第二部分　数学

第一章　函数、极限与连续性

第一节　函　数

一、函数概念

定义数集DR，则称映射f：D→R为定义在D上的函数，通常简记为。其中x称为自变量，y称为因变量，D称为定义域，记作D。

函数定义中，对每个x∈D，按对应法则f，总有唯一确定的值y与之对应，这个值称为函数f在x处的函数值，记作f（x），即y＝f（x）。因变量y与自变量x之间的这种依赖关系，通常称为函数关系。全体函数值f（x）所构成的集合称为函数f的值域，记作或f（D），即。

表示函数的主要方法有三种：①表格法；②图形法；③解析法（公式法）。

二、函数特性

1．有界性

设函数f（x）的定义域为D，数集。如果存在数,使得，对任一x∈X都成立，则称函数f（x）在X上有上界，而称为函数f（x）在X上的一个上界。如果存在数，使得，对任一x∈X都成立，则称函数f（x）在X上有下界，而称为函数f（x）在X上的一个下界。如果存在正数M，使得对任一x∈X都成立，则称函数f（x）在X上有界。如果这样的M不存在，就称函数f（x）在X上无界，这就是说，如果对于任何正数M，总存在x∈X，使，那么函数f（x）在X上无界。

2．单调性

设函数f（x）的定义域为D，区间ID。如果对于区间I上任意两点及，当时，恒有，则称函数f（x）在区间I上是单调增加的（图1－1）；如果对于区间I上任意两点及，当＜时，恒有，则称函数f（x）在区间I上是单调减少的（图1－2）。单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。

图1－1  单调增加函数

图1－2  单调减少函数

3．奇偶性

设函数f（x）的定义域D关于原点对称，且对于任一x∈D，恒成立，则称f（x）为偶函数；若对于任一x∈D，恒成立，则称f（x）为奇函数。偶函数的图形关于y轴是对称的；奇函数的图形关于原点是对称的。

4．周期性

设函数f（x）的定义域为D。如果存在一个正数l，使得对于任一x∈D有（x±l）∈D，且恒成立，则称f（x）为周期函数。l称为f（x）的周期，通常我们说周期函数的周期是指最小正周期。并非每个周期函数都有最小正周期,例如狄利克雷（Dirichlet）函数：

容易验证这是一个周期函数，任何正有理数r都是它的周期。因为不存在最小的正有理数，所以它没有最小正周期。

三、函数的运算

1．反函数

设函数f：D→f（D）是单射，则它存在逆映射f^－1（D）→D，称此映射f^－1为函数f的反函数，或称它们互为反函数。函数y=f（x）存在反函数的充要条件是，对于定义域D中任意两个互不相同的自变量x₁,x₂,均有f（x₁）≠f（x₂）。

2．复合函数

设函数y＝f（u）的定义域为，函数u＝g（x）的定义域为，且其值域,则由下式确定的函数称为由函数u＝g（x）与函数y＝f（u）构成的复合函数，它的定义域为，u称为中间变量，通常记为，即。与复合映射一样，g与f能构成复合函数f^og的条件是：函数g的值域必须含在函数f的定义域内，即。否则，不能构成复合函数。

3．两个函数的运算

设函数f（x），g（x）的定义域依次为D1，D2，D＝D1∩D2≠φ，则我们可以定义这两个函数的下列运算：

①和（差）：；

②积：；

③商：。

4．初等函数

（1）在初等数学中已经讲过下面几类函数：

①幂函数：；

②指数函数：；

③对数函数：；

④三角函数：等；

⑤反三角函数：等。

由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成，并可用一个式子表示的函数，称为初等函数。

（2）高等数学中常见的基本函数类型：

①初等函数

如函数f（x）=[arctanx²＋cosx]^2xtanx。

②分段函数

；

即自变量取值范围不同解析式有相应不同的函数。

常见分段函数有：

绝对值函数：|x|；

符号函数；

最大值或最小值：max{f₁（x），f₂（x）}，min{f₁（x）,f₂（x）}；

取整函数：[x]（不超过x的最大整数）。

③隐函数

变量x，y的方程，一般不能转化为显式表达式y=f（x），如：e^x＋y－sinx=cosy。

④参数方程

将变量x，y均表示为参数t的函数：{x=x（t）,y=y（t）}。

⑤经济学中常见的几类函数：

a.成本函数：

设q为产量，C₀为固定成本（不生产也要支付的成本），则总成本C=C₀＋C₁（q））称为成本函数，其中C₁（q）是q的单调增函数，满足C₁（0）=0。需要注意的是C₁（q）未必是正比函数，甚至有可能是分段函数。

b.收益函数：

某商品的销售量为q，获得的收益关于q的函数R=R（q）称为收益函数。一般来说，R=Pq，P为单价，但也不尽然，销售量不同，单价不一定相同（例如批量购买可以打折）。

c.利润函数：

设收益为R，成本为C，则利润函数为L=R－C。

d.需求函数与供给函数：

在经济学中，在不考虑其他次要因素的前提下，通常可将需求量看成是价格p的函数，称其为需求函数，记作，需求函数通常是减函数，即随着价格的上涨，通常需求量会下降。类似地，供给量也可以看成是价格p的一元函数，称其为供给函数，记作，供给函数通常是增函数。当时，市场的供需处于平衡状态，此时的价格p称为均衡价格，当市场价格p高于均衡价格时，供给量将增大而需求将减少；反之，当市场价格p低于均衡价格时，供给量将减少而需求将增大。