第5章　无穷级数

一、常数项级数与收敛级数

1．常数项级数

（1）定义

给定一个数列由这数列构成的表达式

称为（常数项）无穷级数，简称（常数项）级数，记为，即

其中第n项称为级数的一般项．

（2）收敛与发散

如果级数的部分和数列有极限s，即

称无穷级数收敛，极限s称为该级数的和，并写成

如果没有极限，则称无穷级数发散．

2．收敛级数的基本性质

（1）性质1

①如果级数收敛于和s，则级数也收敛，且其和为ks；

②级数的每一项同乘一个不为零的常数后，它的收敛性不会改变．

（2）性质2

如果级数与分别收敛于和s与σ，则级数也收敛，且其和为s±σ．

（3）性质3

在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性．

（4）性质4

①如果级数收敛，则对这级数的项任意加括号后所成的级数

仍收敛，且其和不变；

②如果加括号后所成的级数发散，则原来级数也发散．

（5）性质5（级数收敛的必要条件）

如果级数收敛，则．

3．几何级数

其中a≠0，q为级数的公比．则

（1）若，几何级数收敛，其和为；

（2）若，几何级数发散．

4．p级数

（1）当时，p级数收敛；

（2）当时，p级数发散．

二、正项级数

1．正项级数

各项都是正数或零的级数称为正项级数．

2．比较判别法

设正项级数和，若∃某正整数N，对∀n＞N有，则：

（1）若收敛，则收敛；

（2）若发散，则发散．

推论：设正项级数和，且

①如果，且收敛，则收敛；

②如果或，且发散，则发散．

3．比值判别法

设正项级数，如果，则：

（1）ρ＜1时，收敛；

（2）ρ＞1（或ρ＝＋∞）时，级数发散；

（3）ρ＝1时级数可能收敛也可能发散．

三、交错级数

1．交错级数

各项是正负交错的级数称为交错级数，即，其中，，…都是正数．

2．莱布尼茨定理

若交错级数满足：

（1）；

（2），则收敛．

四、任意项级数

1．定义

各项是任意实数的级数称为任意项级数．

2．绝对收敛与条件收敛

（1）绝对收敛：若收敛，则绝对收敛．

（2）条件收敛：若收敛，而发散，则条件收敛．

注：如果收敛，则一定收敛．

（3）绝对收敛与条件收敛的关系

①如果级数绝对收敛，则级数必定收敛；

②如果级数发散，则不能断定级数也发散．

五、幂级数

1．定义

各项都是常数乘幂函数的函数项级数称为幂级数，形式为

其中常数称为幂级数的系数．

2．收敛性

如果幂级数不是仅在x＝0一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个确定的正数R存在，使得：

（1）当时，幂级数绝对收敛；

（2）当时，幂级数发散；

（3）当与时，幂级数可能收敛也可能发散．

则正数R称为幂级数的收敛半径．开区间（－R，R）称为幂级数的收敛区间，再由幂级数在x＝±R处的收敛性来决定幂级数的收敛域是（－R，R）、[－R，R）、（－R，R]或[－R，R]这四个区间之一．

3．收敛半径R的计算

如果，其中、是幂级数的相邻两项的系数，则这幂级数的收敛半径

4．幂级数的和函数性质

（1）的和函数s(x)在其收敛区间I上连续．

（2）的和函数s(x)在其收敛区间I上可积， 即

（3）的和函数s(x)在其收敛区间（－R，R）内可导，即

（4）的和函数s(x)在其收敛区间（－R，R）内具有任意阶导数．

5．麦克劳林展开式与常见函数的幂级数展开式

（1）麦克劳林展开式

（2）常见函数的幂级数展开式

①；

②；

③；

④；

⑤．