§5.1 不定积分的概念与性质

一、原函数与不定积分的概念

我们知道已知质点运动方程s=s（t），求质点在任意时刻的瞬时速度v，可归结为求路程函数s（t）对自变量t的导数，即v=s′（t）.在实际问题中常常需要解决相反的问题：给定速度v是时间t的函数v=v（t），要确定路程s与时间t的依赖关系.这样就需要由函数v=v（t）还原出一个函数s=s（t），使它满足对t的导数就是v，即v=s′（t）.类似的问题还有，已知曲线上任意一点M（x，y）处的切线斜率为k=k（x），要通过它还原出表示这条曲线的函数y=f（x），此时要满足这条曲线在点x处的导数就是k，即k=f′（x）.再如在经济问题中，已知边际成本函数MC=C′（x），要求总成本函数，也就是要知道哪一个函数的导数等于MC，就是要还原出总成本函数本身C=C（x），使得MC=C′（x），等等.

以上三个问题，虽然其具体实际意义各不相同，但去掉它们的实际意义，在数学上，都可归结为同一问题，即由一个函数的导数还原出这个函数（原函数），这就是积分学的基本问题之一.下面我们给出一般原函数的概念.

1.原函数的概念

定义5.1 设f（x）是定义在区间（a，b）内的已知函数，如果存在可导函数F（x），使对于任意x∈（a，b），都有

则称F（x）是f（x）在（a，b）上的一个原函数.即对于任何满足F′（x）=f（x）的函数F（x）和f（x），f（x）称为F（x）的导数，而F（x）则称为f（x）的原函数.

由定义可知找原函数与导数有着密切的联系.

例1 求下列函数的一个原函数.

(1)f(x)=3x2,x∈(-∞,+∞)

(2)f(x)=cosx,x∈(-∞,+∞)

解题分析：按原函数的定义5.1，要求已知函数f（x）的一个原函数，即要找出一个函数F（x），使得它求导数后能够等于这个已知函数f（x）.

解：（1）由f（x）=3x2，设所求函数为F（x），因为F（x）=x2时，应有

所以，由原函数的定义，函数F（x）=x3在（-∞，+∞）内是f（x）=3x2的一个原函数.

（2）由f（x）=cosx，设所求函数为F（x），因为F（x）=sinx时，应有

所以，由原函数的定义，F（x）=sinx在（-∞，+∞）内是f（x）=cosx的一个原函数.

例2 判断函数是哪个函数的原函数.

解题分析：由原函数定义，观察函数的导数是哪个函数.

解：因为，

所以由原函数定义，函数是的原函数.

2.原函数的个数与全体原函数的表示

例3 从下列函数x5-3，2+x5，2；log2x，2x+1，x5+1中找出5x4的原函数.

解题分析：按原函数的定义，只要找出求导数后结果是5x4的函数，就都是5x4的原函数，即若所求函数设为F（x），则F（x）应满足F′（x）=5x4成立.

解：因为（x5-3）′=5x4，（2+x5）′=5x4；2′=0；

(log2x)＇=;(2x+1)＇=2xln2;(x5+1)＇=5x4

所以x2-3，2+x5及x5+1都是5x4的原函数.

再看下例.

例4 设函数f（x）=sinx，x∈（-∞，+∞），求f（x）=sinx的一个原函数.

解：由于函数F（x）=-cosx满足F′（x）=（-cosx）′=sinx，

所以F（x）=-cosx是sinx的一个原函数.

我们可以知道（-cosx+1）′=sinx，说明-cosx+1也是sinx的一个原函数，不难看出（-cosx+2）′=sinx，…，当C为任意常数时也有（-cosx+C）′=sinx，说明-cosx+2，…，-cosx+C都是sinx的原函数.这说明f（x）=sinx的原函数不止一个.

一般地，如果函数f（x）有一个原函数F（x）即F′（x）=f（x），则对于任意常数C都有

［F(x)+C］′=F′(x)+(C)′=f(x)+0=f(x)

由此可得出，如果f（x）有原函数，则它的原函数不止一个，有无穷多个.下面我们讨论如何找出无穷多个原函数（全体原函数）的表示.

事实上，设f（x）的原函数存在，且函数F（x）和G（x）是f（x）在同一个区间上的任意两个原函数，那么它们的差F（x）-G（x），在该区间上是一个常数，则

［F(x)-G(x)］′=F′(x)-G′(x)=f(x)-f(x)=0(←F′(x)=f(x),G′(x)=f(x))

由《微积分I》第四章§4.1中拉格朗日（Lagrange）中值定理的推论4.2知道，导数恒为零的函数必为常数，于是

即

结论告诉我们，如果F（x）是f（x）的所有原函数，则f（x）任意一个原函数G（x）都可表示为F（x）+C的形式，即当C为任意常数时，G（x）的集合{F（x）+C-∞＜C＜+∞}就包含了原函数的全体.

求原函数的过程显然是求导的逆过程，因此读者重温并熟练掌握导数的基本运算方法，是求原函数或所有原函数的关键，也是后面学习不定积分的关键.

由以上讨论可得求函数f（x）的所有原函数的参考步骤：

第一步，由定义5.1求出一个原函数F（x）；

第二步，写出所有原函数的表达式F（x）+C（C为任意常数）.

例5 求函数cosx的全体原函数.

解题分析：也就是找出cosx一个原函数再加上一个任意常数C的形式.

解：因为（sinx）′=cosx（←第一步，求原函数），

所以sinx是cosx的一个原函数，

故cosx的全体原函数为sinx+C（←第二步，写出所有原函数）.

例6 求函数的全体原函数.

解：因为当x＞0时，有ln｜x｜=lnx

则

当x＜0时，有

则

综上所述

所以ln｜x｜是的一个原函数，故当x≠0时，的全体原函数为ln｜x｜+C.

在上面的讨论中，我们都假定f（x）的原函数是存在的，那么，函数f（x）要具备何种条件，才能保证它的原函数一定存在呢？可以证明，如果被积函数f（x）在某区间上连续，则在该区间上f（x）一定有原函数.（这个问题将在第六章§6.3节的定理6.4中给出）

注：（1）由于初等函数在其定义域内都是连续的，故初等函数在其定义域内必存在原函数（但其原函数不一定仍是初等函数）.

（2）连续是存在原函数的充分条件，并非必要条件.

通过求原函数，下面给出不定积分的定义.

3.不定积分的概念

定义5.2 设F（x）是函数f（x）在区间（a，b）上的一个原函数，则f（x）的所有原函数F（x）+C（C 为任意常数）称为函数f（x）的不定积分，记作∫f（x）dx，即有

其中符号“∫”称为积分号，f（x）称为被积函数，∫f（x）dx 称为被积表达式，x称为积分变量，C称为积分常数，取一切实数.

由定义5.2可得出简单结论：求一个函数的不定积分∫f（x）dx，就是求出这个函数的所有原函数.

注：（1）不定积分∫f（x）dx 可以表示f（x）的任意一个原函数，积分号“∫”是一种运算符号，它表示对已知函数求其全体原函数.这里的“所有”就体现在任意常数C上，所以在求不定积分的结果时不能漏写积分常数C，它可取任意实数.

（2）一个函数f（x）的不定积分既不是一个数，也不是一个函数，而是一组函数，而这一组函数之间，只是相差一个常数，利用已知导数来求出不定积分的过程是微分法的逆运算，称为不定积分法，简称不定积分.

（3）由求不定积分的过程可得，检验积分结果是否正确，只要对结果求导，看它的导数是否等于被积函数，相等时结果是正确的，否则结果是错误的.

用定义5.2求函数f（x）的不定积分的参考步骤：

第一步，由定义5.1求出一个原函数F（x）；

第二步，写出不定积分的表达式∫f（x）dx=F（x）+C（C为任意常数）.

例7 求函数3x2的不定积分.

解：（第一步）在例1中已经求出3x2的一个原函数是x3，（←∵（x3）＇=3x2）

（第二步）所以∫3x2dx=x3+C（C为任意常数）.

不定积分x3+C与导数3x2 的关系可以归纳成下图：

例8 求4x+1的不定积分.

解：因为（2x2+x）＇=4x+1，所以2x2+x是4x+1的一个原函数（←第一步），

所以

例9 求不定积分∫cosxdx.

解：因为（sinx）＇=cosx，所以sinx是cosx的一个原函数，

从而

例10 根据不定积分的定义验证：+C.

解：由[ln（1+x2）]＇，即函数ln（1+x2）是的一个原函数，

所以

例11 求函数的不定积分.

解：由于例6，当x＞0 时，（lnx）＇=，所以lnx是在（0，+∞）内的一个原函

数.所以

当x＜0时，[ln（-x）]＇=，所以ln（-x）是在（-∞，0）内的

一个原函数，所以

综上两种情形可以合并写成

例12 求不定积分∫exdx=ex+C.

解：因为（ex）＇=ex，所以ex是ex的一个原函数，

于是

注：为了方便起见，以后在不发生混淆的情况下，不定积分也称为积分.

二、不定积分的性质

1.导数与不定积分的关系（不定积分运算与导数（或微分）运算的互逆关系）

由（5.1.1）式可得到微分法与积分法关系的两个性质：

（5.1.2）式表示不定积分的导数等于被积函数（或不定积分的微分等于被积表达式），（5.1.3）式表示一个函数F（x）的导数（或微分）的不定积分等于函数族F（x）+C.

（5.1.2）式的简单记法：“先积分后导数（微分），结果为函数形式不变”，即“d”与“∫”抵消.

（5.1.3）式的简单记法：“先求导数（微分）后积分，结果为函数加上一个任意常数C的形式”，即若先“d”（或“求导”）后“∫”，则抵消后函数相差一个常数.

证：（1）设F（x）为f（x）的一个原函数，则F＇（x）=f（x），又由不定积分的定义

∫f(x)dx=F(x)+C

所以

或由微分的定义，得 d［∫f（x）dx］=f（x）dx

（2）因为F（x）就是F＇（x）的一个原函数，所以得

例如，.

2.线性运算性质

性质1

即求不定积分时，被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来.

证：（5.1.4）式等号右边求导，得

［k∫f(x)dx］′=k［∫f(x)dx］′=kf(x)

而且k∫f（x）dx 中含有一个任意常数，k∫f（x）dx 是kf（x）的全部原函数，由定义5.2，得∫kf（x）dx=k∫f（x）dx.

注：在性质1中条件k≠0，是必要的，否则若k=0，有∫kf（x）dx=∫0dx=C（C为任意常数），而k∫f（x）dx=0，两者并不相等，故只有k≠0时，（5.1.4）式才成立.

性质2

即函数代数和的不定积分等于各个函数的不定积分的代数和.

证：对（5.1.5）式两端求导得

而且∫f（x）dx（或∫g（x）dx）中含有一个任意常数，由原函数的定义∫f（x）dx±∫g（x）dx是f（x）±g（x）的全部原函数，所以得

性质2可以推广到任意有限多个函数的代数和的情形，

即

由性质1和性质2可得到不定积分的线性运算性质：

例13 求不定积分.

注：例13中，在求和的积分中每一项的不定积分都含有一个任意常数，因为任意常数的和仍然是任意常数.因此，在以后的不定积分的计算中，不必将每项不定积分中的积分常数项都加上，而只需在最后积分结果中统一加上一个积分常数C即可.

三、不定积分的几何意义

我们知道y＇（x）代表曲线y=f（x）在x点处的斜率函数，而曲线y=f（x）在x=a的斜率为y＇（x）｜x=a，或写作f＇（a），如图5-1-1所示.

一般地，求已知函数f（x）在某区间上的一个原函数F（x），在几何上就是要找出一条曲线y=F（x），使曲线上横坐标为x的点处的切线斜率等于f（x），也就是满足F＇（x）=f（x）.这条曲线y=F（x）称为f（x）的一条积分曲线，此时f（x）是F（x）在点（x，F（x））处的切线斜率.由于F（x）是f（x）的一个原函数，则f（x）的不定积分∫f（x）dx=F（x）+C是f（x）的全体原函数，所以对于给定的不同常数C，F（x）+C表示坐标平面上的不同的积分曲线，因此不定积分∫f（x）dx的几何意义表示f（x）的一族曲线F（x）+C，称为f（x）的积分曲线族，如图5-1-2所示.

积分曲线族具有这样的特点：在横坐标相同的x点处，曲线的切线是相互平行的，切线的斜率都等于f（x），而且积分曲线族在x点处它们的纵坐标只相差一个常数.因此，任意一条积分曲线都可以由曲线y=F（x）沿y轴方向上、下平移得到.

注：如果要求出这族曲线中通过某点（x0，y0）（称之为初始条件，一般由具体问题确定）的积分曲线，先由（5.1.3）式求出积分曲线y=F（x）+C，将（x0，y0）代入y0=F（x0）+C求出C，再将C代入y=F（x）+C，就可得到积分曲线族中通过点（x0，y0）的那条积分曲线.

例14 设曲线过点（-1，2），并且曲线上任意一点处切线的斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线的方程.

解：设所求曲线方程为y=f（x），由题设条件，过曲线上任意一点（x，y）的切线斜率为

f′(x)=2x

上式两端求不定积分得

∫f′(x)dx=∫2xdx

则f（x）=x2+C（←等式左边结果由性质（5.1.3）），此曲线方程y=x2+C代表斜率为2x的所有曲线族，又由于曲线过点（-1，2），将点（-1，2）代入曲线方程，2=（-1）2+C，得C=1，再将C=1代入f（x）=x2+C得过点（-1，2）的曲线方程为y=x2+1，如图5-1-3中所示实线部分.当C=-1，0，2时y=x2+C的图像如虚线所示，可见对于不同的C值，y=x2+C的图像的形状与y=x2 是完全相同的.例如，f（x）=x2-1可由y=x2沿y轴方向向下平移一个单位得到.

5.1 练习题

1.求下列函数的一个原函数：

(1)

(2)3x

2.求∫（sinx）＇dx.

3.验证函数F（x）=x（lnx-1）是f（x）=lnx的一个原函数.

4.验证是x在（-∞，+∞）上的一个原函数.

5.已知F＇（x）=3x2，且曲线y=F（x）过点（1，-1），求函数F（x）的表达式.

6.若∫f（x）dx=2x+2x+C（C为常数），求f（x）.

7.求过点（0，2）的曲线y=f（x），使它在x点处的切线斜率为2x.

8.试求函数f（x）=sinx通过点（0，1）的积分曲线方程.

9.设∫xf（x）dx=arctanx+C，求f（x）.

参考答案

1.(1)lnx

(2)

2.sinx+C

3.略

4.略

5.F(x)=x3-2

6.f(x)=2xln2+2

7.y=x2+2

8.y=-cosx+2

9.(x≠0)