4．一元二次函数及其应用

一元二次函数y=ax2 +bx+c（a≠0）一般式可配方为+，顶点为，对称轴为顶点是关键，顶点的由来既体现了配方法，又体现了平移.二次函数的对称性、单调性、最值、判别式等全与顶点有关.

二次函数与二次三项式、二次方程、二次不等式、二次曲线（解析几何）、匀加速直线运动（物理）都有关系.

一、二次函数解析式

求二次函数的解析式需要三个独立条件，主要采用待定系数法，依情况有下列四种待定的形式.

（1）标准式：f（x）=ax2+bx+c.

（2）顶点式：f（x）=a（x-h）2+k.

（3）零点式：f（x）=a（x-x1）（x-x2）.

（4）三点式：用特殊的3点（x=-1，0，1）可得

二、二次函数的最值及二次不等式

1．当自变量x在全体实数范围内变化时，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的最值是

2．当自变量在闭区间［m,n］时，最值情况如下

（1）,a ＞0,;f(x)max =max{f(m),f(n)}.a＜0,;f(x)min =min {f(m),f(n)}.

（2）,f(x)min =min{f(m),f(x)(n)};f(x)max =max{f(m),f(n)}.

3．在a>0的条件下

（1） ax2 +bx+c＞0的解在两根外.

（2） ax2 +bx+c＜0的解在两根内.

（3） ax2 +bx+c＞0恒成立⇔.

例1 在测量某物理量的过程中，因仪器和观测的误差，n次测量分别得到a1 ，a2 ，…，an共n个数据.我们规定所测量的物理量的“最佳近似值”a是这样一个量：与其他近似值比较，a与各数据的差的平方和最小.依此规定，从a1 ，a2 ，…，an推出的a=___________.

分析：依题意，这里求f（a）=（a-a1）2 +（a-a2）2 +…+（a-an）2取最小值时，a的取值.由于，n∈N*，故当时，f（a）最小.

例2 已知点到方程（b＞0）的图形上点的最远距离是，求这个方程，并求出这个方程上到点P的距离等于的点的坐标.

分析：设方程上的点（x，y）到的距离为d.

（1）若，则当y=-b时，d有最大值.，b=，与矛盾.

（2）若，当时，d2取最大值.，解得b=1＞，方程为.当时，.

故所求方程为，方程上到点P的距离等于的点的坐标为.

例3 函数f（x）=x2 -2x+2，x∈[t，t+1]，f（x）的最小值记作g（t），求g（t）的解析式，并求g（t）的最小值.

解：∵f（x）=x2 -2x+2为开口向上的抛物线，对称轴为x=1.

（1）当t＞1时，f（x）在[t，t+1]上为增函数.

∴g(t)=f(t)=t2-2t+2

（2）当t+1＜1，即t＜0时，f（x）在[t，t+1]上为减函数.

∴g(t)=f(t+1)=(t+1)2 -2(t+1)+2=t2 +1

（3）当1∈[t，t+1]，即0≤t≤1时，

∴g(t)=f(1)=1.

综上，

∵当t＜0时，g（t）=t2 +1＞1；

当t＞1时，g（t）=t2 -2t+2=（t-1）2 +1＞1；

当0≤t≤1时，g（t）=1，

∴g(t)min=1.

三、求二次分式函数的值域

步骤：

（1）判定分子、分母有无公因子.

（2）有公因子，约分成一次分式，求其值域；再从此值域中除去公因子为0时所对应的y值.

（3）无公因子，去分母变为二次方程，由二次项系数≠0和判别式≥0得值域.再讨论二次项系数=0时y1有无对应的x值：若有x，则y1是值域中的值；若无x，则y1不是值域中的值.

例4 求下列函数的值域

（1）y=;(2)y=

解：（1）

当x+3≠0时，，可得y≠1.

当x=-3时，代入得，.

∴函数的值域为{y|y∈R，y≠1且}.

（2）在的等号两边同时乘以x2 +x+1，整理得

当1-y=0时，（*）化为-5x-4=0，解得.即当时，y=1.由此可知，y=1属于原来函数的值域.

当1-y≠0时，方程（*）是x的二次方程.由于x是任意实数，所以方程的判别式∆≥0.即有

综上，可知函数值域是.

四、二次方程、二次不等式与二次函数综合问题

例5 已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0有两个实数根α，β，证明：

（1）如果|α|＜2，|β|＜2，那么2|a|＜4+b，且|b|＜4；

（2）如果2|a|＜4+b，且|b|＜4，那么|α|＜2，|β|＜2.

分析：本题即证：，属于证明充要性的题目.而充要性问题的证明策略有两种：一种是用等价性一次证明；另一种是分两步，先证必要性，再证充分性.当然第一种方法较好，但要求较高；第二种方法一般较容易.

由于本题条件与结论的关系就是根与系数的特定关系，或是依据求根公式与韦达定理，或是依据二次函数的图像与性质，揭示所需关系，并合理应用不等式的变换.

证:设f(x)=x2+ax+b，则它的图像是开口向上的抛物线.

（1）由|α|＜2，|β|＜2可得，f（-2）＞0，且f（2）＞0，|αβ|=|b|＜4，即f（-2）=4-2a+b＞0，且f（2）=4+2a+b＞0.

∴-（4+b） ＜2a ＜4+b，故2|a|＜4+b.

（2）由2|a|＜4+b可得，-（4+b）＜2a ＜4+b.

∴f(-2)=4-2a+b>0,且f(2)=4+2a+b>0.

由此可得：f（x）=0的两根都在（-2，2）内，或α，β＜-2，或α，β＞2.若α，β＜-2，或α，β＞2，则|αβ|＞4，与|αβ|=|b|＜4矛盾，故|α|＜2，|β|＜2.原题得证.

练习4

1．已知二次函数f(x)的图像与y轴的截距为4，且当x=1时取得最小值为2，求其解析式.

2．解下列不等式：

（1）-x2+5x>6；（2）x2-x>x（2x-3）；

（3） 2x2 -4x+7＜0;(4) ax2 -(a2 -1) x-a＞0.

3．已知4x2 +5y2 =y，那么x2 +y2的最大值是（　）.

A．　B．　C．　D．

4.已知函数y=ax2 +x+1，

（1）当y=2时，求x的值；

（2）当函数的最大值为2时，求x的值.

5．已知二次方程mx2+(2m-3)x+4=0有一个正根，且这个正根小于1，求实数m的取值范围.

6．求下列函数值域：

（1）;(2);(3);

（4）;(5);(6).