§3　直线的方程，直线、平面间的相关位置

3.1　直线的方程

一个点和一个非零向量可以决定一条直线.取一个仿射标架[O；d1，d2，d3]，已知点M0（x0，y0，z0）T，非零向量υ（X,Y，Z）T，如图2.4所示.现在来求经过点M0且方向向量为υ的直线l的方程.

点M（x,y，z）T在直线l上的充分必要条件是与υ共线，即其中t是实数.设M0，M的定位向量分别用r0，r表示，则由上式得

r=r0+tυ.（3.1）

（3.1）式称为直线的向量式参数方程，其中t称为参数，它可以取任意实数.参数t的几何意义是：点M在直线l上的仿射标架[M0；υ]中的坐标.

将（3.1）式用坐标写出，得

（3.2）式称为直线的参数方程，其中参数t可取任意实数.

下面消去参数t.因为υ≠0，不妨设X≠0，则得

如果Y≠0，则得

如果Y=0，则得y-y0=0.对于非零实数a，由于0c=0，∀c∈R，因此0c≠a，∀c∈R，从而a/0不存在；而0/0可以等于任意实数c.于是，如果规定分母为零时就表示分子也为零，则当Y=0时，（3.3）式仍然成立，并且此时（3.3）式左端的x可以取任意实数.

同理可得

因而有

（3.5）式称为直线l的标准方程（或点向式方程），它实际上是两个方程（3.3）和（3.4）的联立方程组.标准方程中的（X,Y，Z）T称为直线l的方向系数，它是l的方向向量υ的坐标.由于对任意非零实数k,kυ也是l的方向向量，所以（kX,kY,kZ）T也是l的方向系数.如果已知直线l上两点M1（x1，y1，z1）T,M2（x2，y2，z2）T，则为l的一个方向向量，从而得l的方程为

（3.6）式称为直线l的两点式方程.

任意一条直线可以看成某两个相交平面的交线.设直线l是相交平面π1和π2的交线，πi的方程为

Aix+Biy+Ciz+Di=0，i=1，2，

它们的一次项系数不成比例，则

是直线l的方程，称为l的普通方程.

由直线l的标准方程（3.5）可写出它的普通方程.若X≠0，则（3.5）式可写成

（3.8）式就是l的普通方程，其中第一个方程表示平行于或经过z轴的平面，第二个方程表示平行于或经过y轴的平面.对于X=0，而Y≠0（或Z≠0）的情况，可类似讨论.

由直线l的普通方程（3.7）可写出l的标准方程.先找直线l上的一个点M0.如果

则令z=0.这时去解x,y的一次方程组，可求得唯一的一个解x=x0，y=y0.于是M0（x0，y0，0）T在l上.再找l的一个方向向量υ（X,Y，Z）T.因为υ平行于πi（i=1，2），所以有

令

则

所以坐标为

的向量υ与πi（i=1，2）平行.由于π1与π2方程中的一次项系数不成比例，所以（3.9）中的三个行列式不全为零（根据第一章的命题2.3）.这说明υ≠0，于是坐标为（3.9）的向量υ就是l的一个方向向量.有了l上的一个点M0和它的一个方向向量υ，就可以立即写出它的标准方程.

由于直角坐标系是特殊的仿射坐标系，所以上述一切结论在直角坐标系中都成立.利用右手直角坐标系的特殊性，由直线的普通方程写出它的标准方程时，求l的方向向量υ可以更加直观：因为υ⊥ni，其中ni是πi（i=1，2）的法向量，所以可以取υ=n1×n2.由于ni的坐标是（Ai，Bi，Ci）T，所以υ=n1×n2的坐标就是（3.9）.

3.2　两条直线的相关位置

在仿射坐标系中，设直线li经过点Mi（xi，yi，zi）T，方向向量为υi（Xi，Yi，Zi）T，i=1，2.

l1与l2平行的充分必要条件是υ1与υ2共线，但M与υ1不共线，即存在实数λ，使得υ2=λυ1，但对一切实数μ，都有

l1与l2重合的充分必要条件是υ1，υ2，共线，即存在实数λ，μ，使得

l1与l2相交充分必要条件是，υ1，υ2共面，且υ1与υ2不共线，即

且对一切实数λ，都有υ2≠λυ1.

l1与l2异面的充分必要条件是，υ1，υ2不共面，即Δ≠0.

3.3　直线和平面的相关位置

在仿射坐标系中，设直线l经过点M0（x0，y0，z0）T，一个方向向量为υ（X,Y，Z）T，平面π的方程为Ax+By+Cz+D=0.

l与π平行的充分必要条件是υ与π平行，且M0不在π上，即

AX+BY+CZ=0，且　Ax0+By0+Cz0+D≠0.

l在平面π上的充分必要条件是υ与π平行，且M0在π上，即

AX+BY+CZ=0，且　Ax0+By0+Cz0+D=0.

l与π相交的充分必要条件是υ与π不平行，即

AX+BY+CZ≠0.

此时，将l的参数方程

代入π的方程中，得

A（x0+tX）+B（y0+tY）+C（z0+tZ）+D=0.

解得

再代回到l的参数方程中，可求出l与π的交点的坐标.

3.4　例

例3.1　设在直角坐标系中，直线l的点向式方程为

求经过l且平行于z轴的平面π的方程以及l在Oxy平面上的投影的方程，并且画图.

解　因为l的普通方程是

其中第一个方程表示的平面就是经过l且平行于z轴的平面，因此所求平面π的方程为

l在Oxy平面上的投影l1是平面π与Oxy平面的交线，所以l1的方程是

为了画平面π，先求出它与x轴的交点（1，0，0）T及与y轴的交点为了画直线l，先求出l与Oxy平面的交点及与Ozx平面的交点（1，0，1）T.画出的图形如图2.5所示.

例3.2　在仿射坐标系中，求经过点M0（0，0，-2）T，与平面

π1：3x-y+2z-1=0

平行，且与直线

相交的直线l的方程.

解法一　先求l的一个方向向量υ（X,Y，Z）T.因为l经过点M0，且l与l1相交，所以有

即

X+Y-2Z=0.

又因为l与π1平行，所以有

3X-Y+2Z=0.

联立上述两个方程解得

X=0，Y=2Z.

令Z=1，得Y=2，所以l的方程为

解法二　l在经过点M0且与平面π1平行的平面π2上，设π2的方程为

3x-y+2z+D=0.

将M0的坐标代入，求得D=4，所以π2的方程为

3x-y+2z+4=0.

l又在经过点M0及直线l1的平面π3上，π3的方程为

即

x+y-2z-4=0.

因为l是π2与π3的交线，所以l的方程为

解法三　设l与l1的交点为M2（x2，y2，z2）T.因为M2在l1上，又与π1平行，所以有

解之，得M2的坐标为，因此l的方程为

即

习题　2.3

1.在给定仿射坐标系中，求下列直线的方程：

（1）经过点（-2，3，5）T，方向系数为（-1，3，4）T；

（2）经过点（0，3，1）T和（-1，2，7）T.

2.在给定的直角坐标系中，求下列直线的方程：

（1）经过点（-1，2，9）T，垂直于平面3x+2y-z-5=0；

（2）经过点（2，4，-1）T，与三根坐标轴夹角相等.

3.将下列直线的普通方程化成标准方程：

4.在给定的直角坐标系中，求下列直线在Oxy平面上的投影，并画图：

5.判断下列各对直线的位置：

6.求直线与平面的交点：

7.求直线

与z轴相交的条件.

8.在给定的仿射坐标系中，求下列平面的方程：

（1）经过直线l1，且平行于直线l2，其中l1，l2的方程分别是

（2）经过直线

且在y轴和z轴上有相同的非零截距；

（3）经过两平面

π1：4x-y+3z-1=0　和　π2：x+5y-z+2=0的交线，且经过点（1，1，1）T.

9.在给定的直角坐标系中，求下列平面方程：

（1）与平面π1：6x-2y+3z+15=0平行，且这两个平面与点（0，-2，-1）T等距；

（2）经过z轴，且与平面2x+y√-5z-7=0交成60°角；

（3）经过点（2，0，-3）T，且垂直于两平面

π1：x-2y+4z-7=0　和　π2：3x+5y-2z+1=0.

10.在给定的仿射坐标系中，求下列直线的方程：

（1）经过点（1，0，-1）T，且平行于直线

（2）经过点（11，9，0）T，且与直线l1和l2均相交，其中l1，l2的方程分别是

（3）平行于向量（8，7，1）T，且与直线l1和l2均相交，其中l1，l2的方程分别是

11.在给定的直角坐标系中，求下列直线的方程：

（1）经过点（2，-1，3）T，与直线

相交且垂直（简称正交）；

（2）经过点（4，2，-3）T，平行于平面x+y+z-10=0，且与直线

垂直；

（3）从点（2，-3，-1）T引向直线

的垂线；

（4）经过点M0，且与直线r=r1+tυ正交.

12.在△ABC中，设P,Q，R分别是直线AB,BC,CA上的点，且

证明：AQ,BR,CP共点的充分必要条件是λμν=1（注：若AQ,BR,CP彼此平行，则也认为它们有一个公共点.这在第七章§1中将详细讲）.

13.用坐标法证明切瓦定理：若三角形的三边依次被分割成

λ：μ，ν：λ，μ：ν，

其中λ，μ，ν均为正实数，则此三角形的顶点与对边分点的连线交于一点.

14.求出直线

和平面

π：Ax+By+Cz+D=0

平行或l在π上的条件.

*15.证明：如果直线

与直线

相交，那么

16.证明：任何与异面直线

和

其中λ，μ是不全为零的实数，λ′，μ′也是不全为零的实数.

17.证明：到三角形的三个顶点等距离的点的几何轨迹是一条直线.

*18.在直角坐标系中，给定点A（1，0，3）T和B（0，2，5）T以及直线

设A′，B′分别为A,B在l上的垂足，求|A′B′|以及A′，B′的坐标.

*19.在仿射坐标系中，求出经过点M0（x0，y0，z0）T，且与平面

πi：Aix+Biy+Ciz+Di=0，i=1，2

都平行的直线的方程.