2.4 多阶二叉树模型和Delta对冲

2.4.1 多阶二叉树模型

二叉树模型即使扩展到多个阶段，也能通过计算得到期权的合理价格，那么，在多阶模型中是否也可以如一阶模型那样适用Delta对冲呢？答案是肯定的。以四阶二叉树模型为例。我们随意构建一个四阶二叉树模型，期初标的资产价格为5元。假设标的资产价格在上涨时上涨25%，在下跌时下跌20%。在这个假设中上涨比例和下跌比例是不同的，由公式SU×SD=S2可知(1+上涨率)×(1-下跌率)=(1+0 . 25)×(1-0 . 2)=1。再假设认购期权的行权价为5元，每阶段利率为5%。通过这样的假设完成的四阶二叉树模型如图2.7所示。每个时点的矩形上半部分为标的资产（股票）的价格、中间部分为认购期权的价格、下半部分为Delta（Δ）的值。由图2.7可知期初认购期权的合理价格应为1-270元。

现在假定因某些原因该期权市场价为2.270元，即期权被高估1.000元。在这种情况下，让我们寻找如一阶二叉树模型那样将被高估的1.000元转化为收益的办法。

先做预测，初期被高估的1.000元将在到期时变为1.2155（1.000×(1+0.05)4=1.2155）元。从开始时点到到期的某个时点会有多条路径，其中四阶二叉树模型中可能的路径有16（24=16）条，十阶二叉树模型会有1024（210=1024）条路径。我们任意选择四阶二叉树模型16条路径中的某一条路径，即在图2.7中用虚线表示的路径。也就是说只要进行Delta对冲，不论标的资产以何种路径变动，在到期时损益都会相同。