2.3　有趣的对称素数

对称素数是素数集中的一个构形优美的子集，展现出素数对称美。

对称素数：一个整数m的逆序数就是m本身，则称m为对称数。一个整数m如果是对称数又是素数，则称m为对称素数。

例如，101，131，929等都是3位对称素数，9 989 899是7位对称素数。这些左右对称素数顺读与逆读是相同的，因此有些资料称为回文素数。

1. 偶数位对称素数探讨

是否存在偶数位对称整数？回答不能一概而论，须区分其具体位数来回答。

【命题】　不存在位数为偶数且大于2位的对称素数。

【证明】　不妨设位数大于2的偶数位对称整数m＝ab…cddc…ba，数中两个数字a所在的位置序数为一奇一偶，两个数字b的位置序数也是一奇一偶……直到紧邻中心的两个数字d的位置序数还是一奇一偶。

显然m奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和相等，都等于a＋b＋…＋c＋d。

注意到1除以11余1，10除以11余10，100除以11余1，1000除以11余10……即整数10n除以11，当n为奇数时，余数为1；当n为偶数时，余数为10。因此可得

（偶数位对称数m除以11的余数）＝（各奇数位数字和）＋（各偶数位数字和）×10＝（各偶数位数字和）×11＋（各奇数位数字和－各偶数位数字和）＝（各偶数位数字和）×11

可见位数大于2的偶数位对称整数m为11的倍数，不可能为素数。

之所以加“位数大于2”的约束，因为位数等于2的对称整数11为素数。也就是说，除了11这个唯一偶数位对称素数之外，不存在其他偶数位对称素数。

顺便指出，以上证明了一个更广泛的命题：任何一个整数能被11整除，当且仅当其奇数位上数字和与偶数位上数字和之差能被11整除。

根据这一命题，若某一大于2位的整数的奇数位上数字和与偶数位上数字和之差能被11整除，则该数不是素数。

2. 编程拓展

试统计指定奇数n（3≤n≤9）位对称素数的个数，并输出其中最大的对称素数。

（1）设计要点。

对于每一个n位奇数m通过以下两道检测。

应用试商判别法检测整数m是否为素数，如果不是素数，则返回；

如果m是素数，则分离整数m的n个数字存储于数组h[j]（j＝1~n），若j＝1~n/2区间中的某一个j出现h[j]！＝h[n-j＋1]，整数m的数字非对称，则返回。

凡通过以上两道检测的则为n位对称素数，应用s统计个数，并记录其中的最大数。

（2）程序设计。

（3）程序运行示例与变通。

     请输入位数n(3≤n≤9):7
     7位对称素数共有668个。
     其中最大的对称素数为:9989899

变通：如果要显示其中所有对称素数，程序如何修改？

如果要输出n位对称素数中最大的3个素数，程序如何修改？