第6讲　生产函数与规模报酬

6.1　课后习题详解

1生产函数为，工人工资为，产品价格为。

计算：（1）短期内，最优劳动投入是多少？

（2）最大平均产量的劳动投入为多少？此时的最大平均产量是多少？

解：（1）在短期内，则厂商的生产函数为，则可得厂商的利润函数为：

利润最大化的一阶条件为：

解得，此即为短期内的最优劳动投入量。

（2）由生产函数，可得平均产量函数为：

平均产量最大化的一阶条件为：

解得：（负值舍去）。故最大平均产量的劳动投入为3。

此时的最大平均产量为。

2确定下列函数是不是齐次函数，如果是，规模报酬情况如何？

（1）

（2）

（3）

答：若函数满足，则称函数为次齐次函数。同时由规模报酬的定义可知，若，则为规模报酬不变；若，则为规模报酬递增；若，则为规模报酬递减。

（1）不是齐次函数。因为。

（2）是齐次函数，且规模报酬不变，因为。

（3）是齐次函数，且规模报酬递减，因为：

3设某省有一个村庄，该村既生产粮食又会织布。其产品既可用来自己消费，也可以出卖，粮食与布也可以从外边买入来满足消费。如果村外的市场价格比率是一担粮食能换回的布少于1/2米，则该村民们会不再种粮食；如果一担粮可以换回1/2米的布，则该村将提供24担粮食；如果一担粮可以换回1米布，则该村将提供30担粮食；最后，如一担粮可以换回4米布，则该村会提供38担粮食。

但是，该村的劳动力与土地如用来产棉织布，也是有机会成本的。当织布的产量从零增加到32米这一阶段，粮食产量会从38担下降到30担；如布的产量要从32米上升到38米，则粮食产量会从30担进一步下降到24担；如布的产量从38米上升到50米，则粮食产量更会从24担下降到零。作图：

（1）请以横轴表示粮食数量，纵轴表示以布的数量所代表的粮食的价格，做出该村粮食的供给曲线。

（2）请以横轴表示布的数量，纵轴表示以粮食数量所代表的布的价格，做出该村布的供给曲线。

答：根据题目的内容，可以得到如表6-1所示的布和粮食之间的关系。

表6-1  布的产量和粮食的产量之间的关系

（1）以横轴表示粮食数量，纵轴表示以布的数量所代表的粮食的价格，做出的粮食的供给曲线如图6-1所示（由加粗的线段和点构成）。

　 

图6-1  粮食的供给曲线

（2）以横轴表示布的数量，纵轴表示以粮食的数量所代表的布的价格，做出的布的供给曲线如图6-2所示（由加粗的线段和点构成）。

图6-2  布的供给曲线

4对下面的生产函数

其中，，那么：

（1）当、、、满足什么条件时，该生产函数呈现规模报酬不变？

（2）证明：在规模报酬不变的情况下，该函数呈现出边际生产力递减，而且边际生产力函数是零次齐次的。

答：（1）生产函数呈现规模报酬不变是指当所有的生产要素的数量增加为原来的（）倍时，产出也会同比例增长，即产出也会增加为原来的倍。对本题的生产函数而言，规模报酬不变就意味着下式成立：

即：

解得，由于，所以。即，且、、为0到1之间任意数时，生产函数是规模报酬不变的。

（2）规模报酬不变时，边际生产函数为和。

由，所以递减；

由，所以递减。

此外，所以也是零齐次的；

同样，所以是零次齐次的。

5判断下列结论是否正确，并说明理由。

（1）边际产出大于零，则总产量将随着投入的增加而上升；平均产量则不一定上升。

（2）如果生产是有效率的，生产的可能性边界一定是外凸的。

答：（1）两句话都正确。理由如下：

①因为边际产出等于总产出曲线的斜率，所以边际产出大于零就意味着斜率大于零，即总产量随着投入的增加而上升。

②假设厂商的生产函数为，则平均产出，平均产出关于求导，得到：

　①

根据①式可知：当时，，即平均产量随着投入的增加而上升；当时，，即平均产量随着投入的增加而下降。由此可见平均产量随着产量的增加而上升和边际产出是否大于零（）没有必然的联系，见图6-3。

图6-3  平均成本和边际成本之间的关系

（2）错误。理由如下：

以两种要素生产两种产品为例，在埃奇沃斯盒子中，当生产的要素组合位于契约线上时，生产是有效率的，即不存在帕累托改进；而在契约线之外的任何点生产都不是帕累托有效的。

生产可能性边界（同书中生产转换曲线）指在技术水平一定时，用一定总量的劳动投入与资本投入可以生产出的两种产品和的产出组合。

通常情况下，生产可能性边界为外凸的，即为凹形，如图6-4所示。但是凸向原点的生产可能性曲线也是存在的，例如生产函数为，；假设资本（）和劳动（）的总量分别为20和10，生产可能性边界如图6-5所示。

图6-4  凹的生产可能性集　  图6-5  凸的生产可能性集

在生产是有效率时，当要素密集度不同时，递增的规模报酬相对应的生产可能性曲线是凸的；当要素密集度相似时，规模报酬递增会导致生产可能性曲线为凸的。

6假定一家企业的生产函数：，产出品价格，工资率，固定资产成本为2。问：

（1）最优要素投入量。

（2）最优供给量。

（3）计算这家企业的利润量。

（4）这家企业应不应关闭？

解：（1）由已知可得，对于追求利润最大化的企业，最优要素投入量应当满足该要素的边际产品价值等于要素价格，即：，则有：

解得最优要素投入量。

（2）最优供给量。

（3）厂商利润。

（4）该企业不应关闭。因为关闭后，企业的损失等于固定资产成本2；但是如果坚持经营，那么损失只有1，即企业继续经营的收益不仅可以弥补可变成本，还可以弥补部分固定成本，所以企业不应当关闭。

7证明：若某家企业的生产函数为（），如果该企业的资本支出为一常数，则：

（1）其供给量随产品价格上升而上升。

（2）随工资率上升而下降。

证明：（1）假设该企业支付的工资率为常数，企业的利润函数为：

利润最大化的一阶条件为：

解得，所以企业的供给函数为，供给函数关于产品价格求导，就有：

所以供给量随产品价格上升而上升。

（2）供给函数关于工资率求导，就有：

所以随着工资率上升而下降。

8已知一家企业的生产函数为，产品价格为1，工资率为，利率为。固定资本成本为。求：

（1）的最优比率。

（2）与的最优量。

解：（1）由生产函数，可得：

对于追求利润最大化的企业，企业决定最优要素比例的必要条件为：，即：

解得，即。

（2）把、和的表达式代入中，得。

把代入式中，就有：，解得。

9某总公司有甲、乙、丙三个分公司，每个分公司都生产和两种产品。下面是三个分公司用其全部资源可生产的与的最大产量：

表6-2  分公司用其全部资源可生产的与的最大产量

请画出该总公司的生产可能性曲线（以为横轴，为纵轴）。

答：对该公司而言，所有可能的产量组合为如表6-3所示。

表6-3  总公司所有可能的产量组合

在两种商品的产量组合图上，画出所有的点，可知、、、四点是最有效率的生产组合（因为它们的右上方没有任何的点）。这样如果再假设生产集是凸的，那么、、、四点的连线就是生产可能性边界（严格的讲，、、、四点的连线和横轴与纵轴围成的区域只是生产可能性集的内界，但由于本题没有给出其他信息，所以无法准确的作出生产可能性边界），如图6-6所示。

图6-6  生产可能性边界

10在落日湾用手挖海蚶只需要劳动投入。每小时可获得的海蚶总量（），由给出。其中，是每小时的劳动投入。

（1）用图表示出与之间的关系。

（2）落日湾中劳动的平均生产力为多少？用图表示出这一关系，并表明随着劳动投入的增加下降。

（3）证明落日湾的劳动边际产出为：。

用图表示出这一关系并证明对于所有的值，。请解释它。

解：（1）与之间的关系如图6-7所示。

图6-7  挖海蚶的生产函数

（2）由生产函数可得平均生产力为：

关于分别求一阶和二阶导数得：，，所以随着的上升而下降，且是一个凸函数，如图6-8所示。

图6-8  平均产出和边际产出函数

（3）根据生产函数，可得。

由，可知，如图6-8所示。的原因在于：因为边际产出递减，这就意味着额外增加一单位的投入，所多生产的产品比前面任何一个多增加的劳动力所多生产的都少，所以它自然也少于所有劳动力产出量的平均值，即。

11某公司使用两种类型的除草机割草。小型除草机具有24英寸刀片，并适用于具有较多树木与障碍物的草坪。大型的除草机恰为小型除草机的两倍大，并适用于操作不太困难的空旷场地。

两种生产函数的情况如表6-4所示：

表6-4  大型除草机和小型除草机的生产函数

（1）对应于第一种生产函数，图示出平方英尺的等产量线。如果这些要素没有浪费地结合起来，则需使用多少与？

（2）对应于第二种函数回答（1）中的问题。

（3）如果4000平方英尺中的一半由第一种生产函数完成，一半由第二种生产函数完成，则与应如何无浪费地配合？如果3/4的草坪由第一种生产函数完成，而1/4的草坪由第二种生产函数完成，则与应如何配合？

（4）在你考虑（3）中问题的基础上，画出的联合生产函数的等产量线。

解：对于每一种除草机，由于它们需要的资本投入和劳动投入的比例是固定的，所以生产函数是固定比例型的生产函数，即：

（1）等产量线如图6-9（a）所示。

图6-9（a）  使用大型除草机的等产量线

把代入大型除草机的生产函数，得：

由此可知最优投入为，。

（2）等产量线如图6-9（b）所示。

图6-9（b）使用小型除草机的等产量线

把代入小型除草机的生产函数，得：

由此可知最优投入为，。

（3）①将，分别代入大型除草机和小型除草机的生产函数，得到：

解得：，；，。从而得到：

②如果3/4的草坪由第一种生产函数完成，而1/4的草坪由第二种生产函数完成，类似于①所采用的方法，可得，。

（4）假设大型除草机完成4000平方英尺草坪中的份，其余的由小型除草机完成，则：

解得：，；。

进一步得到：

即：，。

所以：，即，。

如图6-9（c）所示。

图6-9（c）  同时使用大型除草机和小型除草机的等产量线

12假定，，，，。

（1）证明，。

（2）证明，；，。

（3）证明只取决于，而不依赖于生产规模，而且（对）随着的增加而递减。

证明：（1）由生产函数，根据弹性的定义可得：

（2）由生产函数，可得，；

，。

（3），所以只取决于，而不依赖于生产规模，且随

的增加而递减。

13欧拉定理意味着规模报酬不变的生产函数，有

运用这一结论，证明对于这种生产函数，如果，则必为负数。这意味着生产应在何处进行呢？一个企业能够在递增的点进行生产吗？

证明：（1）由题意知：，对该式变形得：

由于，所以，即为负数。

（2）这意味着企业应该在，即劳动力的平均产出递减的产量处生产。

（3）由（2）可知，一个企业不能够在递增的点进行生产，因为递增就意味着，从而为负数，此时增加资本投入量反而会导致产量下降。

14再次运用欧拉定理证明，对于只有两种投入（与）的一个规模报酬不变的生产函数，必定为正。解释这一结论。

证明：（1）对于规模报酬不变的生产函数而言，下式恒成立：

　①

从①式中解得：

　②

上式两边关于求导得：

如果边际产出递减的假设成立，那么，即。

（2）说明，在规模报酬不变和边际产出递减的假设条件下，任何一种要素的边际产出都会随着另一种要素投入的增加而增加。

15生产函数形式如下

（1）劳动与资本的平均生产力是多少？（将取决于，而则取决于。）

（2）图示当时的曲线。

（3）证明，。运用这一信息，加一个函数到（2）图中。这一曲线有何特别的地方？

（4）画出时的等产量线。

（5）运用（3）中的结果，在点，，及，处，的等产量线上的是多少？这一函数呈现边际技术替代率递减吗？

解：（1）由生产函数，可得：

劳动的平均生产力为；

资本的平均生产力为。

（2）当时，，如图6-10所示。

图6-10  劳动的平均产量和边际产量

（3），。曲线如图6-10所示，其中曲线的纵坐标是相应曲线的纵坐标的一半。

（4）当时，等产量线的函数式为，对应的等产量线如图6-11所示。

（5）当时，；

当，时，；

当，时，。

可见，随的增加而递减，呈现边际技术替代率递减，如图6-11所示。

图6-11  等产量曲线