第4讲　VNM效用函数与风险升水

4.1　课后习题详解

1（单项选择）一个消费者的效用函数为，则他的绝对风险规避系数为：

（A）  （B）　 （C）　 （D）

【答案】C

【解析】由消费者的效用函数，可得，，则可得该消费者的风险规避系数为：。

2证明：若一个人的绝对风险规避系数为常数，则其效用函数形式必为，这里代表财产水平。

证明：这是一个求积分的问题，即由绝对风险规避系数来倒求效用函数。根据绝对风险规避系数的定义，就有：

对等式（1）最后一个等号两边积分得：

即：。

进一步整理得：

　①

其中，对①式两边积分得：

其中为任意实数。根据效用函数的单调递增特性可知（因为如果，就说明财富越少，消费者的效用就越高，这不符合正常的情况）。又因为效用函数的单调变换不改变它所代表的偏好，所以表示的偏好也可以用表示。

3若一个人的效用函数为，证明：其绝对风险规避系数是财富的严格增函数。

证明：由效用函数，可得，，则该消费者的绝对风险规避系数为：

其中。因此，当时：

即绝对风险规避系数是财富的严格增函数。

4设一种彩票赢得900元的概率为0.2，而获得100元的概率为0.8。计算该彩票的期望收入。若一个人对该彩票的出价超过彩票的期望收入，请写出这个人的效用函数形式。（形式不唯一）。

答：（1）用表示风险收入，那么该风险收入的期望值为：

（元）

（2）如果此人对该彩票的出价超过彩票的期望收入，说明他是风险喜好者（如图4-1所示）。一个可能的效用函数是。

图4-1  风险爱好者的效用函数

5证明：在下列效用函数中，哪些显示出递减的风险规避行为：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）。

答：递减的风险规避行为是指随着消费者财富的增加，他的风险厌恶程度会逐渐减弱，也就是说他的绝对风险规避系数关于财富数量是递减的。

（1）因为，

所以，关于财富求导得：

因此，该效用函数显示出递减的风险规避行为。

（2）因为，，所以，这就意味着，因此该效用函数不显示出递减的风险规避行为。

（3）因为，，所以，关于财富求导得：

因此，该效用函数显示出递减的风险规避行为。

（4）因为，，所以，关于财富求导得：

因此，该效用函数不显示出递减的风险规避行为。

6一个具有VNM效用函数的人拥有160000单位的初始财产，但他面临火灾风险：一种发生概率为5%的火灾会使其损失70000；另一种发生概率为5%的火灾会使其损失120000。他的效用函数形式是。若他买保险，保险公司要求他自己承担前7620单位的损失（若火灾发生）。什么是这个投保人愿支付的最高保险金？

解：用表示保费，那么投保人购买保险的期望效用为：

投保人不购买保险的期望效用为：

当投保人支付最高保险金时，他对买保险与不买保险的期望效用相同，即：

从而解得，故此投保人愿支付的最高保险金为11013。

7考虑下列赌局：

表4-1  不同概率分布的赌局

上表内，矩阵中的数字代表每一种结果的发生概率（比如，在赌局1中，发生10000元的概率为0.1）。如果有人告诉你，他在赌局“1”与“2”之间严格偏好于“1”，在赌局“3”与“4”之间严格偏好于“3”。请问他的选择一致吗？请做出说明。

答：赌徒的选择不一致。理由如下：

由于该赌徒在赌局“1”与“2”之间严格偏好于“1”，这就说明赌局“1”可以带给他更大的效用，即：

整理上式得：

　（1）

由于该赌徒在赌局“3”与“4”之间严格偏好于“3”，这就说明赌局“3”可以带给他更大的效用，即：

整理上式得：

　（2）

对比（1）式和（2）式，就可以知道赌徒的选择不一致。

8两匹马A与B赛跑。李某对该赛马打赌。马A与B之间，或A赢，或B赢，无平局。李某按下列偏好序对打赌进行排序：

（1）他在A上下赌注2元，若A赢了，则会获得元；若A输了，则分文无收；

（2）不赌；

（3）他在B上下赌注2元，若B赢了，他会获得元；若B输了，则分文无收。

根据上述排列顺序能得出结论说，李某相信A获胜的概率大于吗？如果李某是风险规避的，可以知道

的值吗？

解：（1）根据上述排列顺序可以得出结论：李某相信A获胜的概率大于。理由如下：

设A获胜的概率，B获胜的概率，因为李某对（1）、（2）、（3）三种情况的偏好顺序为：（1）（2）（3），所以（1）、（2）、（3）三种情况带给李某的期望效用也是递减的，即：

整理上述不等式，就有：

　①

根据以及效用函数单增的特性，可知：

这样①式就意味着，再结合，就有。

（2）如果李某是风险规避的，可以知道的值。理由如下：

由于李某是风险规避的，所以财富的期望值带给他的效用会高于效用的期望值，即：

　②

又因为李某偏好于情况（1）甚于情况（2），这就是说：

　③

由②③两式可知：

根据效用函数单增的特性，可知：

整理得：。

9一个消费者具有VNM效用函数，他面临四种结局：A、B、C、D。其偏好序为ABCD。试验显示，他认为，（这里的等号表示“无差异”）。请对A、B、C、D四种结局构造出一组VNM效用值。

答：用、、、分别表示A、B、C、D四种结局带给消费者的效用，则就意味着：

　①

就意味着：

　②

由于：

　③

把①、②两式代入③式中就会发现：只要，那么①、②两式就和③式相容，因此对任意的，对这四种结局可以构造如下效用函数：

10近年来保险业在我国得到迅速发展，本题应用经济学原理分析为什么人们愿意购买保险。假定有一户居民拥有财富10万元，包括一辆价值2万元的摩托车。该户居民所住地区时常发生盗窃，因此有25%的可能性该户居民的摩托车被盗。假定该户居民的效用函数为，其中表示财富价值。

（1）计算该户居民的效用期望值。

（2）如何根据效用函数判断该户居民是愿意避免风险，还是爱好风险？

（3）如果居民支付一定数额的保险费则可以在摩托车被盗时从保险公司得到与摩托车价值相等的赔偿。试计算该户居民最多愿意支付多少元的保险费？

（4）在该保险费中“公平”的保险费（即该户居民的期望损失）是多少元？保险公司扣除“公平”的保险费后的纯收入是多少元？

解：（1）该户居民的效用期望值为：

（2）对于风险规避的行为人，其效用函数的二阶导数小于零，下面计算该居民的效用函数的二阶导数：

因为，从而，，所以该户居民是风险规避的。

（3）如果不支付保费，根据第（1）问的结果可知，该户居民的期望效用为11.45。如果该户居民购买保险进行风险规避，假设其支付的保费为，那么他的期望效用为。当该户居民支付最高保费时，它在购买保险和不购买保险之间是没有区别的，即：，解得（元）。

（4）公平保费为（元）；

保险公司扣除掉公平保费后的纯收入为（元）。

11下列三个说法对吗？请说明理由。

（1）买彩票的期望收益低于消费者付出的货币，而消费者却常常热衷于此，说明在这种情况下，买彩票的人是喜爱风险的。

（2）一个人面对两种收入可能，一种是获得2000元和1000元收入的概率均为0.5，另一种是获得2500元和500元收入的概率各为0.5，两种情况的期望收入相同，故消费者对二者的评价相同。

（3）一个消费者的效用函数为，有两种可能的收益，第一种是获得4元和25元的概率均为0.5，另一种情况是他获得9元和16元的概率分别为0.4和0.6，则他对第一种的评价好于第二种。

答：（1）正确。理由如下：

假设购买彩票的费用为，获胜的概率为，收入为，输的概率为，收入为，该赌博者的初始财富为。买彩票的净期望收入为。消费者热衷于买彩票意味着：

　①

而买彩票的期望收益低于消费者付出的货币则意味着：

　②

综合①②两式可知：

效用的期望值高于财富的期望值带给他的效用，所以消费者是风险偏好的。

（2）错误。理由如下：

消费者对两个收入的评价以期望效用为标准，而不是以期望收入为标准。虽然本题中两种情况下的期望收入相同，都是。但是由于没有给出具体的效用函数形式，所以无法判断消费者对这两个收入的偏好顺序。

（3）错误。理由如下：

消费者在第一种情况下的期望效用是，消费者在第二种情况下的期望效用是

。可知，第二种情况下的期望效用大于第一种情况的期望效用，所以该消费者对第二种情况的评价好于第一种。

12一个人具有期望效用函数，其效用函数原形是。他有机会参与掷硬币，头面向上的概率均为。如果他下赌注元（），若头面向上，他会拥有；反之，若背面向上，则他只拥有。请解出其作为的函数的最优赌注量。当，什么是他的关于的最佳选择？

解：（1）对于消费者而言，最优的赌注就意味着在此赌注下，他的期望效用达到最大。所以，消费者对最优赌注的选择可以归结为如下优化问题：

对上式求导并令一阶导函数等于0，就有：

　①

解得。

下面分两种情况讨论①式：

①如果，那么对任意的，都有，这就意味着消费者的期望效用关于赌注的数量是递减的，所以他的最优选择就是不下赌注，即。

②如果，那么。

综上可知消费者的最优赌注为：

（2）当时，，即他选择不赌博。

13一个人具有期望效用函数，其效用函数原形为，他的财产初值为4元。他拥有一张奖券，该奖券值12元的概率为0.5，值零元的概率为0.5。什么是这个人的期望效用？若要他出让该彩票，他索取的最低价会是多少？

解：（1）此人的期望效用为：

（2）假设此人对出售该张彩票的要价为，那么出售彩票带给他的效用为。对于最低要价，他在出售与不出售这张彩票之间是没有区别的，即：

解得，即他索取的最低价会是5元。

14一个人具有期望效用函数，其效用函数原形为。他有机会参加一场赌博，若赢了，他的财产会达到，其赢率为；但该赌局下他的财产为的概率是。为使他对持有当前财产与参与赌博无差异，则他当前的财产水平应该是多少？

解：此人参与赌博的期望效用为：

为了使他对持有当前财产与参与赌博无差异，那么他当前的财产水平和赌博应该带给他相同的效用，即：

把的表达式代入上式中，得到：

解得：