2.1　控制系统微分方程的建立

建立控制系统的数学模型一般采用解析法和实验法两种。解析法是对系统各部分的运动机理进行分析，根据所依据的物理规律或化学规律（例如，电学中有基尔霍夫定律、力学中有牛顿定律、热力学中有热力学定律等）分别列写相应的运动方程。实验法是人为地给系统施加某种测试信号，记录其响应，按照物理量随时间的变化规律，用适当的数学模型去逼近，这种方法又称为系统辨识。近些年来，系统辨识已发展成一门独立的学科分支。本章主要采用解析法建立系统的数学模型。

数学模型有多种形式。时域中常用的数学模型有微分方程、差分方程和状态方程；复域中有传递函数、结构图；频域中有频率特性等。本章只研究微分方程、传递函数和结构图等数学模型的建立及应用。

微分方程是在时域中描述系统（或元件）动态特性的数学模型。利用它还可以得到描述系统（或元件）动态特性的其他形式的数学模型。列写微分方程的一般步骤如下：

① 确定系统的输入量、输出量。

② 建立初始微分方程组。按照信号的传递顺序，从系统的输入端开始，根据各个变量所遵循的物理规律，列写各个环节的动态微分方程，并由此建立初始微分方程组。

③ 消除中间变量并将微分方程标准化。由初始微分方程组消除中间变量并得到描述系统输入量、输出量之间关系的微分方程后，再将其标准化。即将与输出量有关的各项放在方程的左侧，与输入量有关的各项放在方程的右侧，且各阶导数项按降幂排列。

下面举几个例子说明。