第1章　随机事件与概率

1.1　复习笔记

一、随机事件及其运算

1随机现象

在一定的条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象，如抛一枚硬币与掷一颗骰子．随机现象有两个特点：

（1）结果不止一个；

（2）哪一个结果出现，人们事先并不知道．

只有一个结果的现象称为确定性现象．

2样本空间

定义：随机现象的一切可能基本结果组成的集合，记为Ω＝{ω}，其中ω表示基本结果，又称为样本点．

（1）离散样本空间

样本点的个数为有限个或可列个．

（2）连续样本空间

样本点的个数为不可列无限个．

注意：

①样本空间中的元素可以是数也可以不是数；

②样本空间至少有两个样本点，仅含两个样本点的样本空间是最简单的样本空间；

③从样本空间含有样本点的个数来区分，样本空间可分为有限与无限两类．

3随机事件

随机现象的某些样本点组成的集合称为随机事件，简称事件，常用大写字母A，B，C，…表示．

注意：

（1）任一事件A是相应样本空间的一个子集．

（2）当子集A中某个样本点出现了，就说事件A发生了，或者说事件A发生当且仅当A中某个样本点出现了．

（3）事件可以用集合表示，也可用明白无误的语言描述．

（4）事件分类

①基本事件：由样本空间Ω中的单个元素组成的子；

②必然事件：样本空间Ω的最大子集（即Ω本身）；

③不可能事件：样本空间Ω的最小子集（即空集∅）．

4随机变量

定义：表示随机现象结果的变量，常用大写字母X，Y，Z表示．

注意：很多事件都用随机变量表示时，应写明随机变量的含义．在同一个随机现象中，不同的设置可获得不同的随机变量，如何设置可按需要进行．

5事件间的关系

假设在同一个样本空间Ω（即同一个随机现象）中进行．事件间的关系与集合间关系一样主要有以下几种：

（1）包含关系

如果属于A的样本点必属于B，则称A被包含在B中（见图1-1-1），或称B包含A，记为A⊂B，或B⊂A．用概率论的语言说：事件A发生必然导致事件B发生．

对任一事件A，必有∅⊂A⊂Ω．

图1-1-1　A⊂B

（2）相等关系

如果事件A与事件B满足：属于A的样本点必属于B，而且属于B的样本点必属于A，即A⊂B且B⊂A，则称事件A与B相等，记为A＝B．

从集合论观点看，两个事件相等就意味着这两事件是同一个集合．

下例说明有时不同语言描述的事件也可能是同一件事．

例：口袋中有a个黑球，b个白球（a与b都大于零），从中不返回地一个一个摸球，直到摸完为止．以A记事件“最后摸出的几个球全是黑球”，以B记事件“最后摸出的一个球是黑球”．对于此题粗看好像是A≠B，但只要设想将球全部摸完为止，则明显有：A发生必然会导致B发生，即A⊂B；反之注意到事件A中所述的“几个”最少是1个，也可以是2个，…，最多为a个，则B发生时A也必然会发生（对于这点请读者仔细体会），即B⊂A，由此得A＝B．

（3）互不相容

如果A与B没有相同的样本点，则称A与B互不相容．用概率论的语言说：A与B互不相容就是事件A与事件B不可能同时发生．

6事件间的运算

（1）事件A与B的并

其含义为“由事件A与B中所有的样本点（相同的只计入一次）组成的新事件”（见图1-1-2）．或用概率论的语言说“事件A与B中至少有一个发生”．记为A∪B．

（2）事件A与B的交

其含义为“由事件A与B中公共的样本点组成的新事件”（见图1-1-3）．或用概率论的语言说“事件A与B同时发生”．记为A∩B，或简记为AB．

图1-1-2　A与B的并

图1-1-3　A与B的交

注意：事件的并与交运算可推广到有限个或可列个事件，譬如有事件A₁，A₂，…，则称为有限并，称为可列并，称为有限交，称为可列交．

（3）事件A对B的差

记为A－B．其含义为“由在事件A中而不在B中的样本点组成的新事件”（见图1-1-4）．或用概率论的语言说“事件A发生而B不发生”．

图1-1-4

（4）对立事件

事件A的对立事件，记为，即“由在Ω中而不在A中的样本点组成的新事件”（见图1-1-5），或用概率论的语言说“A不发生”，即＝Ω－A．

图1-1-5　A的对立事件

注意：

①对立事件是相互的，即A的对立事件是，而的对立事件是A．必然事件Ω与不可能事件∅互为对立事件，即Ω＝∅，∅＝Ω．

②A与B互为对立事件的充要条件是：A∩B＝∅，且A∪B＝Ω．

③对立事件一定是互不相容的事件，即A∩B＝∅．但互不相容的事件不一定是对立事件．

④A－B可以记为AB(＿)．

7事件的运算性质

（1）交换律

A∪B＝B∪A，AB＝BA

（2）结合律

（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）

（AB）C＝A（BC）

（3）分配律

（A∪B）∩C＝AC∪BC

（A∩B）∪C＝（A∪C）∩（B∪C）

（4）对偶律（德摩根公式）

事件并的对立等于对立的交：A∪B(—————)＝∩B(＿)

事件交的对立等于对立的并：∪B(＿)＝A∩B(—————)

结论：

①交的运算可通过并与对立来实现（德摩根公式）．

②差的运算可通过对立与交来实现A－B＝AB(＿)．

8事件域

定义：一个样本空间中某些子集及其运算（并、交、差、对立）结果而组成的集合类，当样本空间是实数轴上的一个区间时，这样的子集常被称为不可测集．

设Ω为一样本空间，F为Ω的某些子集所组成的集合类．如果F满足：

（1）Ω∈F；

（2）若A∈F，则对立事件∈F；

（3）若A_n∈F，n＝1，2，…则可列并．

则称F为一个事件域，又称为σ域或σ代数．

二、概率的定义及其确定方法

概率是随机事件发生的可能性大小．

1概率的公理化定义

定义：设Ω为一个样本空间，F为Ω的某些子集组成的一个事件域．如果对任一事件A∈F，定义在F上的一个实值函数P（A）满足：

（1）非负性公理：若A∈F，则P（A）≥0；

（2）正则性公理：P（Ω）＝1；

（3）可列可加性公理：若A₁，A₂，…，A_n，…互不相容，则

则称P（A）为事件A的概率，称三元素（Ω，F，P）为概率空间．

2排列与组合公式

排列与组合都是计算“从n个元素中任取r个元素”的取法总数公式．

区别：组合公式是不讲究取出元素间的次序，否则用排列公式．而所谓讲究元素间的次序，可以从实际问题中得以辨别，例如两个人相互握手是不讲次序的；而两个人排队是讲次序的，因为“甲右乙左”与“乙右甲左”是两件事．

排列与组合的定义及其计算公式如下．

（1）排列公式：P_n^r＝n×（n－1）×…×（n－r＋1）＝n！/（n－r）！

若r＝n，则称为全排列，记为P_n，显然，全排列P_n＝n！

（2）重复排列：从n个不同元素中每次取出一个，放回后再取下一个，如此连续取r次所得的排列，此种重复排列数共有n^r个．注意：这里的r允许大于n．

（3）组合公式：

注：

①规定0！＝1与

②组合具有性质：

（4）重复组合：从n个不同元素中每次取出一个，放回后再取下一个，如此连续取r次所得的组合，此种重复组合总数为，这里的r也允许大于n．

上述四种排列组合及其总数计算公式在使用中要注意识别有序与无序、重复与不重复．

3确定概率的频率方法

（1）确定概率的频率方法

在大量重复试验中，用频率的稳定值去获得概率的一种方法，其基本思想是：

①与考察事件A有关的随机现象可大量重复进行．

②在n次重复试验中，记n（A）为事件A出现的次数，又称n（A）为事件A的频数．称∫_n（A）＝n（A）/n为事件A出现的频率．

③实践表明：随着试验重复次数n的增加，频率∫_n（A）会稳定在某一常数a附近，我们称这个常数为频率的稳定值．这个频率的稳定值就是所求的概率．

（2）确定概率的古典方法

简单、直观，不需要做大量重复试验，而是在经验事实的基础上，对被考察事件的可能性进行逻辑分析后得出该事件的概率．

古典方法的基本思想如下：

①所涉及的随机现象只有有限个样本点，譬如为n个；

②每个样本点发生的可能性相等（称为等可能性）；

③若事件A含有k个样本点，则事件A的概率为：

P（A）＝事件所包含样本点的个数/Ω中所有样本点的个数＝k/n

注：在计算古典概率时，一般不用把样本空间详细写出，但一定要保证样本点为等可能．

4确定概率的主观方法

统计界的贝叶斯学派认为：一个事件的概率是人们根据经验对该事件发生的可能性所给出的个人信念．这样给出的概率称为主观概率．

另外，主观概率的确定除根据自己的经验外，决策者还可以利用别人的经验．主观给定的概率要符合公理化的定义．

三、概率的性质

在概率正则性中说明了必然事件Ω的概率为1，不可能事件∅的概率应该为0．

1概率的可加性

概率的可列可加性说明了对可列个互不相容的事件A₁，A₂，…．其可并列的概率可以分别求之再相加，那么对有限个互不相容的事件A₁，A₂，…A_n，有如下几个性质：

有限可加性：若有限个事件A₁，A₂，…A_n互不相容，则有

由有限可加性，就可以得到以下求对立事件概率的公式.：

对任一事件A，有P（）＝1－P（A）

2概率的单调性

当B被A包含时（即B发生必然导致A发生），说明事件A比事件B更容易发生，那么B的概率不应该比A的概率大．

推论（单调性）若A⊃B，则P（A）≥P（B）．

注：由P（A）≥P（B）无法推出A⊃B．

小结论：对任意两个事件A，B，有P（A－B）＝P（A）－P（AB）．

3概率的加法公式

（1）性质（加法公式）对任意两个事件A，B，有

P（A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（AB）

对任意n个事件A₁，A₂，…，A_n，有

（2）推论（半可加性）对任意两个事件A，B，有

P（A∪B）≤P（A）＋P（B）

对任意n个事件A₁，A₂，…A_n，有

一般而言，求“至少有一个发生”的概率时，用对立事件公式去求较为方便，但有些配对问题却不能用对立事件去求解，而一定要将事件“至少有一个发生”表示成事件的并，然后用一般事件的加法公式去求解．

4概率的连续性

为了讨论概率的连续性，先对事件序列的极限给出如下的定义．

（1）事件序列的极限定义

①对F中任一单调不减的事件序列F₁⊂F₂⊂…⊂F_n⊂…称可列并为{F_n}的极限事件，记为

②对E中任一单调不增的事件序列E₁⊃E₂⊃…⊃E_n⊃…，称可列交为{E_n}的极限事件，记为

（2）概率函数连续性的定义和性质

①定义

对F上的一个概率P，若它对F中任一单调不减的事件序列{F_n}均成立

则称概率P是下连续的．若它对E中任一单调不增的事件序列{E_n}均成立

则称概率P是上连续的．

②性质

a．若P为事件域F上的概率，则P既是下连续的，又是上连续的．

b．若P是F上满足P（Ω）＝1的非负集合函数，则它具有可列可加性的充要条件是：第一，它是有限可加的；第二，它是下连续的．

四、条件概率

1条件概率的定义

它是指在某事件B发生的条件下，求另一事件A的概率，记为P（A|B），它与P（A）是不同的两类概率．

（1）定义：设A与B是样本空间Ω中的两事件，若P（B）＞0，则称P（A|B）＝P（AB）/P（B）为“在B发生下A的条件概率”，简称条件概率．

（2）条件概率是概率，即若设P（B）＞0，则

①P（A|B）≥0，A∈F；

②P（Ω|B）＝1；

③若F中的A₁，A₂，…，A_n互不相容，则

2三个非常实用的公式

（1）乘法公式

①若P（B）＞0，则P（AB）＝P（A|B）；

②若P（A₁A₂…A_n－1）＞0，则P（A₁A₂…A_n）＝P（A₁）P（A₂|A₁）P（A₃|A₁A₂）…P（A_n|A₁…A_n－1）

（2）全概率公式

设B₁，B₂，…B_n为样本空间的一个分割，即B₁，B₂，…B_n互不相容，且

如果P（B_i）＞0，i＝1，2，…，n，则对任一事件A有

注意：

①全概率公式的最简单形式

若0＜P（B）＜1，则P（A）＝P（B）P（A|B）＋P（B(＿)）P（A|B(＿)）．

②条件B₁，B₂，…B_n为样本空间的一个分割，可改成B₁，B₂，…B_n互不相容，且

（3）贝叶斯公式

设B₁，B₂，…B_n是样本空间Ω的一个分割，即B₁，B₂，…B_n互不相容，且

如果P（A）＞0，P（B_i）＞0，i＝1，2，…n，则

五、独立性

独立性是概率论中又一个重要概念．

1两个事件的独立性

两个事件之间的独立性是指：一个事件的发生不影响另一个事件的发生．

（1）（相互独立）定义：如果P（AB）＝P（A）P（B）成立，则称事件A与B相互独立，简称A与B独立．否则称A与B不独立或相依．

（2）性质：若事件A与B独立，则A与B(＿)独立，与B独立，与B(＿)独立．

2多个事件的相互独立性

（1）三个事件的独立性

定义：设A，B，C是三个事件，如果有

则称A，B，C两两独立．若还有P（ABC）＝P（A）P（B）P（C），则称A，B，C相互独立．

（2）n个事件的独立性

定义：设有n个事件A₁，A₂，…A_n，对任意的1≤i＜j＜k＜…≤n，如果以下等式均成立

则称此n个事件A₁，A₂，…A_n相互独立．

注意：

①若A，B，C三事件相互独立，则A∪B与C相互独立，AB与C独立，A－B与C独立．

②若A，B，C间只有两两独立，则不能证明A∪B与C独立，也不能证明AB与C独立，A－B与C独立．

3试验的独立性

（1）两个实验的独立性

设有两个试验E₁和E₂，假如试验E₁的任一结果（事件）与试验E₂的任一结果（事件）都是相互独立的事件，则称这两个试验相互独立．

（2）n个实验的独立性

如果E₁的任一结果、E₂的任一结果……E_n的任一结果都是相互独立的事件，则称试验E₁，E₂，…，E_n相互独立．如果这n个独立试验还是相同的，则称其为n重独立重复试验．

如果在n重独立重复试验中，每次试验的可能结果为两个：A或，则称这种试验为n重伯努利试验．