第2章　连续时间系统的时域分析[视频讲解]

2.1　本章要点详解

本章要点

■微分方程的建立与求解

■起始点的跳变

■零输入与零状态响应

■冲激响应和阶跃响应

■卷积

■卷积的性质

■利用卷积消除通信系统多径失真

重难点导学

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一、引言

LTI系统分析方法包括时域分析和变换域分析。

1．时域分析方法

时域分析法不涉及任何变换，直接求解系统的微分、积分方程式，这种方法比较直观，物理概念比较清楚，是学习各种变换域方法的基础。

2．变换域分析方法

变换域分析法简洁、方便，有利于研究新的信号处理技术和系统设计技术。

3．系统时域分析方法

系统时域分析方法包括经典法解微分方程、状态变量法和卷积积分。

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二、微分方程的建立与求解

1微分方程的建立

许多实际系统可以用线性系统来模拟。若系统的参数不随时间而改变，则该系统可以用线性常系数微分方程来描述，即

式中C，E均为常数，方程的阶次由独立的动态元件的个数决定。对于电系统，构成微分方程的基本依据是电网络的元件特性和拓扑结构。

2．微分方程的求解

（1）微分方程时域经典法的解

微分方程时域经典法的解由两部分组成，即齐次解和特解。一个线性系统，其激励信号e(t)与响应信号r(t)之间的关系，可以用下列形式的微分方程来描述，即

若系统为时不变的，则C，E均为常数，此方程为常系数的n阶线性常微分方程。

（2）微分方程时域经典法求解步骤

①求齐次解：由特征方程→求出特征根→写出齐次解形式；

②求特解：特解的函数形式与系统的激励函数形式有关，根据激励函数设含待定系数的特解函数式，代入原方程，比较系数定出特解，如表2-1所示；

表2-1  几种典型激励函数相应特解

③借助初始条件求待定系数A。

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三、起始点的跳变及初始条件的确定

1起始点的跳变

利用微分方程的初始条件确定方程解中的系数A，初始条件取决于激励接入瞬时系统的状态，此状态可能发生跳变称为起始点的跳变。

（1）0_－状态

一般在t＝0时刻加入激励信号，激励接入之前的状态称为起始状态（0_－状态），表示为

（2）0_＋状态

激励接入之后的状态称为初始状态（0_＋状态），表示为

（3）响应区间

响应区间是指激励信号加入之后系统状态变化区间，从0_＋时刻开始，如图2-1所示。

图2-1

（4）换路定则

一般情况下，换路期间电容两端的电压和流过电感中的电流不会发生突变。这就是在电路分析中的换路定则，即

当有冲激电流强迫作用于电容或有冲激电压强迫作用于电感时，0_－到0_＋状态就会发生跳变。当系统用微分方程表示时，系统从0_－到0_＋状态有没有跳变取决于微分方程右端自由项是否包含及其各阶导数项。

2．冲激函数匹配法确定初始条件

配平的原理：t＝0时刻微分方程左右两端的及各阶导数应该平衡。

四、零输入响应和零状态响应

1零输入响应和零状态响应

（1）零输入响应

零输入响应是指与输入激励无关，由初始状态（起始时刻系统的储能）引起的响应。

（2）零状态响应

零状态响应是指初始状态为零，只由外加激励产生的响应。

（3）完全响应

①系统的完全响应可以看作由外加激励源和起始状态共同作用的结果；

②系统的完全响应＝零状态响应＋零输入响应。

2．系统响应的划分

（1）各种响应定义

系统的全响应可以分解成以下三组响应：

①自由响应与强迫响应

a．自由响应：也称固有响应，由系统本身特性决定，与外加激励形式无关，对应于齐次解；

b．强迫响应：形式取决于外加激励，对应于特解。

②暂态响应与稳态响应

a．暂态响应：指激励信号接入一段时间内，完全响应中暂时出现的有关成分，随着时间t增加，它将消失；

b．稳态响应：完全响应中减去暂态响应分量即得稳态响应分量。

③零输入响应与零状态响应

a．零输入响应：无外加激励信号，只由起始状态（起始时刻系统储能）所产生的响应；

b．零状态响应：起始状态等于零，由系统的外加激励信号产生的响应。

（2）求解方法

①求系统的零输入响应，实际上是求系统方程的齐次解。由非零的系统状态值决定的初始值，求出待定系数；

②系统零状态响应，是在激励作用下求系统方程的非齐次解，由状态值为零决定的初始值，求出待定系数；

③求非齐次微分方程的解比较繁琐，所以引出卷积积分法，即。

3．对系统的线性和时不变性的进一步认识

（1）线性与时不变的进一步认识

①若{x_i(0-)}＝0，则系统是线性和时不变的；

②若{x_i(0-)}≠0，则系统是非线性和时变的，且非因果；

③常系数线性微分方程描述的系统只有在起始状态为零的条件下，系统才是线性时不变，且是因果的。

（2）系统线性的扩展

①把激励信号与起始状态都视为系统的外施作用，则系统的完全响应对两种外施作用也呈线性；

②零状态线性：当起始状态为零时，系统的零状态响应对于各激励信号呈线性；

③零输入线性：当激励为零时，系统的零输入响应对于各起始状态呈线性。

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五、冲激响应和阶跃响应

1冲激响应

（1）定义

单位冲激响应是系统在单位冲激信号的激励下所产生的零状态响应。

（2）求解

若令e(t)＝d(t)，则r(t)＝h(t)代入冲激响应数学模型中，则

由于及其导数在t≥0_＋时都为零，因而方程式右端的自由项恒等于零，这样原系统的冲激响应形式与齐次解的形式相同。根据m，n取值不同，h(t)的解可表示为如下：

①与特征根有关，设特征根为简单根（无重根的单根），则

②与m，n相对大小有关

a．当n＞m时，不包含及其各阶导数；

b．当n＝m是，应包含；

c．当n＜m时，应包含及其各阶导数。

2．阶跃响应

（1）定义

单位阶跃响应是系统在单位阶跃信号的激励下所产生的零状态响应。

（2）求解

系统的输入e(t)＝u(t)，其响应为r(t)＝g(t)，系统方程的右端将包含阶跃函数u(t)，所以除了齐次解外，还有特解。因此需根据线性时不变系统特性，利用冲激响应与阶跃响应的关系求阶跃响应。

3．阶跃响应与冲激响应的关系

（1）和之间存在微积分关系：，；

（2）对于因果系统，当时，或。

六、卷积

1定义

设有两个函数和，积分称为和的卷积积分，简称卷积，记为

或

2．利用卷积求系统的零状态响应

任意信号可以表示为冲激序列之和，若把它作用于冲激响应为的LTI，则系统零状态响应为

3．卷积的计算

（1）卷积运算的图解步骤

①变量代换，由t改为τ（积分变量改为τ）

②反褶，移位

③相乘

④乘积的积分

（2）积分上下限和卷积结果区间的确定

①积分上下限：由的范围确定，当f₁(t)或f₂(t)为非连续函数时，卷积需分段，积分限分段确定；

②卷积结果区间：若区间为[A,B]，区间为[C,D]，则g(t)的区间为[A＋C，B＋D]。

4．对卷积积分的理解

系统响应为

（1）t为观察响应的时刻，是积分的参变量；τ为信号作用的时刻，积分变量从因果关系看，必定有t≥τ；

（2）卷积是系统分析中的重要方法，通过冲激响应h(t)建立了响应r(t)与激励e(t)之间的关系，一般数学表示为

信号无起因时表示为

（3）卷积是数学方法，也可运用于其他学科；

（4）积分限由f₁(t)和f₂(t)存在的区间决定，即由决定。

七、卷积的性质

1代数性质

（1）交换律

（2）分配律（系统并联）

（3）结合律（系统级联）

2．微分积分性质

（1）

（2）

（3）

3．冲激函数或阶跃函数的卷积

由推广得：

（1）

（2）

（3）

（4）

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八、利用卷积消除通信系统多径失真

发射信号经过某些建筑物反射到达接收端，使得接收信号除了含有正常传输信号外，还含有回波分量，这种现象称为回波现象。

单条回波路径：；

多条回波路径：；

冲激响应表达式为：，或对多个回声有：。

为了从含有干扰信号的回波系统中取出正常信号，需要设计一个“逆系统”进行补偿，逆系统的冲激响应以表示，则

经推导可得，再根据具体环境要求，将k值取若干有限项即可满足消除回声的要求。