二　阿拉伯的数学

（一）花拉子米与《代数学》

经过近一个半世纪的翻译工作，阿拉伯人进入吸收和创造时期，从9世纪到14世纪，先后出现了一批著名的数学家，他们在吸收希腊、印度数学的基础上，创造了阿拉伯数学，为数学的发展作出了重要贡献。

阿拉伯原来只有数词，没有数字，在征服埃及、叙利亚等国后，先是使用希腊字母记数，后来接受印度数字，经过改进后，在12世纪传入欧洲，所以欧洲人称其为“阿拉伯数字”。这些数字主要是通过阿尔·花拉子米（Mo hammad ibn Musa al khowarizmi，约780—850）的著作传入欧洲的。

阿尔·花拉子米是阿拉伯数学史上早期最重要的代表人物。花拉子米就学于中亚古城默夫（Meve），813年后到巴格达任职，成为“智慧宫”领头学者。今天的“代数学”（algebra）一词就起源于花拉子米的数学著作。这部阿拉伯文的数学手稿翻译为拉丁文后书名为Al jabr w’al muqabala。Al jabr的原意是“还原”，就是指把负项移到方程的另一端变成正项；muqabala意即“对消”，即把方程两端相同的项消去或合并同类项。清初，西方数学传入中国，Algebra曾音译为“阿尔热巴达”，1859年由清代数学家李善兰定名为“代数学”。

花拉子米的代数著作用十分简单的问题说明解方程的一般原理。正如他在序言中所说：

在这本小小的著作里，我选的材料是数学中最容易和最有用途的，是人们在处理下列各项事务中经常需要的：在有关遗嘱和继承遗产的事物中，在分析财产、审理案件时，在买卖和人们的一切商业交易中，在丈量土地、修筑运河的场合中，在几何计算和其他各种学科中……

花拉子米把这些实际问题化为一次或二次方程的求解问题，他把未知量称为“硬币”“东西”或植物的“根”，现在把解方程求未知量叫做“求根”正是来源于此。

花拉子米在《代数学》中系统地讨论了六种类型的一次或二次方程问题。这些方程由下列三种量构成：根、平方、数。根就是未知数x，平方就是x2，数就是常数项。花拉子米的书中全用文字来叙述，如：

平方等于根　ax2=bx

平方等于数　ax2=c

根等于数　ax=c

平方和根等于数　ax2+bx=c

平方和数等于根　ax2+c=bx

根和数等于平方　bx+c=ax2

右列是其相应的代数方程，其中a, b，c都是整数。

在《代数学》中，花拉子米还讲述了几种方程的证明。对于方程x2+10x=39，花拉子米给出了两种不同的几何证明。他的第一种证法是在边长为x的正方形的四个边上向外作边长为x和5/2的矩形（图4.1之②），其面积为x2+10x=39，再把这个图形补充为边长为x+5的正方形（图4.1之③），这个大正方形的面积等于x2+10x+25=39+25=64，因此其边长为8，所以原来较小正方形的边长x=8-5/2-5/2=3。这种方法就是现在中学数学中的配方法。

花拉子米的讲解是这样的详尽和系统，对于每一个例子都细致地指明配平方的步骤，使读者很容易掌握其方法，因而广为流行。他所列举的例子如x2+10x=39，x2+21=10x，3x+4=x2一直为后世数学家所沿用。数学史家卡平斯基（Karpinski）称“方程x2+10x=39就像一条金链贯穿着几百年的代数学”。正是在这个意义上，花拉子米被冠以“代数学之父”的称号。

（二）阿拉伯的三角学

三角学在阿拉伯数学中占有重要地位，它的产生和发展与天文学有着密切的关系。在阿拉伯人所继承的数学遗产中，与三角学有关的著作有印度天文名著《历数书》、托勒密的《天文学大成》和梅内劳斯的《球面论》，这三部著名文献是阿拉伯三角学发展的基础。但是，阿拉伯人在希腊“弦表”的基础上引进了新的三角量，如正割、余割，并揭示了这些三角量的性质和关系，给出了平面三角形和球面三角形的全部解法，并制造了一系列的三角函数表。其中最重要的工作是纳速·拉丁（Nasir Eddin，1201—1274）的贡献，这是因为，纳速·拉丁在《论四边形》中建立了三角学的系统知识，从基本概念到所有类型的问题的解法，从而使得三角学脱离天文学而成为数学的独立分支。这部著作对于三角学在欧洲的发展有着决定性的影响。数学史家苏特（H.Suter，1893）感慨地说：“假如15世纪欧洲的三角学者早知道他们的研究，不知还有没有插足的余地？”

这里还应介绍的一个数学成就是伊朗数学家、天文学家阿尔·卡西（Jamshid Al Kashi，？—1429）在他的代表作《圆周论》中关于π的精彩计算。在图4.2中，AB是直径，D是弧BC的中点，卡西的计算依据这样一个定理

令AC=Cn, AD=Cn+1，则有

记BC=an，直径为d，则由毕达哥拉斯定理知

卡西取d=2，造了28张大表格，依次计算内接正3×228边形的边长，n=1，2，3，……，28，则有

他再以同样的方法计算外切正3×228边形的周长，取它们的算术平均值作为圆的周长。最后得到圆周率是3.1415926535897932。这17位数字全是准确数字。近千年来，由祖冲之保持的小数点后7位的纪录终于被打破了。