<Re<10⁵时，可用布拉休斯公式：

　　 （2.56）

10⁵<Re<3×10⁶时，可用尼古拉兹公式：

　　 （2.57）

Ⅳ为光滑管至粗糙管过渡区：26.98（d/ε）^8/7<Re<4160（d/2ε）^0.85，又称为第二过渡区。在此区，随着Re的增大，黏性底层变薄，管壁粗糙度对流动阻力的影响亦逐渐明显。λ值与ε/d和Re均有关。曲线形状与工业管道的偏差较大，一般用如下公式计算：

　　 （2.58）

Ⅴ为紊流粗糙管区：Re>4160（d/2ε）^0.85。在此区，λ=f（ε/d），紊流已充分发展，λ值与Re无关，表现为一水平线。λ值的计算公式为：

　　 （2.59）

因λ与Re无关，可知Δp_λ∝v²，故此区又称为阻力平方区。

尼古拉兹实验结果适用于人工粗糙管，对于工业管道不是很适用。后来莫迪对工业管道进行了大量实验，作出了工业管道的阻力系数图，即莫迪图，为工业管道的计算提供了很大方便。

2.4.6　局部阻力系数ξ

局部压力损失，它的计算关键在于对局部阻力系数ξ的确定。由于流动情况的复杂，只有极少数情况可用理论推导求得，一般都只能依靠实验来测得（或利用实验得到的经验公式求得）。

下面我们就以截面突然扩大的情况为例，来讲一下局部阻力系数的推导过程。如图2.30所示，由于过流断面突然扩大，流线与边界分离，并发生涡旋撞击，从而造成局部损失。以管轴为基准面，对截面1—1、2—2列伯努利方程有：

式中，h_ξ为局部损失，。

由此得：

　　 （2.60）

取截面1—1、2—2及两截面之间的管壁为控制面，对控制面内的流体沿管轴方向列动量方程，略去管侧壁面的摩擦切应力时有：

p₁A₁-p₂A₂+p（A₂-A₁）=ρq（v₂-v₁）

式中，p为涡流区环形面积（A₂-A₁）上的平均压力；p₁、p₂分别为截面1—1、2—2上的压力。实验证明p≈p₁，于是上式可写成为：

（p₁-p₂）A₂=ρv₂A₂（v₂-v₁）

即

　　 （2.61）

将式（2.61）代入式（2.60）得：

按连续性方程有v₁A₁=v₂A₂，于是上式可改写成：

　　 （2.62）

或

　　 （2.63）

式中，对应小截面的速度v₁；对应大截面的速度v₂。

由此可见，对应不同的速度（变化前和变化后的速度），局部阻力系数是不同的。一般情况下，用的是变化后的速度，即