3.1.1　进位计数制

1.基数

进位计数制的特点是由一组规定的数字来表示任意的数，这组数字的总个数就称为基数。

①十进制：基数为10，10个记数符号，即0、1、2、…、9。每一个数码符号根据它在这个数中所在的位置（数位），按“逢十进一”来决定其实际数值。

②二进制：基数为2，2个记数符号，即0和1。每个数码符号根据它在这个数中的数位，按“逢二进一”来决定其实际数值。

③八进制：基数为8，8个记数符号，即0、1、2、…、7。每个数码符号根据它在这个数中的数位，按“逢八进一”来决定其实际的数值。

④十六进制：基数为16，16个记数符号，0～9，A～F。其中A～F对应十进制的10～15。每个数码符号根据它在这个数中的数位，按“逢十六进一”决定其实际的数值。

2.位权

进位计数制的数可以用位权来表示，位权是指一个数字在某个固定位置上所代表的值，处在不同位置上的相同数字符号所代表的值不同，每个数字的位置决定了它的值或者位权。

位权与基数的关系是：各进位制中位权的值是基数的若干次幂。因此，用任何一种数制表示的数都可以写成按位权展开的多项式之和。

位权表示法的原则是数字的总个数等于基数；每个数字都要乘以基数的幂次，而该幂次是由每个数所在的位置决定的。排列方式是以小数点为界，整数部分自右向左乘以基数的0次方、1次方、2次方……小数部分自左向右乘以基数的负1次方、负2次方、负3次方……

一般，任意进制数S都可以表示为如下的形式：

其中，p称为任意进制的基数，m、n为正整数。

①十进制数在数字后加字母D（decimal）或不加字母，例如：

634.28D=6×102+3×101+4×100+2×10-1+8×10-2

②二进制数在数字后加字母B（binary），例如：

101.1B=1×22+0×21+1×20+1×2-1

③八进制数在数字后加字母O（octonary），但为了与0区别，可改为Q，例如：

36.2Q=3×81+6×80+2×8-1

④十六进制数在数字后加字母H（hexadecimal），若以A、B、C、D、E或F开头，则需要加前导词0，以便与标识符相区分。例如：

0B78.FH=11×162+7×161+8×160+15×16-1

二进制、十进制、八进制和十六进制的对应关系如表3-1所示。

3.二进制的特点

在计算机中采用二进制的原因如下：

（1）可行性

采用二进制，只有0和1两个状态，需要表示0、1两种状态的电子器件很多，如开关的接通和断开，晶体管的导通和截止、磁元件的正负剩磁、电位电平的低与高等都可表示0、1两个数码。使用二进制，电子器件具有实现的可行性。

（2）简易性

二进制数的运算法则少，运算简单，使计算机运算器的硬件结构大大简化（十进制的乘法九九口诀表有55条公式，而二进制乘法只有4条规则）。

（3）逻辑性

由于二进制0和1正好和逻辑代数的假（False）和真（True）相对应，有逻辑代数的理论基础，用二进制数表示二值逻辑很自然。