2.2　课后习题详解

一、随机变量及其分布

1口袋中有5个球，编号为1，2，3，4，5．从中任取3个，以X表示取出的3个球中的最大号码．

（1）试求X的分布列；

（2）写出X的分布函数，并作图．

解：（1）从5个球中任取3个，共有种等可能取法．X为取出的3个

球中的最大号码，则X的可能取值为3，4，5．因为P（X＝i）＝P（X≤i）－P（X≤i－1），且当i≥3时，有

所以

所以X的分布列为

（2）由分布函数的定义知

F（x）的图形如图2-2-1．

图2-2-1

2一颗骰子抛两次，求以下随机变量的分布列：

（1）X表示两次中所得的最小点数；

（2）Y表示两次所得点数之差的绝对值．

解：（1）一颗骰子抛两次，共有36种等可能的结果．X表示两次中所得的最小点数，则X的可能取值为1，2，3，4，5，6．由确定概率的古典方法得

P（X＝1）＝11/36，P（X＝2）＝9/36，P（X＝3）＝7/36

P（X＝4）＝5/36，P（X＝5）＝3/36，P（X＝6）＝1/36

将以上计算结果列表为

（2）因为Y表示两次所得点数之差的绝对值，所以1，的可能取值为0，1，2，3，4，5．而

P（Y＝0）＝6/36＝1/6，P（Y＝1）＝10/36＝5/18，P（Y＝2）＝8/36＝2/9

P（Y＝3）＝6/36＝1/6，P（Y＝4）＝4/36＝1/9，P（Y＝5）＝2/36＝1/18

将以上计算结果列表为

3口袋中有7个白球、3个黑球．

（1）每次从中任取一个不放回，求首次取出白球的取球次数X的概率分布列；

（2）如果取出的是黑球则不放回，而另外放入一个白球，此时X的概率分布列如何．

解：X为首次取到白球的取球次数，则X的可能取值为1，2，3，4．记A_i为“第i次取出的球为黑球”，i＝1，2，…，10．

（1）由乘法公式可得

P（X＝1）＝P（₁）＝7/10

P（X＝2）＝P（A₁₂）＝P（A₁）P（₂|A₁）＝（3/10）×（7/9）＝7/30

P（X＝3）＝P（A₁A₂₃）＝（3/10）×（2/9）×（7/8）＝7/120

P（X＝4）＝P（A₁A₂A₃₄）＝（3/10）×（2/9）×（1/8）×（7/7）＝1/120

将以上计算结果列表为

（2）如果取出黑球不放回，而另外放入一个向球，则由乘法公式得

P（X＝1）＝P（₁）＝7/10

P（X＝2）＝P（A₁₂）＝（3/10）×（8/10）＝6/25

P（X＝3）＝P（A₁A₂₃）＝（3/10）×（2/10）×（9/10）＝27/500

P（X＝4）＝P（A₁A₂A₃₄）＝（3/10）×（2/10）×（1/10）×（10/10）＝3/500

将以上计算结果列表为

4有3个盒子，第一个盒子装有1个白球、4个黑球；第二个盒子装有2个白球、3个黑球；第三个盒子装有3个白球、2个黑球．现任取一个盒子，从中任取3个球．以X表示所取到的白球数．

（1）试求X的概率分布列；

（2）取到的白球数不少于2个的概率是多少？

解：（1）记A_i为“取到第i个盒子”，i＝1，2，3．由全概率公式得

将以上计算结果列表为

（2）P（X≥2）＝P（X＝2）＋P（X＝3）＝1/3．

5掷一颗骰子4次，求点数6出现的次数的概率分布．

解：记X为掷4次中点数6出现的次数，则X的可能取值为0，1，2，3，4．由确定概率的古典方法得

P（X＝0）＝5⁴/6⁴＝0.4823

P（X＝4）＝1/6⁴＝0.0008

将以上结果列表为

由以上的计算结果也可以看出：出现0次6点的可能性最大．

6从一副52张的扑克牌中任取5张，求其中黑桃张数的概率分布．

解：记X为取出的5张牌中黑桃的张数，则X的可能取值为0，1，2，3，4，5．将52张牌分成两类：一类为13张黑桃，另一类为39张除黑桃外的其他花色，则由抽样模型得

7一批产品共有100件，其中10件是不合格品．根据验收规则，从中任取5件产品进行质量检验，假如5件中无不合格品，则这批产品被接收，否则就要重新对这批产品逐个检验．

（1）试求5件中不合格品数X的分布列；

（2）需要对这批产品进行逐个检验的概率是多少？

解：（1）X的分布列为

计算结果列表略．

（2）“需要对这批产品进行逐个检验”则意味着“检验5个产品，至少有一个不合格品”，因此所求概率为

8设随机变量X的分布函数为

试求X的概率分布列及P（X＜3），P（X≤3），P（X＞1），P（X≥1）．

解：X的概率分布列为

P（X＜3）＝P（X＝0）＋P（X＝1）＝1/3

P（X≤3）＝1－P（X＝6）＝1/2

P（X＞1）＝P（X＝3）＋P（X＝6）＝2/3

P（X≥1）＝1－P（X＝0）＝3/4

9设随机变量X的分布函数为

试求P（X＜2），P（0＜X≤3），P（2＜X＜2.5）．

解：这里X是连续随机变量，所求概率分别为

P（X＜2）＝F（2）＝ln2＝0.6931

P（0＜X≤3）＝F（3）－F（0）＝1

P（2＜X＜2.5）＝F（2.5）－F（2）＝ln2.5－ln2＝0.2231

10若P（X≥x₁）＝1－a，P（X≤x₂）＝1－β，其中x₁＜x₂试求P（x₁≤X≤x₂）．

解：P（x₁≤X≤x₂）＝1－P（X＜x₁）－P（X＜x₂）＝1－α－β．

11从1，2，3，4，5五个数中任取三个，按大小排列记为x₁＜x₂＜x₃，令X＝x₂，试求：

（1）X的分布函数；

（2）P（X＜2）及P（X＞4）．

解：（1）因为X的分布列为

所以X的分布函数为

（2）P（X＜2）＝F（2－0）＝0

P（X＞4）＝1－F（4）＝1－1＝0

12设随机变量X的密度函数为

试求X的分布函数．

解：由于密度函数p（X）在（－∞，＋∞）上分为四段（如图2-2-2），所以其分布函数也要分四段设立，具体如下：

当x＜－1时，

当－1≤x＜0时，

当0≤x＜1时，

图2-2-2

当x＞1时，

综上所述，X的分布函数为

13如果X的密度函数为

试求P（X≤1.5）．

解：因为密度函数P（x）的图形如图2-2-3．

图2-2-3

因此所求概率为

14设随机变量X的密度函数为

试求：

（1）系数A；

（2）X落在区间（0，π/4）内的概率．

解：（1）因为

由此解得A＝1/2.

（2）所求概率为

15设连续随机变量X的分布函数为

试求：

（1）系数A；

（2）X落在区间（0.3，0.7）内的概率；

（3）X的密度函数．

解：（1）由F（x）的连续性，有

由此解得A＝1．

（2）P（0.3＜X＜0.7）＝F（0.7）－F（0.3）＝0.7²－0.3²＝0.4

（3）X的密度函数（如图2-2-4）为

图2-2-4

16学生完成一道作业的时间X是一个随机变量，单位为小时．它的密度函数为

（1）确定常数c；

（2）写出X的分布函数；

（3）试求在20分钟内完成一道作业的概率；

（4）试求10分钟以上完成一道作业的概率．

解：（1）因为

由此解得c＝21．

（2）当x＜0时，

当0≤x＜0.5时，

当x＞0.5时，

所以X的分布函数为

（3）所求概率为P（X≤1/3）＝F（1/3）＝7/27＋1/18＝17/54．

（4）所求概率为P（X＞1/6）＝1－F（1/6）＝1－（7/216＋1/72）＝103/108．

17某加油站每周补给一次油，如果这个加油站每周的销售量（单位：千升）为一随机变量，其密度函数为

试问该油站的储油罐需要多大，才能把一周内断油的概率控制在5%以下？

解：记X为该油站每周的销售量，k为该油站储油罐的最大储油量．则由题意知：k应该满足P（X＞k）≤0.05

这等价于P（X≤k）≥0.95，因此由

中解得k≥45.072（千升）．所以可取k＝46（千升）即可将一周内断油的概率控制在5%以下．

18设随机变量X和Y同分布，X的密度函数为

已知事件A＝{X＞a}和B＝{Y＞a}独立，且P（A∪B）＝3/4，求常数a．

解：由同分布可得P（A）＝P（B），从而

3/4＝P（A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（AB）＝2P（A）－[P（A）]²

由此解得P（A）＝0.5，进而由

解得

注：随机变量X与Y同分布，并不意味着X＝Y，反之成立，即X＝Y，则X与Y同分布．

19设连续随机变量x的密度函数p（x）是一个偶函数，F（x）为X的分布函数，求证对任意实数a＞0，有

（1）

（2）P（|x|＜a）＝2F（a）－1

（3）P（|x|＞a）＝2[1－F（a）]

证：因为p（x）是一个偶函数，所以P（－x）＝P（x），且从

可得

（1）在中令x＝－t，则

所以

（2）P（|x|＜a）＝P（－a＜X＜a）＝F（a）－F（－a）＝F（a）－[1－F（a）]＝2F（a）－1

（3）P（|x|＞a）＝P（X＜－a）＋P（X＞a）＝F（－a）＋1－F（a）＝1－F（a）＋1－F（a）＝2[1－F（a）]

二、随机变量的数学期望

1设离散型随机变量X的分布列为

试求E（X）和E（3X＋5）．

解：E（X）＝（－2）×0.4＋0×0.3＋2×0.3＝－0.2

E（3X＋5）＝[3×（－2）＋5]×0.4＋（3×0＋5）×0.3＋（3×2＋5）×0.3＝4.4

2某服装店根据历年销售资料得知：一位顾客在商店中购买服装的件数X的分布列为

试求顾客在商店平均购买服装件数．

解：E（X）＝1×0.33＋2×0.31＋3×0.13＋4×0.09＋5×0.04＝1.9

3某地区一个月内发生重大交通事故数X服从如下分布

试求该地区发生重大交通事故的月平均数．

解：E（X）＝1×0.362＋2×0.216＋3×0.087＋4×0.026＋5×0.006＋6×0.002＝1.201

4一海运货船的甲板上放着20个装有化学原料的圆桶，现已知其中有5桶被海水污染了．若从中随机抽取8桶，记X为8桶中被污染的桶数，试求X的分布列，并求E（X）．

解：因为X的可能取值为0，1，2，…，5，且

将计算结果列表为

由此得E（X）＝1×0.2554＋2×0.3973＋3×0.2384＋4×0.0542＋5×0.0036＝2

5用天平称某种物品的质量（砝码仅允许放在一个盘中），现有三组砝码：（甲）1，2，2，5，10（g）；（乙）1，2，3，4，10（g）；（丙）1，1，2，5，10（g），称重时只能使用一组砝码．问：当物品的质量为1g，2g，…，10g的概率是相同的，用哪一组砝码称重所用的平均砝码数最少？

解：分别用X，Y，Z表示用甲、乙、丙三组砝码称重时所用的砝码数．

（1）用甲组砝码称重时，1个砝码可称4种物品（1，2，5，10（g））；2个砝码可称4种物品（3，4，6，7（g））；3个砝码可称2种物品（8，9（g））．所以X的分布列为列为

因此平均所用砝码数为：E（X）＝1×4/10＋2×4/10＋3×2/10＝1.8．

（2）用乙组砝码称重时，1个砝码可称5种物品（1，2，3，4，10（g））；2个砝码可称3种物品（5，6，7（g））；3个砝码可称2种物品（8，9（g））．所以Y的分布列为

因此平均所用砝码数为：E（Y）＝1×5/10＋2×3/10＋3×2/10＝1.7．

（3）用丙组砝码称重时，1个砝码可称4种物品（1，2，5，10（g））；2个砝码可称3种物品（3，6，7（g））；3个砝码可称2种物品（4，8（g））；4个砝码可称1种物品（9（g））．所以Z的分布列为

因此平均所用砝码数为：E（Z）＝1×4/10＋2×3/10十3×2/10＋4×1/10＝2.0．

所以用乙组砝码称重时，所用的平均砝码数最少．

6假设有十只同种电器元件，其中有两只不合格品．装配仪器时，从这批元件中任取一只，如是不合格品，则扔掉重新任取一只；如仍是不合格品，则扔掉再取一只，试求在取到合格品之前，已取出的不合格品只数的数学期望．

解：记A_i为“第i次取m的是合格品”，i＝1，2，3．随机变量X为“取到合格品之前，已取出的不合格品数”．则

P（X＝0）＝P（A₁）＝8/10

P（X＝1）＝P（₁A₂）＝（2/10）×（8/9）＝8/45

P（X＝2）＝P（₁₂A₃）＝（2/10）×（1/9）×（8/8）＝1/45

上述三个概率组成一个分布列，其数学期望为E（X）＝1×8/45＋2×1/45＝2/9

7对一批产品进行检查，如查到第a件全为合格品，就认为这批产品合格；若在前a件中发现不合格品即停止检查，且认为这批产品不合格．设产品的数量很大，可认为每次查到不合格品的概率都是p．问每批产品平均要查多少件？

解：设每批要查X件，记q＝1－p，则X的分布列为

所以

8某人参加“答题秀”，一共有问题1和问题2两个问题．他可以自行决定回答这两个问题的顺序．如果他先回答一个问题，那么只有回答正确，他才被允许回答另一题．如果他有60%的把握答对问题1，而答对问题1将获得200元奖励；有80%的把握答对问题2，而答对问题2将获得100元奖励．问他应该先回答哪个问题，才能使获得奖励的期望值最大化？

解：记X为回答顺序为1，2时，所获得的奖励，则X的分布列为

由此得E（X）＝168（元）

又记Y为回答顺序为2，1时，所获得的奖励，则Y的分布列为

由此得E（Y）＝176（元）

因此应该先回答问题2，可以使获得的奖励的期望值最大．

9某人想用10000元投资于某股票，该股票当前的价格是2元/股．假设一年后该股票等可能的为1元/股和4元/股．而理财顾问给他的建议是：若期望一年后所拥有的股票市值达到最大，则现在就购买；若期望一年后所拥有的股票数量达到最大，则一年以后购买．试问理财顾问的建议是否正确？为什么？

解：如果现在就购买2元/股，则10000元可购买5000股．记X为一年后所拥右的股票市值X的分布列为

所以E（X）＝12500元，比一年后购买（市值为10000元）大．

如果一年后购买，记Y为一年后所购股票数，则10000元等可能地购买10000/1＝10000股或10000/4＝2500股，所以Y的分布列为

由此得E（Y）＝5000＋1250＝6250（股），比现在就购买（5000股）多．

因此，理财顾问的建议是正确的．

10保险公司的某险种规定：如果某个事件A在一年内发生了，则保险公司应付给投保户金额a元，而事件A在一年内发生的概率为p．如果保险公司向投保户收取的保费为ka，则问k为多少，才能使保险公司期望收益达到a的10%？

解：记X为保险公司的收益，则X的分布列为

所以保险公司的期望收益为E（X）＝－ap＋ka（1－p）．由E（X）≥0.1a，即从－ap＋ka（1－p）≥0.1a中解得k≥（0.1＋p）/（1－p），所以取k＝（0.1＋p）/（1－p）即可满足要求．

注意：这里k是p的严格增函数，具体有

由此可见，若特定事件A发生的概率超过0.4时，再参加此种保险已无多大实际意义了．

11某厂推土机发生故障后的维修时间T是一个随机变量（单位：小时），其密度函数为

试求平均维修时间．

解：计算得

故其平均维修时间为50小时．

12某新产品在未来市场上的占有率X是仅在区间（0，1）上取值的随机变量，它的密度函数为

试求平均市场占有率．

解：这里平均市场占有率就是E（X）．

13设随机变量X的密度函数如下，试求E（2X＋5）．

解：因为

所以E（2X＋5）＝7．

14设随机变量X的分布函数如下，试求E（X）．

解：X的密度函数（如图2-2-6）为

图2-2-6

所以

15设随机变量X的密度函数为

如果E（X）＝2/3，求a和b．

解：由

得：a＋b/3＝1①

又由

得：a/2＋b/4＝2/3②

联立①②，解得a＝1/3，b＝2．

16某工程队完成某项工程的时间X（单位：月）是一个随机变量，它的分布列为

（1）试求该工程队完成此项工程的平均月数；

（2）设该工程队所获利润为Y＝50（13－X），单位为万元．试求工程队的平均利润；

（3）若该工程队调整安排，完成该项工程的时间X₁（单位：月）的分布为

则其平均利润可增加多少？

解：（1）E（X）＝10×0.4＋11×0.3＋12×0.2＋13×0.1＝11，该工程队完成此项工程平均需11个月．

（2）E（Y）＝E[50（13－X）]＝650－50×E（X）＝650－550＝100，该工程队所获平均利润为100万元．

（3）调整安排后，E（X₁）＝10×0.5＋11×0.4＋12×0.1＝10.6，所以平均利润为E（Y₁）＝E[50（13－X₁）]＝650－50×10.6＝120，由此得平均利润可增加120－100＝20（万元）．

17设随机变量X的概率密度函数为

对X独立重复观察4次，Y表示观察值大于π/3的次数，求Y²的数学期望．

解：因为事件“观察值大于π/3”可用{X＞π/3}表示，从而

而Y的分布列为

所以

18设随机变量X的密度函数为

试求1/X²的数学期望．

解：计算得

19设X为仅取非负整数的离散随机变量，若其数学期望存在，证明：

（1）

（2）

证：（1）由于

存在，所以该级数绝对收敛，从而有

（2）

20设连续随机变量X的分布函数为F（x），且数学期望存在，证明：

证：

将第一个积分改写为二次积分，然后改变积分次序，得

第二个积分亦可改写为二次积分，然后改变积分次序，可得

这两个积分之和恰好是所要求证明的等式．

21设X为非负连续随机变量，若E（Xⁿ）存在，试证明：

（1）

（2）

证：（1）因为X为非负连续随机变量，所以当x＜0时，有F（x）＝0．利用20题给出的公式得

（2）因为X为非负连续随机变量，所以Xⁿ也是非负连续随机变量，因此利用（1）可得

令y＝xⁿ，则

三、随机变量的方差与标准差

1设随机变量X满足E（X）＝Var（X）＝λ，已知E[（X－1）（X－2）]＝1，试求λ．

解：由E（X²）＝Var（X）＋[E（X）]²＝λ＋λ²，及题设条件

1＝E[（X－1）（X－2）]＝E[X²－3X＋2]＝E（X²）－3λ＋2＝λ＋λ²－3λ＋2

得λ²－2λ＋1＝0，从中解得λ＝1．

2假设有10只同种电器元件，其中有两只不合格品．装配仪器时，从这批元件中任取一只，如是不合格品，则扔掉重新任取一只；如仍是不合格品，则扔掉再取一只，试求在取到合格品之前，已取出的不合格品数的方差．

解：记X为取到合格品之前，已取出的不合格品数，则X的分布列为

由此得E（X）＝2/9，E（X²）＝4/15，Var（X）＝4/15－（2/9）²＝88/405＝0.2173

3已知E（X）＝－2，E（X²）＝5，求Var（1－3X）．

解：Var（1－3X）＝9Var（X）＝9[E（X²）－（E（X））²]＝9[5－4]＝9

4设P（X＝0）＝1－P（X＝1），如果E（X）＝3Var（X），求P（X＝0）．

解：记p＝P（X＝0），则P（X＝1）＝1－p，因为E（X）＝1－p，Var（X）＝p（1－p），所以由E（X）＝3Var（X）得1－p＝3p（1－p）．

由此解得p＝1/3或p＝1．因为p＝1导致X为单点分布，即X几乎处处为0，这无多大实际意义，故舍去．所以得P（X＝0）＝p＝1/3．

5设随机变量X的分布函数为

试求Var（X）．

解：X的密度函数为

所以

由此得Var（X）＝E（X²）－[E（X）]²＝7.5－1＝6.5．

6设随机变量X的密度函数为

试求Var（3X＋2）．

解：因为

所以Var（X）＝E（X²）－[E（X）]²＝1/6，由此得Var（3X＋2）＝9Var（X）＝1.5．

7设随机变量X的密度函数为

如果已知E（X）＝0.5，试计算Var（X）．

解：因为

　①

　②

联立①②，解得a＝6，b＝－6．由此得

所以Var（X）＝E（X²）－[E（X）]²＝3/10－1/4＝0.05

8设随机变量X的分布函数为

试求E（X）和Var（X）．

解：因为X为非负连续随机变量，所以利用习题2.2第21题，有

由此得Var（X）＝1－π/4．

注：此题也可直接计算得

所以

9试证：对任意的常数c≠E（X），有Var（X）＝E（X－E（X））²＜E（X－c）²．

证：E（X－E（X））²＝E[（X－c）－（E（X）－c）]²＝E（X－c）²－（E（X）－c）²，由于c≠E（X），所以（E（X）－c）²＞0，由此得Var（X）＝E（X－E（X））²＜E（X－c）²．

10设随机变量X仅在区间[a，b]上取值，试证：a≤E（X）≤b，Var（X）≤[（b－a）/2]²

证：仅对连续随机变量X加以证明．记p（x）为X的密度函数，因为

同理可证：E（X）≥a．由上题的结论知

注：此命题表明有界随机变量的数学期望和方差总是存在的．

11设随机变量X取值x₁≤…≤x_n的概率分别是

证明

证：仿上题有

12设g（x）为随机变量X取值的集合上的非负不减函数，且E（g（X））存在，证明：对任意的ε＞0，有P（X＞ε）≤E（g（X））/g（ε）

证：仅对连续随机变量X加以证明．记p（x）为X的密度函数，则

注：此题给出证明概率不等式的一种方法——两次放大：第一次放大被积函数；第二次放大积分区域．

13设X为非负随机变量，a＞0．若E（e^aX）存在，证明：对任意的x＞0，有P（X≥x）≤E（e^aX）/e^aX．

证：因为当a＞0时，g（x）＝e^ax是非负不减函数，所以由上题即可得结论．

14已知正常成年男性每升血液中的白细胞数平均是7.3×10⁹，标准差是0.7×10⁹．试利用切比雪夫不等式估计每升血液中的白细胞数在5.2×10⁹至9.4×10⁹之间的概率的下界．

解：记X为正常成年男性每升血液中的白细胞数，由题设条件知

E（X）＝7.3×10⁹，σ（X）＝0.7×10⁹

所以由切比雪夫不等式得

四、常用离散分布

1一批产品中有10%的不合格品，现从中任取3件，求其中至多有一件不合格品的概率．

解：记X为取出的3件产品中的不合格品数，则X～b（3，0.1），所求概率为

P（X≤1）＝P（X＝0）＋P（X＝1）＝0.9³＋3×0.1×0.9²＝0.972

2一条自动化生产线上产品的一级品率为0.8，现检查5件，求至少有2件一级品的概率．

解：记X为检查5件产品中的一级品数，则X～b（5，0.8），所求概率为

P（X≥2）＝1－P（X＝0）－P（X＝1）＝1－0.2⁵－5×0.8×0.2⁴＝0.9933

3某射手命中10环的概率为0.7，命中9环的概率为0.3．试求该射手三次射击所得的环数不少于29环的概率．

解：记X为三次射击中命中10环的次数，则X～b（3，0.7）．因为“所得的环数不少于29环”相当于“射击三次至少二次命中10环”，故所求概率为

P（X≥2）＝P（X＝2）＋P（X＝3）＝3×0.7²×0.3＋0.7³＝0.784

4经验表明：预定餐厅座位而不来就餐的顾客比例为20%．如今餐厅有50个座位，但预定给了52位顾客，问到时顾客来到餐厅而没有座位的概率是多少？

解：记X为预定的52位顾客中不来就餐的顾客数，则X～b（52，0.2）．因为“顾客来到餐厅没有座位”相当于“52位顾客中最多1位顾客不来就餐”，所以所求概率为

P（X≤1）＝P（X＝0）＋P（X＝1）＝0.8⁵²＋52×0.8⁵¹×0.2＝0.0001279

5设随机变量X～b（n，p），已知E（X）＝2.4，Var（X）＝1.44，求两个参数n与p各为多少？

解：从np＝E（X）＝2.4和np（1－p）＝Var（X）＝1.44中解得n＝6，p＝0.4．

6设随机变量X服从二项分布b（2，p），随机变量Y服从二项分布b（4，p）．若P（X≥1）＝8/9，试求P（Y≥1）．

解：从8/9＝P（X≥1）＝1－P（X＝0）＝1－（1－p）²中解得p＝2/3．由此得

P（Y≥1）＝1－P（Y＝0）＝1－（1－p）⁴＝1－（1/3）⁴＝80/81

7一批产品的不合格品率为0.02，现从中任取40件进行检查，若发现两件或两件以上不合格品就拒收这批产品．分别用以下方法求拒收的概率：

（1）用二项分布作精确计算；

（2）用泊松分布作近似计算．

解：记X为抽取的40件产品中的不合格品数，则X～b（40，0.02）．而“拒收”就相当于“X≥2”．

（1）拒收的概率为P（X≥2）＝1－P（X＝0）－P（X＝1）＝1－0.98⁴⁰－40×0.98³⁹×0.02＝0.1905

（2）因为λ＝40×0.02＝0.8，所以用泊松分布作近似计算，可得近似值为P（X≥2）＝1－P（X＝0）－P（X＝1）≈1－e^－0.8－0.8×e^－0.8＝0.1912．可见近似值与精确值相差0.0007，近似效果较好．

8设X服从泊松分布，且已知P（X＝1）＝P（X＝2），求P（X＝4）．

解：由P（X＝1）＝P（X＝2）得λe^－λ＝λ²e^－λ/2，从中解得λ＝2，由此得

P（X＝4）＝λ⁴e^－λ/（4！）＝2⁴e^－2/（4！）＝0.0902

9已知某商场一天来的顾客数X服从参数为λ的泊松分布，而每个来到商场的顾客购物的概率为p，证明：此商场一天内购物的顾客数服从参数为λp的泊松分布．

证：用Y表示商场一天内购物的顾客数，则由全概率公式知，对任意正整数k有

这表明：Y服从参数为λp的泊松分布．

10设一个人一年内患感冒的次数服从参数λ＝5的泊松分布．现有某种预防感冒的药对75%的人有效（能将泊松分布的参数减少为λ＝3），对另外的25%的人不起作用．如果某人服用了此药，一年内患了两次感冒，那么该药对他（她）有效的可能性是多少？

解：记事件A为“服用此药后，一年感冒两次”，事件B为“服用此药后有效”．因为

因此所求概率为

11有三个朋友去喝咖啡，他们决定用掷硬币的方式确定谁付账：每人掷一枚硬币，如果有人掷出的结果与其他两人不一样，那么由他付账；如果三个人掷出的结果是一样的，那么就重新掷，一直这样下去，直到确定了由谁来付账．求以下事件的概率：

（1）进行到了第2轮确定了由谁来付账；

（2）进行了3轮还没有确定付账人．

解：记X＝所掷的轮数，则X～Ge（p），其中

1－p＝P（重新掷）＝P（出现三个正面或出现三个反面）＝1/8＋1/8＝1/4

所以p＝3/4．

（1）第2轮确定由谁来付账的概率为

P（X＝2）＝（1－p）p＝（1/4）×（3/4）＝3/16＝0.1875

（2）进行了3轮还没有确定付账人的概率为

P（X＞3）＝1－P（X＝1）－P（X＝2）－P（X＝3）＝1－3/4－（1/4）×（3/4）－（1/4）²×（3/4）＝1/64＝0.0156

12从一个装有m个白球、n个黑球的袋中进行有返回地摸球，直到摸到白球时停止．试求取出黑球数的期望．

解：令X为取到白球时已取出的黑球数，则Y＝X＋1服从几何分布Ge（m/（n＋m）），所以E（Y）＝（n＋m）/m＝n/m＋1，由此得E（X）＝E（Y）－1＝n/m．

13某种产品上的缺陷数X服从下列分布列：P（X＝k）＝1/2^k＋1，k＝0，1，…，求此种产品上的平均缺陷数．

解：由题意知Y＝X＋1可看作服从几何分布Ge（1/2）的随机变量，所以E（Y）＝2，由此得E（X）＝E（Y）－1＝1．

14设随机变量X的密度函数为

以Y表示对X的三次独立重复观察中事件{X≤1/2}出现的次数，试求P（Y＝2）．

解：因为Y～b（3，p），其中

所以

15某产品的不合格品率为0.1，每次随机抽取10件进行检验，若发现其中不合格品数多于1，就去调整设备．若检验员每天检验4次，试问每天平均要调整几次设备．

解：令X为每次检验中不合格品的个数，则X～b（10，0.1），而调整设备的概率为P（X＞1）＝0.2639．又记Y为每天调整设备的次数，则Y～b（4，0.2639），所以平均每天调整次数为E（Y）＝4×0.2639＝1.0556．

16一个系统由多个元件组成，各个元件是否正常工作是相互独立的，且各个元件正常工作的概率为p．若在系统中至少有一半的元件正常工作，那么整个系统就有效．问p取何值时，5个元件的系统比3个元件的系统更有可能有效？

解：记X为5个元件的系统中，正常工作的元件数；Y为3个元件的系统中，正常工作的元件数．则X～b（5，p），Y～b（3，p）．

对X而言，系统有效的概率为

对Y而言，系统有效的概率为

根据题意，求满足下式的p：

P（X≥3）＞P（Y≥2），即10p³（1－p）²＋5p⁴（1－p）＋p⁵＞3p²（1－p）＋p³．

上述不等式可简化为2p³－5p²＋4p－1＞0，或（p－1）²（2p－1）＞0，或（2p－1）＞0，从而有p＞1/2．

17设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，试证明：E（Xⁿ）＝λE[（X＋1）^n－1]．利用此结果计算E（X³）．

证：

由此得E（X³）＝λE（X＋1）²＝λ²E（X＋2）＝λ²（λ＋2）＝λ³＋2λ²

18令X（n，p）表示服从二项分布b（n，p）的随机变量，试证明：P（X（n，p）≤i）＝1－P（X（n，1－p）≤n－i－1）．

证：

19设随机变量X服从参数为p的几何分布，试证明：E（1/X）＝－plnp/（1－p）

证：

20设随机变量X～b（n，p），试证明：

证：

五、常用连续分布

1设随机变量X服从区间（2，5）上的均匀分布，求对X进行3次独立观测中，至少有2次的观测值大于3的概率．

解：在一次观测中，观测值大于3的概率为

设Y为此种观测（X＞3）的次数，则Y～b（3，2/3），由此得

P（Y≥2）＝1－P（Y＝0）－P（Y＝1）＝1－（1/3）³－3×（2/3）×（1/3）²＝20/27

2在（0，1）上任取一点记为X，试求P（X²－3X/4＋1/8≥0）．

解：由x²－3x/4＋1/8＝0解得x₁＝0.25，x₂＝0.5．因为X～U（0，1），又因为二次函数y＝x²－3x/4＋1/8是开口向上的，故有

{X²－3X/4＋1/8≥0}＝{0≤X≤0.25}∪{0.5≤X≤1}

所以

3设K服从（1，6）上的均匀分布，求方程x²＋Kx＋1＝0有实根的概率．

解：方程x²＋Kx＋1＝0有实根的充要条件是

{K²－4≥0}＝{K≤－2}∪{K≥2}

而K～U（1，6），因此所求概率为

4若随机变量K～N（µ，σ²），而方程x²＋4x＋K＝0无实根的概率为0.5，试求µ．

解：方程x²＋4x＋K＝0无实根等价于16－4K＜0，所以由题意知0.5＝P（16－4K＜0）＝P（K＞4）＝1－Φ[（4－µ）/σ]，由此得知µ＝4．

5设流经一个2Ω电阻上的电流I是一个随机变量，它均匀分布在9A至11A之间．试求此电阻上消耗的平均功率，其中功率W＝2I²．

解：因为I～U（9，11），所以平均功率为

6某种圆盘的直径在区间（a，b）上服从均匀分布，试求此种圆盘的平均面积．

解：记X为圆盘的直径，则圆盘的面积为Y＝πX²/4，所以平均面积为

7设某种商品每周的需求量X服从区间（10，30）上均匀分布，而商店进货数为区间（10，30）中的某一整数，商店每销售1单位商品可获利500元；若供大于求则削价处理，每处理1单位商品亏损100元；若供不应求，则可从外部调剂供应，此时每1单位商品仅获利300元．为使商店所获利润期望值不少于9280元，试确定最少进货量．

解：设进货量为a，则利润为

所以平均利润为

按照题意要求有

－7.5a²＋350a＋5250≥9280或－7.5a²＋350a－4030≥0

解得，因此最少进货为21单位．

8统计调查表明，英格兰在1875年至1951年期间，在矿山发生10人或10人以上死亡的两次事故之间的时间T（以日计）服从均值为241的指数分布．试求P（50＜T＜100）．

解：P（50＜T＜100）＝F（100）－F（50）＝e^－50/241－e^－100/241＝0.1523

9若一次电话通话时间X（单位：min）服从参数为0.25的指数分布，试求一次通话的平均时间．

解：因为X～Exp（λ），其中λ＝0.25．所以E（X）＝1/λ＝1/0.25＝4min．

10某种设备的使用寿命X（以年计）服从指数分布，其平均寿命为4年．制造此种设备的厂家规定，若设备在使用一年之内损坏，则可以予以调换．如果设备制造厂每售出一台设备可赢利100元，而调换一台设备制造厂需花费300元．试求每台设备的平均利润．

解：令

即Y是一台设备在使用一年之内损坏的台数，显然Y～b（1，p），其中

因为每台设备的利润为Z＝100－300Y，所以每台设备的平均利润为

E（Z）＝100－300E（Y）＝100－300×0.2212＝33.64（元）

11设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以min计）服从指数分布，其密度函数为

某顾客在窗口等待服务，若超过10min，他就离开．他一个月要到银行5次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试求P（Y≥1）．

解：因为Y～b（5，p），其中p＝P（X＞10）＝e^－2，所以得

P（Y≥1）＝1－P（Y＝0）＝1－（1－p）⁵＝1－（1－e^－2）⁵＝0.5167

12某仪器装了3个独立工作的同型号电子元件，其寿命（单位：h）都服从同一指数分布，密度函数为

试求：此仪器在最初使用的200h内，至少有一个此种电子元件损坏的概率．

解：设Y为仪器在最初使用的200h内，损坏的元件个数，则Y～b（3，p），其中

所以至少有一个电子元件损坏的概率为

P（Y≥1）＝1－P（Y＝0）＝1－（1－p）³＝1－[1－（1－e^－1/3）]³＝1－e^－1＝0.6321

13设随机变量X的密度函数为

试求k，使得P（X＞k）＝0.5．

解：因为

由此解得k＝ln2/λ．

14设随机变量X的密度函数为

若P（X≥k）＝2/3，试求k的取值范围．

解：由题设条件2/3＝P（X≥k）＝1－P（X＜k），知F（k）＝1/3．又由p（x）得分布函数如下

F（x）的图形如图2-2-8所示．

图2-2-8

由此得1≤k≤3．

15写出以下正态分布的均值和标准差．

解：对p₁（x）有

所以p₁（x）的均值μ₁＝－2，标准差

对p₂（x）有

所以p₂（x）的均值μ₂＝0，标准差σ₂＝1/2

对p₃（x）有

所以p₃（x）的均值μ₃＝0，标准差

16某地区18岁女青年的血压X（收缩压，以mm－Hg计）服从N（110，12²）．试求该地区18岁女青年的血压在100至120的可能性有多大？

解：P（100＜X＜120）＝Φ[（120－110）/12]－Φ[（100－110）/12]＝Φ（5/6）－Φ（－5/6）＝2Φ（5/6）－1＝0.5950，其中Φ（5/6）＝Φ（0.833）＝0.7975是用内插法得到的．

17某地区成年男子的体重X（kg）服从正态分布N（μ，σ²）．若已知P（X≤70）＝0.5，P（X≤60）＝0.25．

（1）求μ与σ各为多少？

（2）若在这个地区随机地选出5名成年男子，问其中至少有两人体重超过65kg的概率是多少？

解：（1）由0.5＝P（X≤70）＝Φ[（70－μ）/σ]，知（70－μ）/σ＝0

由此解得μ＝70．又由

0.25＝P（X≤60）＝Φ[（60－70）/σ]＝Φ（－10/σ）＝1－Φ（10/σ）

即0.75＝Φ（10/σ），查表知10/σ＝0.675，由此解得σ＝14.81．

（2）记Y为选出的5名成年男子中体重超过65kg的人数，则Y～b（5，p），其中

p＝P（X＞65）＝Φ[（70－65）/14.81]＝Φ（0.3376）＝0.6324

所以“5名中至少有两人体重超过65kg”的概率为

P（Y≥2）＝1－0.3676⁵－5×0.3676⁴×0.6324＝0.94

18由某机器生产的螺栓的长度（cm）服从正态分布N（10.05，0.06²），若规定长度在范围l0.05±0.12内为合格品，求螺栓不合格的概率．

解：记螺栓的长度为X，则

P（螺栓不合格）＝1－P（10.05－0.12≤X≤10.05＋0.12）＝2－2Φ（0.12/0.06）＝2－2×0.9772＝0.0456

19某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似地服从μ＝72的正态分布，已知96分以上的人数占总数的2.3%，试求考生的成绩在60分至84分之间的概率．

解：记X为考生的外语成绩，由题设条件知X～N（72，σ²），其中σ未知，但由题设条件知0.023＝P（X＞96）＝1－Φ[（96－72）/σ]，即Φ（24/σ）＝0.977

因此查表知24/σ＝2，由此解得σ＝12，从而得X～N（72，12²），由此所求概率为

P（60＜X＜84）＝2Φ（1）－1＝2×0.8413－1＝0.6826．

20设随机变量X～N（3，2²），（1）求P（2＜X≤5）；（2）求P（|X|＞2）；（3）确定c使得P（X＞c）＝P（X＜c）．

解：（1）P（2＜X≤5）＝Φ（1）－Φ（－0.5）＝Φ（1）－1＋Φ（0.5）＝0.5328．

（2）P（|X|＞2）＝P（X＞2）＋P（X＜－2）＝1－Φ（－0.5）＋Φ（－2.5）＝Φ（0.5）＋1－Φ（2.5）＝0.6977．

（3）因为1＝P（X＞c）＋P（X＜c），所以由题设条件P（X＞c）＝P（X＜c）得P（X＜c），进而有（c－3）/2＝0．由此得c＝3．

21设随机变量X～N（4，3²），（1）求P（－2＜X≤10）；（2）求P（X＞3）；（3）设d满足P（X＞d）≥0.9，问d至多为多少？

解：（1）P（－2＜X≤10）＝Φ（2）－Φ（－2）＝2Φ（2）－1＝2×0.9772－1＝0.9544．

（2）P（X＞3）＝1－Φ（－1/3）＝Φ（1/3）＝0.6304．

（3）由0.9≤P（X＞d）＝Φ（（4－d）/3）查表得（4－d）/3≥1.282，由此解得d≤0.154，故d至多取0.154．

22测量到某一目标的距离时，发生的随机误差X（m）具有密度函数

求在三次测量中，至少有一次误差的绝对值不超过30m的概率．

解：记Y为三次测量中误差的绝对值不超过30m的次数，则Y～b（3，p），其中p为“一次测量中误差的绝对值不超过30m”的概率，由X～N（20，40²）．可知

p＝P（－30≤X≤30）＝Φ（10/40）－Φ（－50/40）＝Φ（0.25）－1＋Φ（1.25）＝0.4931

所以“三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过30m”的概率为

P（Y≥1）＝1－P（Y＝0）＝1－（1－p）³＝1－0.5069³＝0.8698

23从甲地飞往乙地的航班，每天上午10：10起飞，飞行时间X服从均值是4h，标准差是20min的正态分布．

（1）该机在下午2：30以后到达乙地的概率是多少？

（2）该机在下午2：20以前到达乙地的概率是多少？

（3）该机在下午1：50至2：30之间到达乙地的概率是多少？

解：设时间单位为min，则X～N（240，20²）

（1）所求概率为

P（X≥260）＝1－Φ（（260－240）/20）＝1－Φ（1）＝1－0.8413＝0.1587

（2）所求概率为

P（X≤250）＝Φ（（250－240）/20）＝Φ（0.5）＝0.6915

（3）所求概率为

P（220≤X≤260）＝2Φ（1）－1＝2×0.8413－1＝0.6826

24某单位招聘员工，共有10000人报考．假设考试成绩服从正态分布．且已知90分以上有359人，60分以下有1151人．现按考试成绩从高分到低分依次录用2500人，试问被录用者中最低分为多少？

解：记X为考试成绩，则X～N（μ，σ²），由频率估计概率知

0.0359＝P（X＞90）＝1－Φ[（90－μ）/σ]

0.1151＝P（X＜60）＝1－Φ[（60－μ）/σ]

上面两式可改写为

0.9641＝Φ[（90－μ）/σ]

0.8849＝Φ[（μ－60）/σ]

再查表得

（90－μ）/σ＝1.8，（μ－60）/σ＝1.2

由此解得μ＝72，σ＝10．设被录用者中最低分为k，则由

0.25＝P（X≥k）＝1－Φ[（k－72）/10]，或0.75＝Φ[（k－72）/10]

查表得（k－72）/10≥0.675，从中解得k≥78.75，因此取被录用者中最低分为78.75分即可．

25设随机变量X服从正态分布N（60，3²），试求实数a，b，c，d使得X落在如下五个区间中的概率之比为7：24：38：24：7．

（－∞，a]，（a，b]，（b，c]，（c，d]，（d，＋∞]

解：由题设条件知

P（X≤a）＝0.07；P（X≤b）＝0.31；P（X≤c）＝0.69；P（X≤d）＝0.93

所以

（1）由于P（X≤a）＝Φ（（a－60）/3）＝0.07，即Φ（（60－a）/3）＝0.93，因此查表得（60－a）/3＝1.48，由此得a＝55.56．

（2）由于P（X≤b）＝Φ（（b－60）/3）＝0.31，即Φ（（60－b）/3）＝0.69，因此查表得（60－b）/3＝0.495由此得b＝58.5．

（3）由P（X≤c）＝0.69，查表得（c－60）/3＝0.495，由此得c＝61.5．

（4）由P（X≤d）＝0.93，查表得（d－60）/3＝1.48，由此得d＝64.44．

26设随机变量X与Y均服从正态分布，X服从N（μ，4²），Y服从N（μ，5²）试比较以下p₁和p₂的大小．

p₁＝P{X≤μ－4}，p₂＝P{Y≥μ＋5}

解：因为

p₁＝P{X≤μ－4}＝Φ（－1）＝1－Φ（1）

p₂＝P{Y≥μ＋5}＝1－Φ（1）

所以p₁与p₂一样大小．

27设随机变量X服从正态分布N（0，σ²），若P（|X|＞k）＝0.1，试求P（X＜k）．

解：由题设条件知

0.9＝P（－k≤X≤k）＝Φ（k/σ）－Φ（－k/σ）＝Φ（k/σ）－1

由此得Φ（k/σ）＝0.95所以P（X＜k）＝Φ（k/σ）＝0.95．

28设随机变量X服从正态分布N（μ，σ²），试问：随着σ的增大，概率P（|X－μ|＜σ）是如何变化的？

解：因为

P（|X－μ|＜σ）＝P（－σ＜X－μ＜σ）＝Φ（1）－Φ（－1）＝0.6826

所以随着σ的增大，概率P（|X－μ|＜σ）是不变的．

29设随机变量X服从参数为μ＝160和σ的正态分布，若要求P（120＜X≤200）≥0.90，允许σ最大为多少？

解：由题设条件0.90≤P（120＜X≤200）＝2Φ（40/σ）－1，得Φ（40/σ）≥0.95，从而查表得40/σ≥1.645，或σ≤24.32，这表明矿最大为24.32．

30设随机变量X～N（μ，σ²），求E|X－μ|

解：利用变换t＝（x－μ）/σ及偶函数性质可得

31设X～N（0，σ²），证明：

证：在上题中令μ＝0即可得结论．

32设随机变量X服从伽玛分布Ga（2，0.5），试求P（X＜4）．

解：伽玛分布Ga（2，0.5）的密度函数为

由于Γ（2）＝1，因此所求概率为

33某地区漏缴税款的比率X服从参数a＝2，b＝9的贝塔分布，试求此比率小于10%的概率及平均漏缴税款的比率．

解：贝塔分布Be（2，9）的密度函数为

因为Γ（2＋9）＝10！，Γ（2）＝1，Γ（9）＝8！，所以Γ（2＋9）/Γ（9）＝90，因此

E（X）＝a/（a＋b）＝2/11＝0.1818．

34某班级学生中数学成绩不及格的比率X服从a＝1，b＝4的贝塔分布，试求P（X＞E（X））．

解：贝塔分布Be（1，4）的密度函数为

且由E（X）＝a/（a＋b）＝1/5＝0.2，知

六、随机变量函数的分布

1已知离散随机变量X的分布列为

试求Y＝X²与Z＝|X|的分布列．

解：

2已知随机变量X的密度函数为

试求随机变量Y＝g（X）的概率分布，其中

解：因为p（x）为偶函数，所以可得P（X＜0）＝P（X≥0）＝0.5，由此得

P（Y＝－1）＝P（X＜0）＝P（X≥0）＝P（Y＝1）＝0.5

所以Y的分布列为

3设随机变量X服从（－1，2）上的均匀分布，记

试求Y的分布列．

解：因为P（Y＝－1）＝P（X＜0＝1/3），P（Y＝1）＝P（X≥0）＝2/3，所以Y的分布列为

4设X～U（0，1），试求1－X的分布．

解：X的密度函数为

因为y＝g（x）＝1－x在（0，1）上为严格单调减函数，其反函数为x＝h（y）＝1－y．且有h′（y）＝－1，所以Y＝1－X的密度函数为

这表明：当X～U（0，1）时，1－X与X同分布．

5设随机变量X服从（－π/2，π/2）上的均匀分布，求随机变量Y＝cosX的密度函数p_Y（y）．

解：X的密度函数为

由于X在（－π/2，π/2）内取值，所以Y＝cosX的可能取值区间为（0，1）．在Y的可能取值区间外，p_Y（y）＝0.

当0＜y＜1时，使{Y≤y}的x取值范围为两个互不相交的区间Δ₁和Δ₂，其中Δ₁＝（－π/2，－arccosy），Δ₂＝（arccosy，π/2），如图2-2-9所示．

图2-2-9

故

在上式两端对y求导，得

即

6设圆的直径服从区间（0，1）上的均匀分布，求圆的面积的密度函数．

解：设圆的直径为X，则圆的面积Y＝πX²/4，而X的密度函数为

因为y＝g（X）＝πX²/4在区间（0，1）上为严格单调增函数，其反函数为

且

所以圆面积Y＝πX²/4的密度函数为

7设随机变量X服从区间（1，2）上的均匀分布，试求Y＝e^2X的密度函数．

解：X的密度函数为

由于X在（1，2）内取值，所以Y＝e^2X的可能取值区间为（e²，e⁴），且y＝g（x）＝e^2x在区间（1，2）上为严格单调增函数，其反函数为x＝h（y）＝（lny）/2，且h′（y）＝1/（2y），所以Y＝e^2X的密度函数为

8设随机变量X服从区间（0，2）上的均匀分布．

（1）求Y＝X²的密度函数；

（2）P（Y＜2）．

解：X的密度函数为

（1）Y＝X²的可能取值区间为（0，4）．因为y＝g（x）＝x²在区间（0，2）上为严格单调增函数，其反函数为

且

所以Y＝X²的密度函数为

（2）

9设随机变量X服从区间（－1，1）上的均匀分布，求：

（1）P（|x|＞1/2）

（2）Y＝|X|的密度函数．

解：（1）

（2）F_Y（y）＝P（|X|≤y），当y＜0时，F_Y（y）＝0；当y≥1时，F_Y（y）＝1；当0≤y＜1时，

所以得

10设随机变量X服从（0，1）上的均匀分布，试求以下Y的密度函数：

（1）Y＝－2lnX；

（2）Y＝3X＋1

（3）Y＝e^X

（4）Y＝|lnX|

解：X的密度函数为

（1）因为Y的可能取值区间为（0，＋∞），且y＝g（x）＝－2lnx在区间（0，1）上为严格单调减函数，其反函数为x＝h（y）＝e^－0.5y，且h′（y）＝－0.5e^－0.5y．所以Y＝－2lnX的密度函数为

（2）因为Y的可能取值区间为（1，4），且y＝g（x）＝3x＋1在区间（0，1）上为严格单调增函数，其反函数为x＝h（y）＝（y－1）/3．且h′（y）＝1/3，所以Y＝3X＋1的密度函数为

（3）因为Y的可能取值区间为（1，e），且y＝g（x）＝e^x在区间（0，1）上为严格单调增函数，其反函数为x＝h（y）＝lny．且h′（y）＝1/y所以Y＝e^X的密度函数为

（4）因为Y的可能取值区间为（0，＋∞），且y＝|lnx|在区间（0，1）上为严格单调减函数，其反函数为x＝h（y）＝e^－y，且h′（y）＝－e^－y所以Y＝|lnX|的密度函数为

11设随机变量X的密度函数为

试求下列随机变量的分布：

（1）Y₁＝3X；

（2）Y₂＝3－X；

（3）Y₃＝X²

解：（1）因为Y₁的可能取值区间为（－3，3），且y＝g（x）＝3x在区间（－1，1）上为严格单调增函数，其反函数为x＝h（y）＝y/3，且h′（y）＝1/3，所以Y₁＝3X的密度函数为

（2）因为Y₂的可能取值区间为（2，4），且y＝g（x）＝3－x在区间（－1，1）上为严格单调减函数，其反函数为x＝h（y）＝3－y，且h′（y）＝－1，所以Y₂＝3－X的密度函数为

（3）因为Y₃的可能取值区间为（0，1），所以在区间（0，1）外，Y₃的密度函数为p_Y（y）＝0．而当0＜y＜1时，Y₃的分布函数为

上式两边关于y求导，得

即

这是贝塔分布Be（3/2，1）．

12设X～N（0，σ²），求Y＝X²的分布．

解：因为Y＝X²的可能取值区间为（0，＋∞），所以当y≤0时，Y的密度函数为p_Y（y）＝0而当y＞0时，Y的分布函数为

对上式两边关于y求导，得

即

这是伽玛分布Ga（1/2，1/（2σ²））

13设X～N（μ，σ²），求Y＝e^X的密度函数、数学期望与方差．

解：因为Y＝e^X的可能取值范围为（0，＋∞），且y＝g（x）＝e^x为严格单调增函数，其反函数为x＝h（y）＝lny，及h′（y）＝1/y，所以Y的密度函数为

这是对数正态分布LN（μ，σ²），为求其数学期望，采用线性变换t＝（x－μ）/σ可得

上式最后一个等式成立是因为积分中的被积函数是N（σ，1）的密度函数之故．

为求Y的方差，先求E（Y²）．施行相同的线性变换，可得

上式最后一个等式成立是因为积分中的被积函数是N（2σ，1）的密度函数之故．由此得

14设随机变量X服从标准正态分布N（0，1），试求以下Y的密度函数：

（1）Y＝|X|；

（2）Y＝2X²＋1．

解：（1）Y＝|X|的可能取值范围为（0，＋∞），所以当y≤0时，Y的密度函数为p_Y（y）＝0；当y＞0时，Y的分布函数为

F_Y（y）＝P（|X|≤y）＝P（－y≤X≤y）＝F_X（y）－F_X（－y）

对上式两端关于y求导得

所以Y的密度函数为

这个分布被称为半正态分布．

（2）Y＝2X²＋1的可能取值范围为（1，＋∞），所以当y≤1时，Y的密度函数为p_Y（y）＝0；当y＞1时，Y的分布函数为

对上式两端关于y求导得

所以Y的密度函数为

15设随机变量X的密度函数为

试求以下Y的密度函数：

（1）Y＝2X＋1

（2）Y＝e^X

（3）Y＝X²

解：（1）因为Y＝2X＋1的可能取值范围是（1，＋∞）．且y＝g（x）＝2x＋1是严格单调增函数，其反函数为x＝h（y）＝（y－1）/2，及h′（y）＝1/2，所以Y的密度函数为

（2）因为Y＝e^X的可能取值范围是（1，＋∞）．且y＝g（x）＝e^x是严格单调增函数，其反函数为x＝h（y）＝lny，及h′（y）＝1/y，所以Y的密度函数为

（3）因为Y＝X²的可能取值范围是（0，＋∞），且y＝g（x）＝x²在（0，＋∞）上是严格单调增函数，其反函数为

及

所以Y的密度函数为

这是韦布尔分布的特例．一般韦布尔分布（记为W（m，η））的密度函数为

本题结论就是m＝1/2，η＝1时的韦布尔分布形（1/2，1）．

16设随机变量X服从参数为2的指数分布，试证：Y₁＝e^－2X和Y₂＝1－e^－2X都服从区间（0，1）上的均匀分布．

证：因为X的密度函数为

又因为Y₁的可能取值范围是（0，1），且y₁＝e^－2x是严格单调减函数，其反函数为x＝h（y₁）＝－0.5lny₁，h′（y₁）＝－0.5/y₁，所以Y₁的密度函数为

即Y₁～U（0，1）又由前面第4题，知Y₂＝1－e^－2X＝1－Y₁也服从区间（0，1）上的均匀分布．结论得证．

17设X～LN（μ，σ²），试证：Y＝lnX～N（μ，σ²）

证：因为X的密度函数为

又因为Y＝lnX的可能取值范围为（－∞，＋∞）．且y＝g（x）＝lnx是区间（0，＋∞）上的严格单调增函数，其反函数为x＝h（y）＝e^y，h′（y）＝e^y．所以Y的密度函数为

这正是N（μ，σ²）的密度函数．

18设Y～LN（5，0.12²），试求P（Y＜188.7）

解：P（Y＜188.7）＝P（lnY＜ln188.7）＝Φ[（5.24－5）/0.12]＝Φ（2）＝0.9772

七、分布的其他特征数

1设随机变量X～U（a，b），对k＝1，2，3，4，求μ_k＝E（X^K）与ν_k＝E（X－E（X））^k，进一步求此分布的偏度系数和峰度系数．

解：因为

所以

μ₁＝E（X）＝（a＋b）/2

μ₂＝E（X²）＝（a²＋ab＋b²）/3

μ₃＝E（X³）＝（a³＋a²b＋ab²＋b³）/4

μ₄＝E（X⁴）＝（a⁴＋a³b＋a²b²＋ab³＋b⁴）/5

ν₁＝E（X－E（X））＝0

ν₂＝E（X－E（X））²＝Var（X）＝（a＋b）²/12

ν₃＝μ₃－3μ₂μ₁＋2μ₁³＝0

ν₄＝μ₄－4μ₃μ₁＋6μ₂μ₁²－3μ₁⁴＝（a＋b）⁴/80

偏度系数和峰度系数分别为

注：上述β_s，β_k与a，b无关，这表明：任一均匀分布的偏度为0，峰度为－1.2．

2设随机变量X～U（0，a），求此分布的变异系数．

解：因为E（X）＝a/2，Var（X）＝a²/12，所以此分布的变异系数为

3求以下分布的中位数：

（1）区间（a，b）上的均匀分布；

（2）正态分布N（μ，σ²）

（3）对数正态分布LN（μ，σ²）

解：（1）从中解得x_0.5＝（a＋b）/2

（2）记X～N（μ，σ²），由P（X≤μ）≈Φ[（μ－μ）/σ]＝0.5，可得x_0.5＝μ

（3）记Y～LN（μ，σ²），令X＝lnY，则X～N（μ，σ²）又记x_0.5为X的中位数，y_0.5为Y的中位数．则由（2）知x_0.5＝μ．即

0.5＝P（X≤μ）＝P（lnY≤μ）＝P（Y≤e^μ）

由此得y_0.5＝e^μ

4设X～Ga（α，λ），对k＝1，2，3，求μ_k＝E（X^k）与v_k＝E（X－E（X））^k

解：因为

所以

μ₁＝E（X）＝α/λ，μ₂＝E（X²）＝α（α＋1）/λ²

μ₃＝E（X³）＝α（α＋1）（α＋2）/λ³

v₁＝E[X－E（X）]＝0，v₂＝Var（X）＝α/λ²

v₃＝μ₃－3μ₂μ₁＋2μ₁³＝2α/λ³

5设X～Exp（λ），对k＝1，2，3，4，求μ_k＝E（X^k）与v_k＝E（X－E（X））^k进一步求此分布的变异系数、偏度系数和峰度系数．

解：因为

所以

μ₁＝E（X）＝1/λ，μ₂＝E（X²）＝2/λ²

μ₃＝E（X³）＝6/λ³，μ₄＝E（X⁴）＝24/λ⁴

ν₁＝E（X－E（X））＝0，ν₂＝Var（X）＝1/λ²

ν₃＝μ₃－3μ₂μ₁＋2μ₁³＝2/λ³，ν₄＝μ₄－4μ₃μ₁＋6μ₂μ₁²－3μ₁⁴＝9/λ⁴

此分布的变异系数、偏度系数和峰度系数分别为

由此可见：指数分布的变异系数、偏度系数与峰度系数均与参数λ无关．它永远是正偏尖峰．

6设随机变量X服从正态分布N（10，9），试求x_0.1和x_0.9．

解：一般正态分布N（μ，σ²）的p分位数x_p与标准正态分布的p分位数u_p，间满足关系式：x_p＝μ＋σ×u_p．所以

x_0.1＝10＋3u_0.1＝10＋3×（－1.282）＝6.154

x_0.9＝10＋3u_0.9＝10＋3×1.282＝13.846

7设随机变量X服从双参数韦布尔分布，其分布函数为

其中η＞0，m＞0．试写出该分布的p分位数x_p的表达式，且求出当m＝1.5，η＝1000时的x_0.1，x_0.5，x_0.8的值．

解：因为p分位数x_p满足

解之得

x_p＝η[－ln（1－p）]^1/m

将m＝1.5，η＝1000代入上式，可得

x_0.1＝1000[－ln0.9]^1/1.5＝223.08

x_0.5＝1000[－ln0.5]^1/1.5＝783.22

x_0.8＝1000[－ln0.2]^1/1.5＝1373.36

8自由度为2的χ²分布的密度函数为

试求出其分布函数及分位数x_0.1，x_0.5，x_0.8．

解：此分布的分布函数F（x）为：当x≤0时，F（x）＝0；当x＞0时，有

所此分布的p分位数x_p满足：

从中解得x_p＝－2ln（1－p）．由此得x_0.1＝－2ln0.9＝0.211；x_0.5＝－2ln0.5＝1.386；x_0.8＝－2ln0.2＝3.219．

9设随机变量X的密度函数p（x）关于c点是对称的，且E（X）存在，试证：

（1）这个对称中心c既是均值又是中位数，即E（X）＝x_0.5＝c

（2）如果c＝0，则x_p＝－x_1－p

证：（1）由p（x）关于c点对称可知：p（c＋x）＝p（c－x），－∞＜x＜＋∞，因此

所以得E（X）＝c，又由

所以2c－x_0.5＝x_0.5，由此得x_0.5＝c

（2）当c＝0时，有

又由F（－x_p）＝1－p即－x_p＝x_1－p

由此得结论．

10试证随机变量X的偏度系数与峰度系数对位移和改变比例尺是不变的，即对任意的实数a，b（b≠0），Y＝a＋bX与X有相同的偏度系数与峰度系数．

解：因为E（Y）＝E[a＋bX]＝a＋bE（X），所以

即Y与X有相同的偏度系数．又因为

所以Y与X有相同的峰度系数．

11设某项维修时间T（单位：分钟）服从对数正态分布LN（μ，σ²）

（1）求p分位数t_p；

（2）若μ＝4.1271，求该分布的中位数；

（3）若μ＝4.1271，σ＝1.0364，求完成95%维修任务的时间．

解：因为T～LN（μ，σ²），所以X＝lnT～N（μ，σ²）记x_p为N（μ，σ²）的p分位数，u_p为N（0，1）的p分位数，则由p＝P（X≤x_p）＝Φ[（x_p－μ）/σ]＝Φ（u_p），知x_p＝μ＋σ·u_p

（1）因为

所以

（2）由本节习题3（3）知：t_0.5＝e^4.1271＝62

（3）因为u_0.95＝1.645，所以当μ＝4.1271，σ＝1.0364时．完成95%的维修任务的时间t_0.95，为

t_0.95＝exp{4.1271＋1.0364×1.645}＝314

12某种绝缘材料的使用寿命T（单位：小时）服从对数正态分布LN（μ，σ²）若已知分位数t_0.2＝5000小时，t_0.8＝65000小时，求μ和σ．

解：由上一题知对数正态分布LN（μ，σ²）的平p分位数为

t_p＝exp{μ＋σu_p}

其中u_p为标准正态分布N（0，1）的p分位数，所以根据题意有

5000＝t_0.2＝exp{μ＋σu_0.2}

65000＝t_0.8＝exp{μ＋σu_0.8}

将u_0.2＝－0.845，u_0.8＝0.845代入上面两式，可解得μ＝9.799，σ＝1.527

13某厂决定按过去生产状况对月生产额最高的5%的工人发放高产奖．已知过去每人每月生产额X（单位：kg）服从正态分布N（4000，60²），试问高产奖发放标准应把生产额定为多少？

解：根据题意知，求满足P（X＞k）＝0.05的k，即k＝x_0.95其中x_0.95，为分布N（4000，60²）的95%分位数．又记u_p为标准正态分布N（0，1）的p分位数，则由x_p＝μ＋σu_p及u_0.95＝1.645可得x_0.95＝4000＋60×1.645＝4098.7

因此可将高产奖发放标准定在生产额为4099kg．