3.4 优美和式与平方式
优美和式是一个创新填数趣题，其优美体现在所涉约定数字在和式中不重复，是和谐美的具体体现。
和式分为3项和式（左边两项求和）和引申的4项和式（左边3项求和）两类，益智训练，各具特色。
3.4.1 9数字优美和式
因9数字优美和式涉及1~9这9个正整数，不涉及数字0，变化较为简单。
试把1，2，…，9这9个数字分别填入以下和式中的9个□中，要求1~9这9个数字在式中出现一次且只出现一次，使得和式成立。
【问题1】 试求和式（1）中的和（即式右3位数）的最大值。
【思考】 从进位次数确定式右的数字和入手。
注意到1~9这9个数字之和为45。
（1）确定进位次数。
式左求和时每一次进位，所进的1相当于10，求和结果的数字和会减少9。
例如，数式218＋439＝657中，式右的数字和为18，式左的数字和为27，式右比式左的数字和要小9，就是求和运算的一次进位8＋9＝17造成的。
首先确定：和式（1）左边求和过程中有一次且只有一次进位。
事实上，假若左边求和时没有进位，则式左的6个数字之和与式右的3个数字之和相等，即都为9个数字之和45的一半（非整数），矛盾。
假若左边求和有2次进位，使数字和减小了2×9＝18，因而式右的3个数字之和为45-2×9＝27的一半（非整数），矛盾。
假若式左边求和有3次进位，则式右作为求和结果必为4位数，矛盾。
可见，和式（1）左边求和过程中有一次且只有一次进位。
（2）确定式右3位数的数字和。
和式左边求和有一次进位，因而和式右边的3个数字之和为（45-9）/2＝18。
（3）探索最大值。
根据式右3位数的3个互不相同的数字之和为18，其最大值的高位（即百位）数字尽可能大，选择填9；十位数字也尽可能大，可填8；相应个位数字为1。
对于所填和981，需寻找相应的数字1~9没有重复数字的和式（可能存在多个），例如和式235＋746＝981。
因而得和式（1）右边和的最大值为981。
【编程拓展】
和式（1）右边和的最小值为多大？和式（1）共有多少种不同的填法？以下应用程序设计来探求这些问题。
为避免式左两个加数交换个位数字，或交换十位数字，或交换百位数字造成多种重复，约定式左两个加数的前一个3位数的各位数字分别小于后一个3位数的相应数字。
同时，为了便于观察右边和的最小值与最大值，约定式右边的和按从小到大排列，且要求每一个和值只输出一个和式。
1. 设计要点
设3个3位数为a，b，c，和式为a＋b＝c。
（1）设置循环。
建立和数c循环（315~987），这里循环初值315是百位数为3（因左边a，b都有较小的百位数字）且为9倍数的最小3位数；循环终值为没有重复数字的最大3位数987；循环步长设为9以提高搜索效率。
同时建立加数a循环（123~c/2），因约定a＜b，因而循环终止值为c/2。另一加数显然为b＝c-a。
（2）分离数字排除数字重复。
应用整除／与求余%运算分解各数的各个数字。为了检测是否存在重复数字，设置g数组统计a，b，c所分解的9个数字的频数，应用2重循环实施比较，若存在重复数字，则标注t＝1返回。
（3）条件输出。
在输出和式时为确保式左前一个3位数的各位数字分别小于后一个3位数的相应数字，在输出条件中增加条件限制
a/100<b/100&&a%10<b%10&&(a/10)%10<(b/10)%10
特别地，每输出一个和式，即行退出内循环，确保一个和值c只输出一个和式。
2. 程序设计
3. 程序运行结果与说明
以上运行结果输出31个优美和式，这31个和式靠人工推算可能很难完整。
同时看出，和式（1）右边和的最小值为459，最大值为981，与上面所解相同。
【引申】 把和式（1）左边的2项分解为3项，即为以下的4项和式。
和式（2）涉及4项a＋b＋c＝d，在以上程序基础上，增加一重循环，各参数进行相应变通，具体修改请自行完成。
优美和式（2）的解如下：
由以上运行结果输出的13个和式看出，和式（2）右边和的最大值为846，最小值为234。
3.4.2 10数字优美和式
10数字优美和式涉及0~9这10个数字，因涉及数字0，因而其变化较为复杂。
把0，1，2，…，9这10个数字分别填入以下和式中的10个□中，要求0~9这10个数字在式中出现一次且只出现一次（约定0不能在各个整数的首位），使得和式成立。
【问题2】 试求和式（3）中和（即式右4位数）的最大值。
【思考】 从进位次数确定式右4位数的数字和入手。
（1）确定式（3）右边4位数的数字和。
左边求和至少有一次进位（否则右边和不可能为4位）。
同时，左边求和过程中不会出现2次进位。假设出现2次进位，注意到每一次进位数字和会减少9，右边4位数的数字和为（45-2×9）/2，非整数，矛盾。
当左边求和有一次进位时，右边数字和为（45-9）/2＝18。
当左边求和有3次进位时，右边数字和为（45-3×9）/2＝9。
（2）式右边的4个数字中必有一个0。
当式右边数字和为9，或为18时，数字0必出现在式右边的4位数之中。
（3）右边数字和为9时探索最大值。
当右边数字和为9时，注意到右边4位数的高位只能为1，还有一个数字0，因而4个数字中的最大数字只可能为6（假设最大数字为7，造成两个数字1重复；假设最大数字为8，造成两个数字0重复）。
设4个数字中的最大数字为6，则4位数最大值可能为1620，1602。
注意到最大值若为1620，由于0出现在个位，左边没有适当数字匹配，不能成为和式。
设右边4位数最大值为1602，存在相应的和式：743＋859＝1602。
结论：和式右边和的最大值为1602。
【编程拓展】
和式（3）右边和的最小值为多大？和式（3）共有多少种不同的填法？以下借助程序设计探求这些问题。
为避免式左两个加数交换个位数字，或交换十位数字，或交换百位数字造成重复，约定式左两个加数的前一个3位数其各位数字分别小于后一个3位数的相应数字。
同时，为了便于观察右边和的最小与最大值，约定右边和按从小到大排列，且要求每一个和值只输出一个和式。
（1）设计要点。
设3个3位数为a，b，c，即和式为a＋b＝c。
建立和数c循环（1026~1987），这里1026是被9整除且没有重复数字的最小4位数，循环步长设为9，以提高搜索效率。
同时建立加数a循环（102~c/2），这里102是没有重复数字的最小3位数，约定a＜b，因而循环终止值为c/2。另一加数显然为b＝c-a。
应用整除／与求余%运算分解各数的各个数字。为了检测是否存在重复数字，设置g数组统计所分解的10个数字的频数，应用2重循环实施比较。
特别地，每输出一个和式，即行退出内循环，确保一个和值只输出一个和式。
（2）程序设计。
（3）程序运行结果与说明。
由以上运行结果输出的10个和式看出，和式（3）右边和的最小值为1026，最大值为1602，与上面所解结论相同。
【引申】 把和式（3）左边的2项分解为3项，即为以下的4项和式。
和式（4）涉及4项a＋b＋c＝d，请在以上程序基础上，增加一重循环，各参数作相应变通，具体修改请自行完成。
优美和式（4）的解如下：
1:3+45+978=1026
2:2+46+987=1035
3:2+64+987=1053
4:3+74+985=1062
共以上4个10数字4项和式。
由以上运行结果输出的4个和式看出，和式（4）右边和的最大值为1062，最小值为1026。
3.4.3 优美平方式
优美平方式：如果数字1~9不重复填入式（5）的9个□中使等式成立，则该等式称为优美平方式。
式（5）的左边为一个6位数，右边是一个3位数的平方。
编程构建所有优美平方式。
1. 设计要点
设置f数组存储式中各个数字的频数，便于比较是否存在重复数字。
（1）枚举循环设置。
若整数a为4位，则a2的位数达7位，超出范围。因而整数a只能为3位。
通过循环计算最小的3位整数t，设置循环a（t＋1~10∗t-1）枚举3位整数。
计算d＝a∗a，若d的位数不足6位，则a与d的位数之和小于9，因而导致数字1~9填不下，则返回。
（2）分离整数数字并统计频数。
应用求余与取整运算分离a，d的各个数字。
在数组元素f[k]（k：0~9）清零后，通过f[k]＋＋统计各数字的频数。
（3）检测重复数字。
检测整数a，d的数字频数f[k]，若f[k]≠1（k：1~9），则返回。
若f[k]＝1（k：1~9），满足优美要求，则输出平方式。
2. 程序设计
3. 程序运行示例与说明
1:321489=567^2
2:729316=854^2
共以上2个9数字优美平方式。
我们看到，输出的两个优美平方式中的9个数字为1~9不重复出现。
能否加入数字0构建10数字优美平方式呢？回答是否定的。因为3位整数a的平方数最多为6位，若a增加为4位，则d＝a2至少为7位，超出10位的数字范围。