2.1　有限元法基础

2.1.1　基本概念与技术优势

（1）基本概念

有限元法（Finite Element Method，FEM）的中心思想是：将一个连续求解域（对象）离散（剖分）成有限个形状简单的子域（单元），利用有限个节点将各子域连接起来，使其分别承受相应的等效节点载荷（如应力载荷、热载荷、流速载荷等），并传递子域间的相互作用；在此基础上，借助子域插值函数和“平衡”条件构建各子域的物理场控制方程；将这些方程按照某种规则组合起来，在给定的初始条件和边界条件下进行综合计算求解，从而获得对复杂工程问题的近似数值解。其中，离散和子域（或曰分片）插值是有限元法的技术基础。

图2-1是对离散概念的图解说明。离散求解域的目的是为了将原来具有无限自由度的连续变量微分方程和边界条件转换成只含有限个节点变量的代数方程组，以方便计算机处理。

分片插值的概念可以借助图2-2加以说明。假设真实函数为曲线c₁，求解域为［a，b］。理论上讲，只要定义在［a，b］上的试探函数（亦称插值函数）c₂具有足够高的阶次就能逼近真实函数c₁，但实际上c₂对c₁局部特征的逼近并不理想。如果将求解域划分成若干长度不等的小区间，则可在每一个小区间内用较低阶（例如一阶或二阶）的试探函数c₃来逼近c₁，并且通过适当调整求解域局部小区间的数量或尺寸来提高逼近精度，从而获得真实函数c₁的近似解。

通常，将构建子域物理场方程的过程称为“单元分析”，将在初边值条件支持下综合求解子域方程组的过程称为“整体分析”。因此，有限元法的中心思想又可简略描述为：离散求解域→单元分析→整体分析。

利用子域（单元体）离散连续求解域（实体模型或对象）的过程又被形象地称为网格划分，由此得到的离散模型被称为网格模型。

（2）技术优势

有限元法的技术优势主要体现在：该方法把连续体简化成由有限个单元组成的等效体（物理上的简化），针对等效体建立的基本方程是一组代数方程，而不是原先用于描述真实连续体的常微分或偏微分方程。由于不存在数学上的近似，故有限元法的物理概念清晰，通用性强，能够灵活处理各种复杂的工程问题。

（3）应用有限元法求解工程问题的一般流程

图2-3为应用有限元法求解工程问题的一般流程。注意，图2-3中的载荷是广义的，视具体工程问题而定。例如：分析模拟塑料制件的注射模塑过程，其载荷主要为注射压力和注射速率；分析模拟汽车覆盖件的拉深过程，其载荷主要为拉深速率和压边力。此外，图中的几何模型仅仅是有限元模型的物理载体，只有将其他相关元素（单元、材料参数、载荷、初边值条件）加入到这个载体上，才会获得求解实际工程问题的有限元模型。