三、典型例题

【例1-1】　如图1-1所示，小球从竖直平面的O点斜向上方抛出，抛射角为θ，速度大小为v0，在此竖直平面内作OP射线与小球抛射方向垂直，小球到达OP射线时的速度分解为图中与OP射线垂直方向的分量v⊥和沿OP射线方向的分量v∥，分别计算它们的数值大小。

解：　本题主要考察质点运动学的斜抛知识点，将小球沿x轴和y轴的运动分解两个加速度分别为ax=gcosθ和ay=gsinθ即可。

选择OP为x轴，垂直OP方向斜向下方为y轴，将重力加速度沿x轴和y轴分解为ax和ay，则

ax=gcosθ　　（1-1）

ay=gsinθ　　（1-2）

由式（1-1）和式（1-2），小球沿x轴和y轴的运动分别为匀加速直线运动，根据匀加速直线运动规律，得

v∥=0+axt　　（1-3）

v⊥=-v0+ayt　　（1-4）

（1-5）

将式（1-1）～式（1-5）方程联立求解，得：

v⊥=v0；　v∥=2v0cotθ

【例1-2】　如图1-2所示，某飞轮绕固定轴O轴转动，在运动过程中，其轮缘上任一点的加速度与轮半径的夹角恒为60°，当运动开始时，其转角θ等于零，角速度为ω0，求：（1）飞轮角速度ω与t的关系；（2）ω与θ的关系；（3）飞轮的转动方程。

解：　由题设，飞轮作变速圆周运动，at=Rα，an=Rω2，利用积分运算可求出对应关系。

（1）由题意得

（2）

而

（3）因为

【例1-3】　在一车厢内，有如图1-3所示的水平桌面，质量分别为mA和mB的物体A和B，轻绳和滑轮的质量忽略不计。（1）设系统处处无摩擦，车厢具有向上的匀加速度a0，求物体B相对于车厢竖直向下的加速度。（2）设B与水平桌面侧面间的摩擦因数μ≥mA/mB，系统其余部分均无摩擦，今使车厢具有水平向右的匀加速度a0，当a0取值范围为多少时，能使物体B相对车厢不动？

解：　首先对物体A和B进行受力分析，然后运用牛顿定律列方程，即可解决第一个问题，在此基础上，需要应用物体作相对运动时的加速度变化式aAC=aAB+aBC，分别讨论物体A和B向上、向下运动，得出物体B相对车厢不动的加速度范围。

（1）如图1-4所示分别为物体A和B的受力图，由牛顿第二定律可得

A：T=mAa

B：T-mBg=mB（a0-a）

由以上两式可得，

（2）若物体A和B向下运动，画出物体A和B的受力图1-5，由牛顿第二定律可得

mBg-T-f=mBa

F=mBa0

f=Fμ

由以上四式可得，

要使物体B不向下运动，则a≤0，可推出：

若物体A和B向上运动，画出物体A和B的受力图1-6，由牛顿第二定律可得

A：T=mA（a-a0）

B：T-mBg-f=mBa

F=mBa0

f=Fμ

由以上四式可得

依题意，有

μmB≥mA

则a≤0，说明物体不可能向上运动。

综上所述，可得物体B相对车厢不动的a0取值范围为

【例1-4】　如图1-7所示，一长度为L=4.8m的轻车厢静止于光滑水平轨道上，固定于车厢地板上的击发器A，自车厢中部以u0=2m·s-1的速度，将质量为m1=1kg的物体沿车厢内光滑地板弹出，与另一质量为m2=1kg的物体碰撞并粘在一起，此时，m2恰好与一端固定于车厢的水平放置的轻弹簧接触，弹簧的劲度系数k=400N·m-1，长度l=0.3m，车厢和击发器的总质量M=2kg，求车厢自静止至弹簧压缩最大时的位移（不计空气阻力）。

解：　本题为一综合性问题，主要涉及的知识点为动量守恒、机械能守恒和质点的相对运动三个方面。

设击发器A在击发完毕的一瞬间，质量为m1的物体相对于地面的速度为u0，车厢相对于地面的速度为V，质量为m2的物体相对于地面静止。选择车厢、m1和m2为一系统，其水平方向所受合力为零，动量守恒，取向右方向动量为正，则

m1u0-MV=0

（1-6）

选择m1和m2为一系统，设在m1和m2碰撞粘在一起的一瞬间，二者相对于地面的速度为u，由动量守恒得

（1-7）

从击发到m2刚与弹簧接触的这段时间Δt内，车厢相对于地面速度V不变，除m1和m2碰撞这段短暂时间外，m1相对于地面的速度u0也不变，故有

在Δt内车厢相对地面向左的位移为

将式（1-6）代入上式得

（1-8）

弹簧压到最大时，由车厢、m1、m2和弹簧这一系统的动量守恒知，系统的各部分相对于地面皆静止，在弹簧压缩的过程中，只有弹簧的弹性内力做功，故这一系统的机械能守恒，即

式中，Δl为弹簧压缩的长度。

将式（1-6）、式（1-7）代入上式，得

弹簧压缩过程中，车厢速度V（t）和m1、m2的速度u（t）都随时间变化，但车厢、m1、m2和弹簧这一系统的动量守恒，故

将式（1-6）、式（1-7）代入上式

在弹簧压缩的过程中，m1和m2相对于车厢的速度u'（t）满足下面的关系

而，（ΔX2为车厢在Δt'内向左的位移）

故

车厢向左的总位移为

将已知数据代入，得

ΔX1+ΔX2=0.75m

【例1-5】　水平桌面上有一个内外半径几乎同为R的水平固定圆形轨道，小球1、2用一根长度为R的轻绳连接后紧挨着放在环道内，轻绳在环道外。球1的质量为m，球2的质量为2m，如图1-8所示，让球1、2同时具有方向相反、大小同为v0的切向速度，在而后的运动过程中设系统处处无摩擦。

（1）设轻绳无弹性，且不可伸长，当绳伸直长度达到R时，绳对两球立刻有作用力，经过非常短的时间作用力即消失。假设过程中绳和环道均不损耗机械能，试求此过程中绳对球1、2分别提供的冲量大小。

（2）改设轻绳是自由长度为R、劲度系数为k的均匀弹性绳。

①若绳长第一次达到2R时，球1速度刚好第一次降为零，试求k值。

②取①问所得k值，已知从绳长达到R开始到2R的过程中，球1经过的路程是球2经过路程的α倍（0＜α＜1），将两球从图1-8开始运动时刻记为t=0，试求两球第一次碰撞的时刻te。

解：　小球1、2沿环道作圆周运动，满足角动量守恒，由题设绳和环道均不损耗机械能，可列出机械能守恒方程，运用动量定理可求出它们之间的冲量大小。将轻绳看成一弹簧，两球运动分为四个阶段，由角动量守恒和能量守恒，可求出所需结果。

（1）绳作用力出现和消失后瞬间，球1、2的速度分别如图1-9所示的实线箭矢和虚线箭矢。由角动量守恒和能量守恒，列出如下方程：

以上二式联立求解可得

速度变化过程中，绳对球1、2提供的冲量大小同为I，由动量定理

或

解得

（2）①绳长达到R后，出现弹性拉力，使球1、2沿运动反方向各自获得切向加速度，球1质量小，切向加速度大，速度先减小到v10=0，此时球2沿运动方向速度尚未减到零，大小记为v20，绳长达到2R时，对1、2作用力无切向分量，由角动量守恒和能量守恒得

以上二式联立求解可得

②将两球开始运动时刻t=0到t=te的运动过程分为四个阶段：

第1阶段：从t=0开始，到绳长达到R为止，经历时间记为Δt1。

由图1-9所示可以看出，有

第2阶段：从绳长为R开始，到绳长为2R为止，经历时间记为Δt2，此过程中球1、2速度大小分别记为v1、v2，由角动量守恒可得

化简

v0=2v2-v1

由上式可得路程关系式为

即

（1-9）

由题意，

（1-10）

（1-11）

将式（1-9）～式（1-11）联立求解，得

第3阶段：从绳长2R开始，到绳长又恢复到R为止，经历时间为Δt3，整个过程为第2阶段的逆过程，有：

第4阶段：从绳长降到R开始，到两球碰撞为止，经历时间为Δt4，此过程为第1阶段的逆过程，故有：

综上所述：