5.1 课后习题详解_平新乔《微观经济学十八讲》课后习题和强化习题详解【赠两套模拟试题及详解】-QQ阅读男生轻小说网

第5讲　风险规避、风险投资与跨期决策

5.1　课后习题详解

1一个农民认为在下一个播种的季节里，雨水不正常的可能性是一半对一半。他的预期效用函数的形式为：

预期效用

这里，与分别代表农民在“正常降雨”与“多雨”情况下的收入。

（1）假定农民一定要在两种如表5-1所示收入前景的谷物中进行选择的话，会种哪种谷物？

表5-1 小麦和谷子在不同天气状况下的收入　单位：元

（2）假定农民在他的土地上可以每种作物都播种一半的话，他还会选择这样做吗？请解释你的结论。

（3）怎样组合小麦与谷子才可以给这个农民带来最大的预期效用？

（4）如果对于只种小麦的农民，有一种要花费4000元的保险，在种植季节多雨的情况下会赔付8000元，那么，这种有关小麦种植的保险会怎样改变农民的种植情况？

解：（1）农民种小麦的预期效用为：

农民种谷子的预期效用为：

因为，所以农民会种谷子。

（2）若农民在土地上每种作物都播种一半，他不会选择继续只种谷子。如果农民在他的土地上每种作物各种一半，他的收益如表5-2所示：

表5-2 混合种植时不同天气状况下的收入　单位：元

从而他的预期效用为：

由于，所以农民会混合种植。

（3）假设小麦的种植份额为，那么混合种植的期望效用为：

效用最大化的一阶条件为：

解得：。

此时的期望效用为：

所以当农民用4/9的土地种小麦，5/9的土地种谷子时，其期望效用达到最大，最大期望效用为

。

（4）如果种植小麦的农民购买保险，那么他的期望效用为：

这个值大于两种作物按最优混合比例种植所能带给农民的效用，所以农民会买保险。

2证明：如一个人拥有初始财产，他面临一场赌博，赌博的奖金或罚金都为，赌博的输赢概率都为0.5（公平赌博）。若这个人是风险厌恶型的，那么他就不会参加该赌博。

证明：假设消费者的效用函数为，那么他参与赌博的期望效用为：

而他不参加赌博的效用为。对于风险厌恶者，财富的期望值的效用总是大于效用的期望值，即：

这就意味着参与赌博的效用低于不赌博的效用，所以此人不会参加赌博。

3当决定在一个非法的地点停车时，任何人都知道，会收到罚款通知单的可能性是，并且罚金额为。假定所有的个人都是风险厌恶型的（也就是说，，其中，是个人的财富）。那么被抓到的可能性的按比例增加和罚金上的按比例增加在防止非法停车方面哪个更有效？（提示：运用泰勒级数展开式

）

答：利用泰勒级数展开式，非法停车的总效用为：

假设罚金的比例增加为原来的（）倍，那么非法停车的效用就变为：

　①

假设收到罚款通知单的可能性增加为原来的（）倍，那么非法停车的效用就变为：

　②

由于消费者是风险厌恶型的，所以，于是：

这说明罚金的比例和收到罚款通知单的可能性同比例增加，前者会使消费者的效用更低，所以罚金按比例增加在防止非法停车方面更有效。

4在固定收益率为的资产上投资美元，可以在两种状态时获得；而在风险资产上的投资在好日子收益为，在坏日子为（其中）。通过上述假定，风险资产上的投资就可以在状态偏好的框架中被加以研究。

（1）请画出两种投资的结果。

（2）请说明包含无风险资产与风险资产的“资产组合”怎样可以在你的图中得到显示。你怎样说明投资在风险资产中的财富比例？

（3）请说明个人对于风险的态度会怎样决定他们所持有的无风险资产与风险资产的组合。一个人会在什么情况下不持有风险资产？

答：（1）两种投资的结果如图5-1所示，点是将全部财富都投入到风险资产时收益率状态，点是将全部财富投入到无风险资产时收益率的状态。线段表示把总资产在风险和无风险资产上各投资一部分时的资产组合的收益的状态。

图5-1 两种投资的结果

（2）连接的线即资产组合线。

设点表示一种投资组合，则表示投在风险资产比例，表示投在无风险资产上的比例。现证明如下：

设点坐标为，即是点投在风险资产上的比例。

即，表示投在风险资产上的比例；则，表示投资在无风险资产上的比例。

（3）对于风险厌恶者而言，他有可能在风险资产上进行部分投资，如图5-2所示；也有可能把他的财富全部投资于风险资产，如图5-3所示。需要注意的是，这种情况并不和投资者是风险厌恶的假设矛盾，因为出现这种情况就说明该投资者的风险承受能力较强或者风险较小（即坏情况下的收益率也不会比无风险情况下低太多）；也有可能把所有的资产投资于无风险资产，如图5-4所示，这些都取决于其效用函数的具体形式。对于风险中性者和风险偏好者也有类似的结论。

图5-2 风险资产和无风险资产各投资一部分　图5-3 只在风险资产上投资

图5-4 只在无风险资产上投资

5假设本章第4题中的资产收益要上缴税收。请说明（用文字）：

（1）为什么对财富按比例征税不会影响配置在风险资产上的财富比例。

（2）假定只有从安全资产中获得的收益才按比例交税。这会怎样影响风险资产在财富中的比例？哪些投资者可能受这样一个税收的影响最大？

（3）如果所有的资产收益都要按比例交收入税，你对（2）的回答会怎样变化？

（注意：这个问题需要计算能导致税后效用最大化的财富的税前配置）

答：设投资者的效用函数为。设为投资者在好的状态下的财富，为坏状态下的财富，设投资者认为有的概率出现好的状态。

设为风险资产在投资组合中所占比例。由题意知，投资者决定是以的最大化为标准。即：

，因此，必须满足：

　①

又

代入①式得：

　②

现在证明是的单调函数。

若，　 ③

那么，如果有，则有，。

由假设③式知，必然有（即为的单调递增函数），也就是说，等式②决定了唯一一个最优风险资本比例。

如果值并不在的值域内，事实上就说明，投资者将选择纯风险投资，即，如果，那么，投资者将选择。

（1）设对财富按比例征税的税率为，则有：

而仍然对应原有的风险资产比例，风险资产的比例不变。

（2）设对安全资产的收益按比例征税的税率为，则有：

所以，如果考虑对安全资产的征税，风险资产比例应该增加，这对只投资无风险资产的投资者的影响最大。

（3）设对安全资产的收益按比例征税的税率为，对风险资产按比例征税的税率为，

则有：

如果，那么最优风险资产比例应该上升；如果，那么最优应当下降；如果时，最优应当保持不变。

6某消费者的效用函数为。这里表示其在时期0的消费开支，代表其在时期1的消费开支。银行存贷利率相等且为，该消费者在期的收入为，在期的收入。

问：如果，他该储蓄还是借贷？

如果，他该储蓄还是借贷？

答：跨期决策的消费者的效用最大化问题为：

构造该问题的拉格朗日函数：

拉格朗日函数分别对、和求导得：

　①

　②

　③

由上述三式解得：，。

下面分情况讨论：

（1）如果，，所以消费者会借贷。

（2）如果，，所以消费者还是会借贷。

7一个人拥有固定财富（），并把它分配在两时期的消费中，个人的效用函数由下式给出：

预算约束为：

这里，是单期利率。

（1）证明如果个人在此预算约束下要最大化其效用，则他应当选择（对）时的与的组合。

（2）证明，但是的符号不确定（假设两期的消费会随着收入的增加而增加）。

证明：（1）跨期决策的消费者的效用最大化问题为：

构造该问题的拉格朗日函数：

从而解得：。

故如果个人在此预算约束下要实现最大化其效用，他应当选择时与的组合。

（2）如果令，那么跨期决策的消费者效用最大化问题就是：

则第二期消费可以表示为、的函数，记为，利用斯拉茨基方程，可知：

假设，即第二期的消费会随着总收入的提高而增加，那么由于替代效应为负，即，可知，从而。

同理，对利用斯拉茨基方程有，由于交叉替代效应的符号不能确定，所以即使假设收入效应为正，也不能确定的符号，所以的符号也不能确定。

8一个人寿保险推销员说：“在你这个年纪购买一张100000美元终身寿险保单比一张定期保单要好很多。持有终身寿险保单，你只在前4年里每年支付2000美元，但在你生命的以后的日子里就无需支付了。一张定期保单每年需要你支付400美元，而且永远是这样。如果你再活上35年，你只需对终身保单支付8000美元，但对定期保单则要支付14000美元。所以，终身保单无疑是笔更好的交易。”

假定推销员的寿命预期是正确的，你将如何评价他的论断？更确切地说，假定利率为10%，请计算两张保单的保费成本的贴现值。

答：（1）推销员的评论不正确，因为他没有考虑保单成本的现值。

（2）对于终生寿险保单而言，其成本现值为：

（美元）

对于定期保单而言，其成本现值为：

（美元）

从净现值的角度看，定期保单的成本现值低于终生寿险保单的现值，所以推销员的评论不正确。

9一个强行推销汽车贷款的女推销员对一个刚刚购车的人说：“假定你用现金购买这辆10000美元的汽车，因为你用那笔钱可在银行获得10%的利率，所以三年内你将至少损失3000美元。另一方面，如果你要选择我们的低成本的汽车贷款购买10000美元的汽车，那么只需每月支付350美元持续36个月即可，总体上你只需为汽车支付美元的利息。因此，你通过这样融资就可以省钱。”

如何评价这一说法的？汽车贷款果真是低成本之举吗？

答：（1）汽车贷款推销员只是从累计支出的角度考虑问题，但更合理的方法是比较两种支付的现值。计算如下：现金支付的现值为10000，年利率为10%，则月利率满足，得到。汽车贷款的现值为（美元）。可见汽车贷款的现值高于现金支付的现值，推销员的建议是不合理的。

（2）根据（1）的分析可知，汽车贷款不是低成本之举。

10某人计划花1万元去旅游，其旅游的效用函数为（这里为其支出的价值量）。如果他在旅途中丢失1000元的概率是25%，他如想为丢钱的损失买保险，那么公平的保费是多少？此人愿为这1000元损失支付的最高保险金为多少？

解：（1）公平保费等于投保人的期望损失，为元。

（2）假设此人愿意支付的最高保费为元，此时购买保险和不购买保险对此人而言是没有区别的，即：

解得（元）。故此人愿意为这1000元损失支付的最高保险金为275元。

11消费者的效用函数为，在第一期和第二期的收入分别为100元和180元，利率为。

求：（1）第一期和第二期的消费分别为多少？

（2）取什么值时，该消费者在第一期将储蓄、贷款或不借贷。

（3）当利率变化时对和的影响是什么？

解：（1）跨期决策的消费者的效用最大化问题为：

构造拉格朗日函数：

最大化一阶条件为：

　①

　②

　③

由①、②、③式解得，。

（2）消费者在第一期储蓄，这就意味着，解得；

消费者在第一期贷款，这就意味着，解得；

消费者在第一期不借贷，这就意味着，解得。

（3）由，所以第一期的消费量和利率变化方向相反；，所以第二期的消费量和利率变化方向相同。

12一个人买了一打鸡蛋、并一定要把它们带回家。尽管回家的旅行是无成本的，但在任何一条路上所带的鸡蛋被打破的概率都是50%。这个人会考虑两个战略。

第一个战略：走一条路带所有12个鸡蛋。

第二个战略：走两条路，每次带6个鸡蛋。

（1）请列出每种战略的可能结果与每种结果的可能性。请说明在每种战略下，回家之后平均都有6个鸡蛋没有被打碎。

（2）画一图表示在每一种战略下可获得的效用，人们会倾向于哪一个战略？

（3）采用多于两条路的方案，效用是否可以被进一步改善？如果其他的路是有成本的，那么，这种可能性会受到怎样的影响？

答：（1）如果此人采用战略1，那么可能的结果与每种结果的可能性如表5-3所示：

表5-3 战略1的结果

未打碎鸡蛋的平均个数为（个）。

如果此人采用战略2，那么可能的结果与每种结果的可能性如表5-4所示：

表5-4 战略2的结果

未打碎鸡蛋的平均个数为（个）。

（2）假设此人的效用函数为，这里是鸡蛋的个数。那么战略1带给此人的效用为：

战略2带给此人的效用为：

所以可得：

　①

这样，如果此人是风险厌恶型的，那么由①式可知，即此人偏好于战略2（如图5-5所示）；反之，如果此人是风险偏好型的，那么，即此人偏好于战略1。

图5-5 风险厌恶型消费者的战略偏好

（3）①如果有其他多于两条路的方案，那么对于风险规避者而言，其效用可以进一步得到提高。这是因为路越多，风险就越容易得到分散。

②如果走路是有成本的，那么路越多，成本就越高，这会降低消费者的效用，因此，最终的结果是消费者需要在分散风险和降低成本之间进行平衡，也就是说存在某个数，当路的条数大于时，由于成本的增加导致的效用的减少大于由于风险分散引起的效用的提高，所以消费者的总效用会减少。当路的条数小于时，成本的减少导致的效用增加小于风险的增大引起的效用的降低，所以消费者的总效用也会减少，因此最优的选择就是分条路把鸡蛋带回家。

13判断：下列说法对吗？为什么？

（1）当利率上升时，原来的贷款者仍将贷款，而且贷款数量一定会增加；当利率下降时，原来的借款者将继续借款，而且借款数量至少不会减少。

（2）跨期消费的第一期和第二期的消费之间的边际替代率为。

（3）如果名义利率小于通货膨胀率，则一个理性的消费者不会选择存钱。

答：（1）第一个说法的前半句正确，后半句错误；第二个说法的前半句正确，后半句错误。理由如下：跨期决策的消费者的效用最大化问题为：

①当利率上升时，原来的贷款者仍将贷款，但贷款数量不一定会增加。理由如下：如图5-6所示，利率上升后，预算线从变为，根据显示偏好弱公理，消费者的最优选择一定位于段，即消费者一定还是贷款者。但是具体位于段的哪一点，则依赖于效用函数的具体形式（比如在图5-6中，如果消费者的无差异曲线为，那么消费者的贷款数量就会增加；但是如果消费者的无差异曲线为，那么消费者的贷款数量就会减少）。

图5-6 利率升高对贷款者的影响

②当利率下降时，原来的借款者将继续借款，但借款数量的变化不确定。理由和上述的分析类似，如图5-7所示。

图5-7 利率降低对借款者的影响

（2）这个说法正确。理由如下：如果令，，分别为第一期和第二期的价格，那么跨期决策的消费者的效用最大化问题就是一个普通的效用最大化问题，根据最优解的必要条件：

　①

把和的表达式代入①式中，就有：

（3）这个说法错误。理由如下：如果考虑通货膨胀的因素（假设通货膨胀率为），那么跨期决策的消费者的效用最大化问题为：

由于消费者在1期是否存钱依赖于时期1的消费和时期1的收入的差别，而由上面的优化问题可知，时期1的消费又取决于消费者的效用函数，两期的收入和利率以及通货膨胀率这些因素的综合影响，所以消费者在1期是否存钱也依赖于多个因素的综合影响，而并非利率和通货膨胀率就能决定的。

14在一个封闭的村庄中唯一的产品是玉米，由于土地的原因好收成与坏收成交替出现，今年的收成是1000公斤，明年的收成是150公斤，这个村庄与外界没有贸易。玉米可以储存但是老鼠会吃掉25%，村民的效用函数是，是今年的消费，是明年的消费。

（1）画出跨时期预算曲线，指出截距位置。

（2）村民今年消费量是多少？

（3）老鼠会吃掉多少？

（4）村民明年消费多少？

（5）如果考虑后年，且效用函效为，是后年的消费，求解问题（2）～（4）。

解：（1）跨期预算线为，，如图5-8所示。截距在纵轴上，纵轴截距为900。

图5-8 村民的跨期预算线

（2）跨期决策的消费者的效用最大化问题为：

　①

　②

这里之所以会有②式这个约束条件是因为这是一个封闭的村庄，所以如果第一年的粮食不够吃，这个村庄不能从别的地方借到粮食，也就是说第一年的消费上限是1000公斤。但是在求解这个问题的过程中，可以先不用理会②式的约束，只需要对目标函数式和①式应用拉格朗日乘数法求出最优解，然后在判断最优解是否满足②式即可。利用拉格朗日乘数法解得公斤，公斤且公斤满足②式。故村民今年的消费量为600。