第三节　连续性

一、基本概念

1．连续性

（1）连续的定义

设变量u从它的一个初值u₁变到终值u₂,终值与初值的差u₂－u₁就称为变量u的增量，记作Δu，即Δu＝u₂－u₁。现在假定函数y＝f（x）在点x₀的某一个邻域内是有定义的。当自变量x在这邻域内从x₀变到x₀＋Δx时，函数y相应的从f（x₀）变到f（x₀＋Δx），因此函数y的对应增量为Δy＝f（x₀＋Δx）－f（x₀）。

设函数y＝f（x）在点的某一邻域内有定义，如果，那么就称函数y＝f（x）在点连续。

（2）左连续与右连续

如果limf（x）＝f（^－）存在且等于f（），即x→，f（^－）＝f（），就说函数f（x）在点左连续。如果limf（x）＝f（^＋）存在且等于f（），即f（^＋）＝f（），就说函数f（x）在点右连续。

在区间上每一点都连续的函数，称为在该区间上的连续函数，或者说函数在该区间上连续。如果区间包括端点，那么函数在右端点连续是指左连续，在左端点连续是指右连续。连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线。

2．间断点

（1）间断点的定义

设函数f（x）在点的某去心邻域内有定义。在此前提下，如果函数f（x）有下列三种情形之一：①在x＝没有定义；②虽在x＝有定义，但limf（x）不存在；③虽在x＝有定义，且limf（x）存在，但limf（x）≠f（x₀），则函数f（x）在点处不连续，而点称为函数f（x）的不连续点或间断点。

（2）间断点的分类

设x₀为函数f（x）的间断点，若与均存在，则称x₀为函数f（x）的第一类间断点；若与至少有一个不存在，则称x₀为函数f（x）的第二类间断点。

在第一类间断点中，若．则称x₀为函数f（x）的可去间断点；若，则称x₀为函数f（x）的跳跃间断点。

在第二类间断点中，若与至少有一个为∞，则称x₀为函数f（x）的无穷间断点；若与均不为，则称x₀为函数f（x）的振荡间断点。

二、基本性质

1．连续函数的四则运算

设f（x），g（x）均在某区间I上连续，则函数k₁f（x）＋k₂g（x），（k₁，k₂∈R），f（x）g（x），都在I上连续。

2．复合函数的连续性

（1）设函数y＝f[g（x）]由函数u＝g（x）与函数y＝f（u）复合而成，U（）Dfg。若，而函数y＝f（u）在u＝连续，则。

（2）设函数y＝f[g（x）]是由函数u＝g（x）与函数y＝f（u）复合而成，U（）Dfg。若函数u＝g（x）在x＝连续，且g（）＝，而函数y＝f（u）在u＝连续，则复合函数y＝f[g（x）]在x＝也连续。

3．反函数的连续性

如果函数y＝f（x）在区间I上单调增加（或单调减少）且连续，那么它的反函数x＝f^－1（y）也在对应的区间I：y＝{y|y＝f（x），y∈I}上单调增加（或单调减少）且连续。

4．初等函数的连续性

一切初等函数都在其定义域内连续,由于初等函数在其定义域内都是连续的，故我们在计算初等函数f（x）在其定义域内某点x₀处的极限时才能直接将x→x₀代入。

5．闭区间上连续函数的性质：

（1）有界性与最值定理

对于在区间I上有定义的函数f（x），如果有∈I，使得对于任一x∈I都有f（x）≤f（）（或f（x）≥f（）），则称f（）是函数f（x）在区间I上的最大值（或最小值）。

在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值。这就是说，如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，那么存在常数M＞0，使得对任一x∈[a，b]，满足|f（x）|≤M；且至少有一点ξ₁，使f（ξ₁）是f（x）在[a，b]上的最大值；又至少有一点ξ₂，使f（ξ₂）是f（x）在[a，b]上的最小值（图1－5）。

图1－5  函数的最大值与最小值

注意如果函数在开区间内连续，或函数在闭区间上有间断点，那么函数在该区间上不一定有界，也不一定有最大值或最小值。

（2）介值定理

①具体表述

设函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且在这区间的端点取不同的函数值f（a）＝A及f（b）＝B，那么，对于A与B之间的任意一个数C，在开区间（a，b）内至少有一点ξ使得f（ξ）＝C（a＜ξ＜b）。

由上述表述可知，在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值。

②几何解释

又0＝f（ξ）－C，因此由上式即得f（ξ）＝C（a＜ξ＜b）。介值定理的几何意义是连续曲线弧y＝f（x）与水平直线y＝C至少相交于一点（图1－6）。

图1－6  介值定理

（4）零点存在定理

①具体表述

如果使f（）＝0，则称为函数f（x）的零点。

设函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且f（a）与f（b）异号（即f（a）·f（b）＜0），那么在开区间（a，b）内至少有一点ξ使f（ξ）＝0。

②几何解释

从几何上看，如果连续曲线弧y＝f（x）的两个端点位于x轴的不同侧，那么这段曲线弧与x轴至少有一个交点（图1－7）。

图1－7  零点存在定理