再谈中国数学史研究的两次运动

◎ 曲安京

（西北大学科学史高等研究院）

有一天我向吴文俊先生请教，为什么说对曲面或者流形的拓扑分类是拓扑学的基本问题。在问这个问题的时候，我心中其实已经有一个所谓机械论哲学的答案，我也知道以他的姓氏命名的吴类是拓扑分类的一个工具。只见吴先生轻描淡写地答复道，拓扑那么复杂，不分类怎么研究呢？

数学家喜欢给所研究的对象分类，那是肯定的。但是，终归来说，分类不是目的。通过分类，使得我们可以研究最基本单元的结构和性质，而根据还原论，便可能最终搞清楚一个复杂现象的本质。这就是机械论哲学的方法论。

我们对20世纪中国数学史的研究阶段进行分类，将其划分为以“发现”为特征的李俨、钱宝琮运动，以“复原”为特征的吴文俊运动，目的也是期望通过这样的分类，深刻地揭示中国数学史研究中存在的问题，并由此探索将来可能行进的路线。[1]

这样的分类，并不像数学上的分类那样精确，由此而引起一些争议，原本也是在意料之中的事。幸好借着回答孙小淳教授的批评，我就再啰嗦几句。

一、对“两次运动”质疑的主要问题

拙作《中国历法与数学》问世不久，孙小淳教授即撰写评论，字里行间抬举与谬奖不在少数，但也有部分段落提出批评与质疑。在谈到我们将20世纪的中国数学史研究划分为李钱运动与吴运动两种范式的时候，他评论道：

这种提法我认为是值得商榷的。且不说中国数学史将来会怎样发展，过去的中国数学史研究实际上并不存在两次截然分开的李俨、钱宝琮“发现”运动和吴文俊“复原”运动。“发现”和“复原”实际上是不可分裂的。没有“复原”就根本谈不上“发现”。李、钱两人的工作，都是在复原基础上进行的。他们的复原，也不是与吴运动的“复原”根本不同，不是“基本上都是根据现代数学知识对其‘发现’的解释与确证。”如李俨、钱宝琮对内插法的研究、对《授时历》中“弧矢割圆术”的研究，都是相当“历史主义的”复原，即试图从当时已有过的数学思想出发理解与把握。而在“复原”中运用到现代数学的知识或概念也不一定就是“非历史主义的”。有时候只有通过这样的“复原”才会有重要的“发现”。如吴文俊就利用现代数学的术语“机械化数学”来概括中国古代的数学。这一概括不因为用现代数学概念而失去其有效性，而是一个极其精辟的论断。[2]

这是学术界对笔者所提出的“两次运动”首次公开的评论。孙小淳的质疑，可能也代表了一些数学史家的疑问，因此，有必要给予积极的回应。

孙小淳教授说，“‘发现’和‘复原’实际上是不可分裂的。没有‘复原’就根本谈不上‘发现’。”实际上是将“复原”理解为对“发现”的解释，与吴文俊所提倡的“古证复原”是不一样的。

举例来说，你可以很容易地“发现”《九章算术》中有四面体的体积公式，古人称之为“阳马术”，甚至还可以“发现”刘徽有一大段注文“似乎”是在证明这个公式，但是，要“复原”刘徽对这个公式的证明思想，却是很不简单的。再比方说，考古发掘出土了一堆破碎的瓷片，我们可以据此断言，“发现”了这个墓主曾用瓷器陪葬，但是，要“复原”这些瓷器的形制与功用，那却未必一定做得到。

从科学史的研究规律来看，“复原”一定是不会早于“发现”的，因为，没有“发现”，就谈不到“复原”。更确切地说，对于具体的某个单独事件，“复原”肯定不会早于“发现”。但是，对于全体事件的集合，早期的“发现”很多已经或正在“复原”，而后续的“发现”仍然源源不断。所以，此事件的“复原”，可能在彼事件的“发现”之后。因此，在这个集合中，一个个独立的“发现”和“复原”看起来似乎是交织在一起，没有明确的先后界限。在科学史的研究过程中，“发现”和“复原”这种相互纠缠的局面，或许就是人们对李钱运动的“发现”与吴运动的“复原”的分类产生疑问的主要原因。

为了使问题更加清楚，我们可以将上述质疑概括为如下两个问题：

首先，20世纪的中国数学史研究是否存在着以“发现”和“复原”为特征的两次运动？

其次，李钱运动与吴运动是否真的在本质上有所不同？

第二个问题，是在假定确实存在“两个运动”的前提下提出的。它的实质是：当我们以“发现”和“复原”来概括李钱运动和吴运动的特征时，如何解释李钱运动中出现的“复原”研究，这种研究倾向与吴运动的“复原”究竟有什么本质的不同？

这个问题，在吴文俊倡导他的数学史研究范式的时候已经明确提出来了。吴文俊曾多次表示，他是通过学习钱宝琮先生的《中国数学史》等著作进入这个领域的。他之所以从钱宝琮对《周髀算经》日高公式的“复原”入手，来说明他所倡导的研究范式，其目的显然是希望用这个例子，表明他的“复原”与李钱时期的“复原”是不同的。

实际上，吴文俊在这里用很大的篇幅对历史上各种各样的日高公式的“复原”方案进行了评述，他特别指出，在以往的诸多“复原”方案中，“除个别如杨辉、李俨另当别论外，这些证明……都是‘错误’的。”[3]

在1970年代之前，按照历史主义的原则所进行的“复原”研究，虽或偶尔为之，但是并没有被正统的、占主导地位的数学史家所提倡或肯定，即使是数学史界的领军人物，如钱宝琮先生，也没有认真地对待这个问题。因此，吴文俊才在1970年代末期，郑重其事地打出遵循历史主义的原则进行数学史研究的旗帜，他概括为“古证复原”。

毋庸置疑，吴文俊先生试图通过这个例子，来说明在李钱时期流行的许多“复原”研究，从数学史的角度来看，实际上都是“错误”的！

在李钱时期，数学史研究关注的是“发现”历史上的数学成就的意义，因此，对这些成就的数学思想或方法的“复原”，主要是为了“解释”它们在现代科学标准下的价值。所以，在李钱范式中，历史主义的原则，最多只是数学史的“复原”研究的充分条件，但远远不是必要的。遵循历史主义的原则，如李俨对日高公式的“复原”，自然是可以接受的；但是，没有遵循历史主义的原则，如钱宝琮对日高公式的“复原”，也是可以接受的。

但是，在吴范式中，历史主义的原则，则被确定为数学史的“复原”研究的必要条件。如欲进行“复原”研究，就必须遵循历史主义的原则。按照“古证复原”的理念，自觉地进行数学史的“复原”研究，成为绝大多数中国数学史家遵守的规范。

必须注意的是，在李钱时期的“复原”研究，由于其目的旨在揭示或解释古代数学成就的意义或价值，这些“复原”研究都是直接依附在“发现”的后面的。正如孙小淳所说，“‘发现’和‘复原’实际上是不可分裂的。没有‘复原’就根本谈不上‘发现’。”这是接受李钱范式影响的科学史家的基本态度。所以，对于这些数学史家来说，在很大程度上他们所关注的重点并不在“复原”本身，而是通过“复原”，来说明“发现”的价值所在。因此，数学史家对这样的“复原”是否真的反映了古人的数学思想，并不在意。在这个时期，如果人们已经清楚地“发现”了古代数学的价值与意义，严格遵循历史主义的“复原”便会显得无足轻重。

吴文俊对李钱范式中的“复原”研究的批评，正是由此出发的。在吴运动中，数学史的“复原”研究，基本上与“发现”是独立的。“独立”的意思是说，这样的“复原”的目的，已经不再是基于解释业已“发现”的数学成就的价值，而是试图真正搞清楚古人发明或构造这些数学成就的思想方法。在这个时期，数学史家对古代数学思想的“复原”，成为有意识的研究对象，无论对已经“发现”的数学史实的意义与价值是否清楚，“复原”本身，均被赋予了明确的研究价值。

这是李钱运动与吴运动的一个本质的分歧。

二、主流的转移

根据上述分析不难看出，吴文俊先生明确提出了一种不同于李钱范式的数学史研究路线。那么，他所倡导的这种新的研究范式是否得到了中国数学史家的广泛响应呢？这就是我们前面提到的第一个问题，即：20世纪的中国数学史研究是否存在着以“发现”和“复原”为特征的两次运动？为了回答这个问题，就必须首先对所谓的“运动”进行界定。

我们在谈到一个运动形成的时候，是强调了一种主流趋势。比如说，当我们总结古代文明的科学传统的时候，称古希腊传统注重公理化的逻辑演绎体系，而中国传统则强调机械化的程序算法体系。这个说法大约在今日的中国数学史界已然成了“公论”，经常听人提到，很少有人怀疑。但是，从这个论断，并不能得出古希腊数学家如阿基米德等就没有构造过程序化的算法，中国数学家如刘徽等便没有给出过严格的数学证明。

实际上，任何分类，都类似于建立一种数学模型，在建模的过程中，一定是关注主要因素，而忽略那些细枝末节的。例如，在构造数学定理时强调函数的连续或光滑、在总结物理定律时忽略空气的摩擦等等，这些都是对影响模型构建的主要特征的强调、次要因素的忽略，因为客观世界如此复杂，不这样简化问题，反而模糊了事物的本质，让我们的研究无从下手。

如果说可以用主流趋势来对20世纪的中国数学史的研究阶段进行划分，那么，第一个问题的实质在于：是否在20世纪70年代后，按照吴文俊的号召，将中国数学史研究的主流从李钱时期的“发现”，转移到了“古证复原”？换句话说，李钱运动的主流与吴运动的主流是否有本质的不同？

笔者曾经以刘焯的分段二次内插法、[4]《周髀算经》及其赵爽注中的勾股定理为例，[5]来说明这个不同，这样的事例可以说不胜枚举。下面我们以杜石然先生的一个“发现”为例，来进一步说明这两个运动的研究主流的不同。

杜石然先生在数学史研究中有很多重要的贡献，在笔者看来，其中最有名的“发现”，当属载入中学课本的“祖暅公理”。在微积分中有一条非常重要的原理，是由意大利的数学家卡瓦列里（Bonaventura Cavalieri，1598—1647）在研究积分学的时候提出来的，卡瓦列里原理的大意是：

对于任意给定的两个立体，若在等高处的截面面积处处相等，则他们的体积相等。

杜石然先生发现，[6]在《九章算术》的注释中，祖冲之的儿子祖暅，在研究球的体积公式的时候说了这样一段话：

缘幂势既同，则积不容异。

“幂”就是面积；如果将前一句理解为“等高处的面积相同”，那祖暅这句话简直就可以看作是卡瓦列里原理的中文翻译。这应该是一项毫无疑义的“发现”，在李钱的时代，绝对不会对此提出任何的疑问。因为，从解释这项发现的数学意义的角度来看，已经没有任何问题了，没有必要做任何进一步的“复原”研究。

但是，在吴文俊时代，偏偏就有人对这个“发现”提出质疑，认为杜石然将“势”理解为“高”是不妥的。因为，在古代数学的语境中，这个术语从来不会作“高”解，“势”的真实的意义，使表示“关系”。[7][8]这就是吴运动中的“复原”。

在不熟悉1980年代以来中国数学史界的研究范式的学者们看来，对于这样的研究，也许会颇不以为然。因为，这样的争论，对“祖暅公理”这个“发现”的实质来说，似乎没有任何的改变。但是，对于成长在那个年代的中国数学史家来说，做出这样的文章，却是十分自然的。而这样的文章如果放在了李钱时代，不用说发表了，甚至这样想问题，也会被认为是一件奇怪的事。选择这个事例，仅仅是为了清楚地说明吴运动与李钱运动之主流的不同，其实吴运动中的大量“复原”研究要更为复杂和深刻。

这就是两个时代的差异。

在李钱运动中，数学史家更多的是关注在原始文献中“发现”古人做出的数学成就，这是那个时代的主流。而在吴运动中，人们更多的是对于那些已经“发现”了的数学成就之思想来源的“复原”。这便是李钱运动和吴运动的主流的本质区别。

由于吴文俊先生明确打出了“复原”的旗号，对李钱时期的“发现”范式进行修正，同时在他的号召下，出现了一大批的数学史家，以“复原”历史上的数学思想为己任，从1970年代末以来，这批学者形成了中国数学史研究的主要力量。因此，在李钱运动之后，吴运动的兴起与存在，应该是不争的事实。

三、分类的目的

李俨（1892—1963）与钱宝琮（1892—1974）是中国科学史学科的两位创立者，我们曾经以他们两个的名字，命名20世纪中国数学史研究第一个运动的特点，称之为李钱范式。在谈到他们二人时，李约瑟这样评论道：

在中国数学史家当中，李俨和钱宝琮是特别杰出的两位。后者的著作数量虽然不及前者，但具有同样高的质量。[9]

应该说，李约瑟的评论是中肯的。实际上，作为中国数学史研究第一次运动的两位领袖人物，他们的研究风格也具有很不相同的特点。

李俨先生素以搜集和占有史料闻名，他的中算史搜藏之丰富，无人可比其右。在这个方面，他有一位很好的传人，那就是李迪先生。历来喜欢发掘新史料的学者，多是博览群书，若论对史料的熟悉，严敦杰先生（1917—1988）可以说是青出于蓝。由于他们特别注重对新史料的发掘和整理，因此，在他们的研究成果中，包含了很多对于初次发现的历史上的科学成就的解释，特别是对于一些不太常见的史籍中的科学资料的发掘和钩沉。笔者在与李迪先生的接触过程中，深刻地体验了一位重视史料的学者的勤奋、毅力、细致，对其经年累月坚持不懈的积累，佩服无已。许多学自然科学出身的学者，都下不了那样的功夫，也缺少这方面的锻炼。

钱宝琮先生并不以占有新史料见长，他的学术研究基本上都是建立在习见的史料上的，比如《算经十书》、古代历法等等。他所接触的基本上是业已公开的史料，面对人人熟悉的原始文献，却能读出出人意料的结果来，体现了别有一番的功力。钱宝琮先生论述中的颠扑不破的文字，常常令人赞叹。他的研究风格，也有很多的继承者。他们的精彩发现，不少都成为数学史研究的经典，例如杜石然的“祖暅公理”、李继闵的“整勾股数公式”等等。通常说来，这类学者在他们的学术生涯中，对新史料的发掘贡献甚少，注重的是通过算理分析，阐发他们所掌握的史料的数学意义，而这些史料本身并不是别人不知道的。面对其他人“视而不见”的文字，他们却能通过一种敏锐的目光、有效的方式读出名堂来，这便是此类学者的过人之处。而具备这样的能力，却是需要的另一门功夫。

我们今天看到的李钱二老的著作全集，在很大程度上体现了这样两种不同的研究风格。[10]这两种风格的学者，在20世纪的中国天算史的研究中，都做出了各自深刻而重要的贡献。

对研究风格的这种粗略的划分，一定会有读者不以为然。从李俨的著作中，找到运用算理分析的事例；又从钱宝琮的著作中，看到发现新史料的证据。这肯定是没有问题的。但是，这却与我们的分类初衷是相悖的，我们的意思并不是说钱宝琮不在乎对新史料的发掘；也不是说李俨不善于对古代的天算成果进行算理分析。而是说，从主流的角度来看，他们的研究风格是呈现了上述特点。

这样的划分，原本也没有抬高一方，贬抑另一方的意思。实际上，这两个方面的工作，都是十分重要的。傅斯年有句名言：“史学就是史料学”，由此看来，善于占有和发掘史料的学者更擅胜场。但是，从重视史识的角度来看，能够有效地应用史料、阐发史料的人的工作也许更有意思一些。另外，在很大程度上，后人的研究，都是仰仗着前人的开辟草莱之功。没有李俨等学者对传统天算史料的发掘整理，我们也就很难接触到那些珍贵的东西，在史料基础上的研究也就无从谈起了。而没有对这些史料的深入分析、提炼，那它所蕴含的价值，就无法真切地显现出来。

分类，是可能导致争论的。这主要是因为，在一些读者的感觉中，任何分类，都可能是排座次，即通过分类，无形中给研究对象确定了“高下”的差别。因此，要消弭这种无谓的争论，首先要消除读者对这种“高下”之分的误解。对于历史学家来说，分析出那些历史上的重要人物、重大事件的特点，并由此进行适当的分类，不失为一种有效的研究方式。这就是我们即使面临争论，仍然要进行分类的原因。

分类的目的，是为了更好地看清事情的本质，或者，更方便我们来描述不同学者的研究风格。就如同我们将20世纪的中国数学史研究划分为李钱运动与吴运动，也是为了更好地看清楚我们所走过的道路。

回到我们的正题上，我们将20世纪的中国数学史研究划分为李钱运动的“有什么”、吴运动的“如何做”，并预测新运动的主流应该是“为什么”，并不意味着用新的研究范式对旧的范式的否定。我们曾经说过，没有对历史上的数学的“发现”，就谈不上对这些数学成就的“复原”。不知道历史上有些什么样的数学，以及这些数学是如何做出来的，就无从探讨为什么要做这些数学。而探索和发掘历史上“有什么”和“如何做”数学，永远是数学史研究的两个基本的主题，只要历史在发展，这些研究就在继续。因此，吴运动的兴起，是对李钱范式的扩充，而不是否定或排斥。这是历史进步的自然的表现，体现了学术研究的一个重要的特点，就是“层积”性质。

陕西有条河，名曰泾河。《诗经》有云：泾以渭浊，意思是，泾水汇入渭河后，因渭水清，而显出泾水浊。泾渭分明，说的就是这个事情。泾水汇入渭河，开始时界限是分明的，随着河水的流淌，终要融为一体，到那时，便也就清浊难辨了。不过，此时的渭水，已经根本没有原来那么清明了。

历史也是这样的。当一股新的思潮涌入学界的时候，新老范式的差别是容易分得清楚的。但随着时间的流逝，旧的范式被扩充到新的范式中来，这种差别会变得越来越模糊，以至于置身其中，已经完全感觉不到这范式曾经有过改变。这是很不应该的。

有些研究思想史的朋友们认为，中国向来没有科学编史学的传统。尽管有一部分数学史家对讨论这方面话题的意义似乎不以为然，仍然希望上面这些文字或许对于将来探讨20世纪的中国科学史编史学起到一点作用。

参考文献

[1] 曲安京.中国数学史研究范式的转换[J].中国科技史杂志，2005，26（1）：50-58.

[2] 孙小淳.数学视野中的中国历法——评曲安京著《中国历法与数学》[J].自然科学史研究，2006，25（1）：88.

[3] 吴文俊.中国古代测望之学重差理论评介兼评数学史研究中的某些方法问题[M]//科技史文集（8）.上海：上海科学技术出版社，1982:10-30.

[4] Qu Anjing.The Third Approach to the History of Mathematics in China [C]// Proceedings of the International Congress of Mathematicians 2002，vol.Ⅲ，Beijing：Higher Education Press，2002:947-958.

[5] 曲安京.中国历法与数学[M].北京：科学出版社，2005:6-11.

[6] 杜石然.祖暅之公理[J].数学通报，1954，3:9-11.

[7] 白尚恕.《九章算术》中“势”字条析[M]//吴文俊.中国数学史论文集（二）.济南：山东教育出版社，1986:39-47.

[8] 刘洁民.“势”的含义与刘祖原理[J].北京师范大学学报（自然科学版），1988，24（1）：84-88.

[9] Joseph Needham.Science and Civilisation [J].China，vol.3.Cambridge：Cambridge University Press，1959:2.

[10] 郭书春，刘钝编.李俨钱宝琮科学史全集（全10集）[M].沈阳：辽宁教育出版社，1998.

（此文发表于《自然辩证法通讯》2006年第5期）