第二节 求导法则

常用公式、定理

1.基本导数公式

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2.函数的和、差、积、商的求导法则

如果函数U=u(x)及V=v(x)都在点x0处具有导数,那么它们的和、差、积、商(除分母为零的点外)都在点x0处具有导数,且

(1)

(2)

(3)

定理中的法则(1)、(2)可推广到任意有限个可导函数的情形。例如,设U=u(x)、V=v(x)、W=ω(x)均可导,则有

3.复合函数求导法则

如果u=g(x)在点x0处可导,而y=f(u)在点u=g(x)可导,则复合函数y=f[g(x)]在点x0处可导,且其导数为

 或

4.反函数求导法则

如果函数x=f(y)在区间Iy内单调、可导且f'(y)≠O,则它的反函数在区间Ix={x|x=f(y),y∈Iy}内也可导,且

 或

5.变限积分求导

设函数f(x)在区间[a,b]上连续,则变上限函数在区间[a,b]上可导,并且F(x)=f(x)。

(1)进一步可得,变下限积分的导数

   (2)积分上限为一个函数的导数为:(其中u(x)可导);

   (3)设u(x),v(x)均可导,则

6.高阶导数

函数y=f(x)的导数y'=f'(x)仍然是x的函数。我们把y'=f'(x)的导数称作函数y=f(x)的二阶导数记作,即

相应的,把y=f(x)的导数f'(x)称作函数y=f(x)的一阶导数。类似地,二阶导数的导数,称作三阶导数,三阶导数的导数称作四阶导数,…,一般地,(n-1)阶导数的导数称作n阶导数,分别记作

函数y=f(x)具有n阶导数,也常说成函数f(x)为n阶可导。如果函数f(x)在点x0处具有n阶导数,那么f(x)在点x0处的某一邻域内必定具有一切低于n阶的导数。

二阶及二阶以上的导数统称高阶导数。

一般在测试型考试中,很少会涉及到四阶以上的导数形式。常见的都是二阶及三阶导数形式。

对于函数乘积的高阶导数形式,我们有莱布尼茨(Leibniz)公式: