§5.3 换元积分法

在§5.2中，我们介绍了利用不定积分的性质和基本积分公式计算不定积分的方法，但能用这种方法计算的不定积分是十分有限的.例如，不定积分∫cos2xdx，∫e2xdx，，等按照上节的方法就不能求出结果.因此，我们有必要进一步研究被积函数为不同结构的不定积分的计算方法.本节介绍的换元积分法，主要是求被积函数为复合函数的积分.其基本思想是，通过求导数的链式法则，适当作变量替换（换元），将被积函数化为能直接用基本积分公式计算或经过恒等变形后，进一步利用不定积分的性质或基本积分公式计算出不定积分.根据复合函数的复合结构不同，换元积分法通常分为第一类换元积分法与第二类换元积分法.

一、第一类换元积分法（凑微分法）

欲求不定积分∫2cos2xdx，我们可能联想到基本积分公式∫cosudu=sinu+C，推断是否会有等式∫2cos2xdx=2sin2x+C成立.答案是否定的，原因在于基本积分公式是对于基本初等函数，而cos2x是复合函数.下面用复合函数求导数的法则及找原函数的基本思想来求出∫2cos2xdx的正确答案.函数2cos2x看起来像是对函数sin2x根据复合函数求导得到的结果，其中“内部”函数为2x，作为一个因子，其导数是2，因此猜想sin2x是2cos2x的一个原函数.事实上求导验证如下：

因为

(sin2x)＇=cos2x·2

所以由原函数定义sin2x是2cos2x的一个原函数.

于是得正确解答：∫2cos2xdx=sin2x+C（←不定积分定义）.

下面将上述结果用换元法解答如下：

解：设2x=u，两端微分d（2x）=du，则2dx=du代入原积分表达式，

于是

求完不定积分的结果是中间变量u的表达式，最后一步，将结果变量换成原积分变量x表达.即将2x=u代入上式得

∫2cos2xdx=sin2x+C

用换元法求解，一般有如下定理：

定理5.1 设函数f（u）具有原函数F（u），u=φ（x）且u′=φ′（x）是连续函数，则F［φ（x）］是f［φ（x）］φ′（x）的原函数，并有第一类换元积分公式：

证明思路：由不定积分定义，证明等式右边的导数等于左边被积函数f［φ（x）］φ′（x）即可.

证：因为F（u）是f（u）的一个原函数，u=φ（x）可导，而复合函数F［φ（x）］可看成是由函数f（u）及u=φ（x）复合而成，所以由复合函数的微分，则{F［φ（x）］}′=F′［φ（x）］·φ′（x），得：

即

{F［φ(x)］}′=f［φ(x)］·φ′(x)

由原函数的定义可知F［φ（x）］是f［φ（x）］·φ′（x）的一个原函数，故有

∫f［φ(x)］φ′(x)dx=F［φ(x)］+C

定理得证.

利用第一类换元积分法（凑微分法）计算积分的过程可表示如下：

此等式称为不定积分第一类换元积分公式.当所求不定积分的被积函数以复合函数的形式出现时，可以用它来求.如果能把被积表达式f（x）dx变形为f［φ（x）］φ′（x）dx的形式，把φ′（x）dx凑成微分dφ（x），则通过变量替换u=φ（x），可把原积分∫f［φ（x）］φ′（x）dx化为∫f［φ（x）］dφ（x）=∫f（u）du.只要∫f（u）du容易积出，或者直接用基本积分公式求出∫f（u）du=F（u）+C，然后在积分结果中将u=φ（x）代入F（u），还原到原积分变量x，便可得到原不定积分的结果.由于中间出现将φ′（x）dx凑成微分d［φ（x）］=du的过程，所以第一类换元积分法也称为“凑微分法”.

注：（1）在应用（5.3.1）式时通常要联想基本积分公式，将所给式子中的某部分适当恒等变形凑成微分后，通过变量替换达到能用基本积分公式的目的.

（2）（5.3.1）式中如何选择u=φ（x）是关键，对于不易观察的情形，联想基本公式，可从被积函数中拿出某个因式φ（x）（一般是较复杂的部分）求微分，若这个微分φ′（x）dx恰是与剩下其他部分（视结构）相差一个常数，则通过适当恒等变形处理常数，此时可将这个因式作为φ（x）.

（3）要做（2），除了要熟悉一些典型的例子外，还应熟练地掌握函数的微分运算.

下面举例说明第一类换元积分法的具体做法.

例1 求.

解题分析：想到基本公式.

将被积表达式凑微分（2x+1）①，因为d（2x+1）=2dx，令2x+1=φ（x），代入①右端得：②，又令φ（x）=u代入②右端得：，此时容易积出.

解：方法一

由方法一分析可得方法二.

方法二 令2x+1=u，两端微分d（2x+1）=du⇒2dx=du，则.将结果代入原不定积分，

当对变量代换比较熟悉后，运算过程就可以写得简单些，可略去中间的换元u=φ（x）、回代变量步骤，只要边算边心中默记，直接凑微分然后积分即可，如方法三.

其中直接用2x+1凑成完全微分的形式d（2x+1），变化成为剩下部分dx的微分表达式，把方法二所设变量代换的步骤边默记在心中边进行演算，由此得一般规律：

例2 求.

解题分析：想到基本公式∫uadu作换元.

解：方法一 令3x-1=u，两端微分d（3x-1）=du，得.

于是

法二（熟悉后）

例3 求∫（ax+b）10dx（a，b，c为常数，a≠0）.

解：方法一 令ax+b=u，两端微分d（ax+b）=du，得

例4 求∫xex2dx.

解题分析：想到基本公式∫eudu.

解：方法一 令x2=u 两端微分d（x2）=du，得2xdx=du，即

于是（←将u=x2回代成x表示）

方法二（熟悉后）

例5 求.

解：方法一 令两端微分得 d（a2-x2）=du2，-2xdx=2udu，xdx=-udu

于是

方法二（熟悉后）

例6 求.

解题分析：因为被积函数结构中lnx相对较复杂，若设lnx=u，则=du，从而=∫udu，联想到基本公式∫uαdu，问题就解决了.

解：方法一 因为，

所以

方法二（熟悉后）

由此得一般规律

例7 求.

解：因为

于是

注：a-x凑微分为d（a-x）=-dx；a+x凑微分为d（a+x）=dx.

例8 求∫sinxcosxdx.

解：方法一

一般规律 ∫cosxf（sinx）dx=∫f（sinx）dsinx

方法二

一般规律 ∫sinxf（cosx）dx=-∫f（cosx）dcosx

方法三

注：求同一积分，可以有几种不同的解法，其结果在形式上可能不同，但实际上最多只是积分常数有所区别.

例9 求.

解：方法一 因为sinx与cosx的微分关系，令cosx=u，两端微分得dcosx=du，-sinxdx=du，sinxdx=-du

将cosx=u，sinxdx=-du代入原积分式得

方法二（熟悉后）

例10 求∫sin3xcos2xdx.

一般规律，对于形如∫sinmxcosnxdx的积分，其中m和n为非负整数，可用以下代换求：

（1）当m是奇数时，令cosx=u，即sinxdx=-d（cosx）；

（2）当n是奇数时，令sinx=u，即cosxdx=d（sinx）；

（3）当m和n都是偶数时，用积化和差公式化成两者之和.

例11 求∫cotxdx.

解：因为cotx=，

所以

例12 求∫secxdx.

利用例7结论得

即

类似可得

注：通常对于三角函数积分中∫tanxdx，∫cotxdx，∫secxdx，∫cscxdx，先将其转化成被积函数是sinx，cosx的表达形式后再寻求下一步的解法.

例10、例11是基本初等函数的积分，其积分结果（5.3.2）、（5.3.3）、（5.3.4）与（5.3.5）可当公式使用.

注：在运用第一类换元积分法求有关三角函数的不定积分时，常会用到下列一些三角恒等式：同角的三角式；半角与倍角和降幂公式、积化和差公式（见书后附录）.

例13 求∫sin2xdx.

解：被积函数单独是sinx（或cosx）的偶次方幂的积分一般应先降幂.

例14 求∫cos3xdx.

*例15 求∫cos3xcos2xdx.

解题分析：本题的特点是被积函数为两个不同角的三角函数相乘的积分.其方法是用积化和差公式：，把被积函数分解成两个三角函数的代数和，然后再积分.

解：因为

于是

一般地，当被积函数的形式为sinmxsinnx，sinmxcosnx或cosmxcosnx时，其中m和n是正数时，先利用积化和差公式把被积函数转换成两个三角函数之和或差的形式，再考虑下一步.

例16 求.

从上面大量的例题，我们应该体会到，第一类换元积分法计算的关键是把被积表达式凑成两部分，一部分为dφ（x），另一部分为φ（x）的函数f［φ（x）］，且f［φ（x）］的原函数易于求得.一般情况下，在对变量替换比较熟练后，运算过程就可写得简单些，可省略“令φ（x）=u”这一步，而直接凑微分.如以上例子中“熟悉后”的方法，就是直接凑微分求得结果.但利用第一类换元积分公式（5.3.1）来求不定积分，通常需要一定的技巧，知道如何适当地选择变量代换u=φ（x）比较灵活，要达到这一步需要掌握一些常用微分式，大量练习，用心体会，才能熟能生巧地掌握方法.下面是根据微分基本公式得到在第一类换元积分法中部分常用的变形微分式，以供参考.

熟练地掌握表5-3-1中函数的微分运算对于“凑微分”，提高求不定积分的运算速度是很有帮助的.如“熟悉后”的方法中例1、2、3就分别用到表中（1），例4、5用到（4），例6用到（3），例8、9、10、11、12、13、14用到（9）、（10）变形得到欲换元的微分形式.更进一步，可以得到第一类换元积分法的部分常见凑微分换元类型，见表5-3-2.

*例17 求.

解：（←表5-3-2类型10）

二、第二类换元积分法

如果对于某些不定积分，如等等，不能直接应用基本积分表计算，也不能“凑微分”用第一类换元积分法积分得出结果.下面的定理给出另外一种换元积分法——第二类换元积分法.第二类换元积分法的基本思想也是换元.如果所给不定积分能够找到一个适当的变量替换，要求所替换的新变量与原变量之间存在反函数关系，那么变量替换后，可将原不定积分化为新变量作为积分变量的不定积分，此时换元后得到的不定积分是容易进一步求得结果的.

一般地，有下列定理：

定理5.2 如果x=φ（t）是单调可微的函数，而且φ′（t）≠0，F（t）是f［φ（t）］φ′（t）的一个原函数，则有

其中，t=φ-1（x）是x=φ（t）的反函数.

证明分析：由不定积分定义证明F［φ-1（x）］是f（x）的一个原函数，即证明等式F［φ-1（x）］′=f（x）成立.

证：因为F（t）是f［φ（t）］φ′（t）的一个原函数，所以F′（t）=f［φ（t）］φ′（t）.

又t=φ-1（x）是x=φ（t）的反函数，则

由复合函数的求导法则及反函数的求导公式，得

即F［φ-1（x）］是f（x）的一个原函数，从而公式（5.3.6）成立.

此定理表明，对于积分∫f（x）dx，通过变量替换x=φ（t），可化为∫f［φ（t）］·φ′（t）dt.如果后者对新变量t的积分容易积出，那么积分后再把t换回x=φ（t）的反函数φ-1（x）即可.

用第二类换元积分法计算不定积分的过程可表示如下：

注：（5.3.6）式中如何选择设x=φ（t）是关键，一般是选择较复杂的部分，然后根据所设式子，将所有原变量x全部化为关于新变量t的表达式，包括dx=φ′（t）dt.另外，在具体做题时不必写出等式上面的说明.

例18 求.

解题分析：作变量代换，把被积函数的根号去掉，将无理函数化为有理函数的积分.

解：令，即x=t2，则dx=d（t2）=2tdt

例19 求.

解：令，x=t3-1，dx=3t2dt，得

例20 求.

解题分析：本题的特点是被积函数中含有两种不同的根式与，因此选择代换根号的根指数为2与3的最小公倍数6，这样才能同时消去这两个根式，从而将原积分化为有理函数的积分.

解：令=t，则x=t6，dx=6t5dt，，于是

注：（1）当被积函数中含有根式时，一般可作变量代换消去根式，将被积函数化成有理函数，然后求有理函数的积分，这种代换常称为有理代换.

（2）如果被积函数中含有多个不同根指数的根式，例如，则所作的代换为，其中n为根指数ni中的最小公倍数（i=1，2，…，k），从而将被积函数化成t的有理函数.

我们把被积函数中含有一次式的根式，用第二类换元积分法积分时常用变量替换，总结如下：

（1）若被积函数含有根式，则令.

（2）若被积函数含有根式和，则令，其中n为n1，n2的最小公倍数.

（3）若被积函数含有根式，则令t=.

三、三角代换

必须指出，有些根式用有理代换不能达到去掉根式的目的，即使能消去根式也不容易积分.例如求，用换元，令=t后也达不到去根号进一步求得积分结果的目的.解决的办法是，使用三角式代换来消去二次根式，可使问题进一步得到解决，这种方法称为三角代换法.三角代换法是换元积分法中用来消去被积函数中含有的二次根式等的有效方法之一.

使用三角代换时，经常会使用到同角三角函数关系的公式：sin2α+cos2α=1，tan2α+1=sec2α，1+cot2α=csc2α等等.

一般地，使用三角代换消去根式时，所作的三角代换的一般规律如下：

（1）当被积函数中含有二次式的根式时，令，则

（2）当被积函数中含有二次式的根式时，令，则

（3）当被积函数中含有二次式的根式时，令，则

要注意的是，进行三角换元得到的积分结果都是关于新积分变量t的三角函数式，结果要用原式积分变量x还原，这一步虽然可以引进三角函数式或反三角函数的运算，但这一步不是最简的，这里我们利用直角三角形的边角关系来确定有关三角函数的关系，进行变量还原更为简便.

例21 求（a>0）.

解：令x=，由x=asint两端微分，则dx=acostdt，

下面将积分变量t换为原积分变量x.

为了把sint和cost换成x的函数，可根据所令式子x=asint得sin，作一辅助直角三角形，如图5-3-1所示，利用边角关系来实现替换.

由所令及图5-3-1可得

将以上结果代入（1）式得

由例21可得用三角代换法求不定积分的参考步骤如下：

第一步，令原积分变量换为新变量的三角表达式；

第二步，将被积表达式换为新变量（如例21中为t）的表达式，此时被积表达式中通常含有三角函数式；

第三步，求出换元后得到的不定积分（如例21中求∫a2cos2tdt）；

第四步，将积分结果换为原积分变量的形式（通常利用直角三角形的边角关系）.

例22 求.

解：（第一步）令，由x=atant两端微分，则dx=asec2tdt，

（第二、三步）所以

（第四步）将积分变量t换为x.

根据作一辅助直角三角形，如图5-3-2所示，由所令及图5-3-2可得

代入（2）式得

例23 求.

解：令x=asec，由x=asect两端微分，则dx=asect·tantdt，

所以.

下面将积分变量t换为x.

由x=asect即，作一辅助直角三角形（图5-3-3）得

回代sect，tant，换为自变量为x得

综合例22和例23，得到

在上面的例子中，有些积分，如例21、例22及例23的结果（5.3.7）、（5.3.8），在今后的运算中经常会遇到，可以作为公式使用，会简化某些步骤.

*例24 计算.

解题分析：对于被积函数中含有一般的二次式的根式的积分，一般不能直接作代换，而应将ax2+bx+c配平方，变换归结为含a2-x2，x2±a2的积分，再用第二类换元积分法求解.

解：由于，设t=4x+1，则，

于是

根据例23中的公式（5.3.8），得

再将t=4x+1代回，得到原积分

不难看出，第二类换元积分法是把第一类换元积分法反过来使用，只是在不同情况下同一公式的两种使用方式.

由第一类换元积分法的过程：

可知此方法是先分解被积函数，凑微分，再作换元后求不定积分.这时∫f（u）du比∫f［φ（x）］φ′（x）dx容易计算.

由第二类换元积分法的过程：

可知此方法是先作换元，化简后求不定积分.这时∫f［φ（t）］φ′（t）dt比∫f（x）dx容易计算.

第二类换元积分法与第一类换元积分法的区别在于第二类换元积分法不可以凑微分.通常用第一类换元积分法的积分，也可用第二类换元积分法求得.

*倒代换：

有些不定积分，当被积函数中分母的次数大大高于分子的次数，且分子、分母均为“因式”时，可作倒数变换，以求化简.

例25 求.

解：令，则，于是

例26 求.

解：方法一（三角代换）令x=sect，则dx=sect·tantdt，于是

方法二（凑微分）

方法三（倒代换）令x=，则，于是

方法四（第二类换元积分法）令，则x2=1+t2，xdx=tdt，于是

5.3 练习题

1.用换元积分法求下列不定积分（第一类换元积分法）：

(1)

（2）∫（ax+b）ndx（a，b为常数，a≠0）

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

*(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

（15）（a为常数，a>0）

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)∫sin4xcosxdx

(39)

(40)∫cos2xdx

(41)∫(cosx+sinx)2dx

(42)∫［f(x)］αf′(x)dx(α≠-1)

(43)

(44)

(45)∫ef(x)f′(x)dx

(46)

2.用换元积分法求下列不定积分（第二类换元积分法）：

(1)

(2)

(3)

（4）（提示：用三角换元法）

(5)

(6)

（7）（提示：用三角换元法）

3.用适当的换元积分法求下列不定积分：

(1)(a＞0)

(2)

(3)

*(4)

(5)∫(2x-1)(x2-x+5)3dx

(6)

(7)∫cotxdx

(8)∫cos3xdx

(9)

(10)

4.若∫f（x）dx=F（x）+C，求∫xf（1-x2）dx.

参考答案

1.(1)

(2)

(3)

(4)

(5)lnx2-3x+8+C

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)ln(ex+2)+C

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)x-ln(1+ex)+C

(28)ln｜lnx+C

(29)

(30)

(31)sin(ex)+C

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)

(39)

(40)

(41)

(42)

(43)arctan[f(x)]+C

(44)ln｜f(x)｜+C

(45)ef(x)+C

(46)

2.(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

3.(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)ln｜sinx｜+C

(8)

(9)

(10)arctanex+C

4.