2.1 基于局部方向分布的角点检测

2.1.1 方向线及局部方向分布

记图像I（x,y）中的点X_i（x_i,y_i），其梯度向量为grad（X_i）=［d_ix,d_iy］, 则经过点X_i且与其梯度方向垂直的直线可表达为：

对l_i系数向量的L²范数进行归一化，可得：

式中，。 l_oi被定义为点 X_i的方向线，它与点 X_i的主要边缘方向一致 （如图2-1所示， l_oA，l_oB，l_oC分别表示点A， B， C的方向线）。

像素点的结构类型主要由其附近边缘点（梯度较大的点）的分布所决定，但并非所有边缘点都对其结构类型有贡献。如在图2-1中，角点P主要由PA、PB上的边缘点组成，边缘点C对于构成角点P没有任何贡献。无论点P是一维边缘点或者多维角点（包括L、T、Y、X四种类型），只有方向线通过点P的边缘点才对其结构有所贡献。

对于图像点P, 考虑其支撑区域Ω（以点P为中心、R为半径的一个圆形区域，如图2-1所示）内的边缘点，方向线通过或非常接近点P的边缘点称为点P的支撑像素点，点P的所有支撑像素点的方向线在各个方向上的分布称为P的局部方向分布。局部方向分布的引入使得我们能够有效地区分对点P结构“有贡献”和“无贡献”的像素点，从而在进行角点检测定位时能够排除“无贡献”边缘点的干扰，这是本章的角点检测定位算法具有较高精度的内在原因之一。

2.1.2 局部方向描述子

为了描述某一点P的局部方向分布，下面构造一个N维向量来统计点P的支撑区域Ω内各个方向上的梯度分布，该向量称为点P的局部方向描述子。具体构造过程如下：

1）为点P的支撑区域Ω内的像素点X_i分配权重，以体现不同的像素点具有不同的重要性。记点P到X_i的方向线的距离为d₁，P到X_i的距离为d₂（如图2-2所示）。令T_S是距离阈值，按以下规则为点X_i分配权重：

① 当d₁>T_S时，X_i不是支撑像素，因此点X_i的权重为0。

② X_i的梯度幅值越大，对应权重越大，即X_i的权重与其梯度幅值成正比。

③ X_i的权重随d₁的增大而减小，采用高斯权重函数来描述。其中，σ₁∈［0.5T_S,0.8T_S］。

④ X_i的权重随d₂的增大而减小，采用高斯权重函数来描述。其中，σ₂∈［0.5R,0.8R］。

综合①②③④，X_i的权重设置为：

式中，mag（X_i）表示X_i的梯度幅值。

2）根据X_i的权重和方向线，建立点P的局部方向描述子。将直线的方向区间Δ=[0，180）等分为N个子区间：，k=1，2，…,N。对X_i∈Ω，如果X_i方向线的方向θ（X_i）∈Δ_k，则按下述方式定义一个N维向量V（X_i）=［v₀,v₁,…,v_N-1］：

式中， kmod N表示k整除N所得的余数，其中， δ=| θ_k-θ_k-1 =180/N，上式中的两个非零分量是X_i的权重在区间Δ_k两个端点方向上的线性插值。点P的局部方向描述子由下式计算：

为了提高算法的计算效率，式（2-3）中两个高斯函数乘积部分可通过查找表技术来实现（使用半径为R的区域计算描述子时，需要建立大小为πR²·180的查找表）。如果不考虑构造查找表的计算时间开销，使用查找表技术，局部方向描述子的计算复杂度相当于进行同样大小的模板卷积运算。实验表明查找表技术能够大大节省算法的计算时间开销。

2.1.3 角点检测

点P局部方向描述子H（P）给出了梯度幅值在各个方向上的加权分布，称描述子的分量h_n为描述子在方向θ_n上的能量。为了分析局部方向描述子所包含的图像局部结构信息，我们定义以下统计量：

•各个方向上的能量总和定义为描述子的总边缘能量。总边缘能量是点P的所有支撑像素点边缘强度的累加。

•在各个方向中，能量最大的方向定义为描述子的主方向，记为θ_M。描述子的主方向表示经过点P的边缘中最主要边缘的方向。

•在主方向附近的能量累加定义为描述子的主边缘能量，其中，Δ是一个较小的正整数。描述子的主边缘能量表示经过点P的边缘中最主要边缘的强度。

•总边缘能量与主边缘能量的差E_A=E_T-E_M定义为描述子的绝对角点能量。描述子的绝对角点能量表示经过点P的边缘中除最主要边缘外的其他边缘的强度和。

•绝对角点能量与主边缘能量的比值E_R=A_A/E_M定义为描述子的相对角点能量。E_R越小表明点P越接近一维边缘结构；反之说明点P附近存在多维结构。

图2-3a为不同类型角点的真实图像，图2-3b为图2-3a所示中心点的角点能量图，图2-3c是图2-3a所示中心点的局部方向描述子，图2-3d是对图2-3a进行局部累加的结果。显然，对于一维边缘上的点（图2-3a上），由于其周围支撑像素点的方向线趋向一致，描述子的边缘能量集中分布在主方向附近（图2-3c上），因而绝对角点能量（图2-3d上）和相对角点能量都很小。对于多维结构的角点（图2-3c下），描述子的能量集中分布在多个方向附近（图2-3c下），因此有着较大的绝对角点能量（图2-3b）和相对角点能量。绝对角点能量E_A和相对角点能量E_R有效地揭示了描述子中包含的图像角点结构信息（图2-4给出了不同类型的角点的绝对角点能量分布图，每组上一幅表示角点图像，下一幅表示其对应绝对角点能量），因而可以用来进行角点检测。在这里，我们定义图像的绝对角点能量E_A的局部极大点为图像的角点。在实际检测中，为了得到稳定的角点和控制角点数目，还设置绝对角点能量E_A和相对角点能量E_R大于某个阈值。