书名：高中数学问题探究
作者名：罗碎海周建锋
本章字数：2434字
更新时间：2020-08-29 15:08:36

2．奇妙的“三等分”线段与角

大家知道，用直尺和圆规把线段或角二等分，这是很容易办到的.但是要把线段或角三等分，就不是那么容易了.其中仅用尺规作图，要把一个角三等分，目前已经证明是不可能做到的，只有加上其他辅助条件才能做到.我们先来看比较简单的线段三等分问题.

一、线段的三等分

用直尺和圆规把线段AB三等分

1．方法1：平行线分线段成比例定理

几何上有个平行线分线段成比例定理.利用这个定理，就可以解决这个问题.方法是这样的：从其中一个端点（不妨设为A）出发引一条直线AP，用圆规在AP上依次截取线段AE=EF=FG，连结GB，过E，F分别作GB的平行线，交AB于C，D.

证明：∵CE∥DF∥BG，

∴,

∵AE=EF=FG,

图1

∴AC=CD=DB.

这样，我们利用平行线分线段成比例定理，把AB三等分了.

这种方法还可以推广：若要用尺规把一条线段AB n等分（n为任意一个正整数），则可从线段AB的一个端点A引一条直线（与AB不在同一直线上），用圆规在直线上从A开始任意截取n条相等的线段AA1=A1A2=…=An-1An，连结AnB，分别过A1，…，An-1作AnB的平行线，与AB相交，则交点把AB n等分.

2．方法2：相似三角形

我们要把线段AB三等分，如果能找到一条线段长度为AB的三分之一，那么问题就解决了.如何去找这条线段呢？我们可以从相似三角形中得到启发，只要能构造出两个三角形，对应边之比为1∶3就可以了.

作法：从A出发作线段AC=3AB，使A，B，C构成一个三角形.以B为顶点，AB为边，在∠ABC内作∠ABD=∠C，BD交AC于D（∵AC>AB，∴∠ABC>∠C），在AB上截取AE=EF=FB=AD.

证明：∵∠ABD=∠C,∠BAC=∠DAB，

∴△ABC与△ADB相似，

图2

∴E，F把AB三等分.

这种方法的一种特殊形式就是利用射影定理：以AB为直角三角形的一条直角边，以长度为3AB的线段为斜边，则AB在斜边AC上的射影的长即为AB的三分之一.

作法：作AC=3AB，取AC的中点O，以O为圆心，OA为半径作圆，以A为端点在圆上截取弦AB，连结BC，过B作BD⊥AC，在AB上依次截取AE=EF=AD.

证明：由作图可知，△ABC为直角三角形.

∵BD⊥AC，

图3

∴由射影定理得：AB2=AD·AC.

∵AC=3AB，

∴，而AE=EF=AD，

∴E，F把AB三等分.

3．方法3：三角形重心

我们也可以从线段的三等分点入手，如果能找到线段的三等分点，那么问题就解决了.这就要求我们在学过的知识中搜索一下有关三等分的线索.只要熟悉三角形的性质，就很容易将线段三等分.我们知道，三角形的重心把中线分成1∶2的两条线段.我们可以构造一个三角形，把线段AB作为这个三角形的中线，则三等分问题就转化为二等分问题了.

作法：过A作线段EF，使得A为EF的中点.在△EFB中，作BF边上的中线GE，交AB于C，在CB上截取CD=AC.

证明：在△EFB中，AB，GE为中线，交点为C，则C为

图4

△EFB的重心，

∴AC∶CB=1∶2,

∴,

∴，即C，D把AB三等分.

4．方法4：代数法

上面几种方法都是用几何的知识来解答的，我们能不能用代数的知识来解呢?答案是肯定的.在三角函数中有三角函数线的内容，如果在以AB为单位长的单位圆上，能找到正切值为的角，那么它的正切线的长刚好是AB的.如何找这个角？我们知道，30 °，60 °这两个角容易找，与之比刚好是！

图5

作法：如图5所示，AB为单位圆半径，在单位圆上作弦A′B=AB，过B作AB的垂线，交AA′的延长线于F.平分∠A′AB，平分线AE交BF于E，以A为端点，在x轴上截取AG=BF，作HG⊥AG且HG=BE，连结AH交BF于I，在AB上截取AC=CD=BI.

证明：设AB=1，∵AB=A′B=AA′，

∴∠BAA′=60 °，∴∠BAA′的正切线.

∵AE为∠BAA′的平分线，

∴∠EAB=30°，

∴∠EAB的正切线.

∵HG=BE，AG=BF，

∴∠HAG的正切线，

∴C，D把AB三等分.

以上用了4种不同的方法把线段AB三等分.当然，方法可能远远不止这4种.只要广泛地联系知识，善于动脑，就能发现更多更好的方法.

二、角的三等分

能否用尺规作图把一个角三等分?这个问题困扰了数学家很长一段时间，直到后来经过证明得出结论：仅用尺规作图是不可能做到的.

（1）尺规作图的不可能性，要等到三次方程式的相关理论完成后才能证明，同时，这也能证明倍立方问题的不可能.在这个证明过程中，数学家利用到两个理论：①一个三次方程式若无有理根，则无“可尺规作图根”;②一次因式检查法.

借由尼可马修斯解决方法，如图6所示，设OQ三等分∠BOA，过B作BC⊥OA于C，且BC交OQ于P.取PQ中点R，则Rt△BPQ中，BR=PR=RQ，所以∠BRP=2∠BQR=2∠POC=∠BOR,所以BR=OB.

设OB=a,OC=b,BQ=x,OP=y,则PQ=2BR=2a.

因为△PBQ∽△PCO∽△BEQ，所以.

作BE⊥PQ于E，因为△OBR为等腰三角形，BO=BR，所以E为OR的中点，即

且，

故令a=1，，

得到一个三次方程式x3-3x-2b=0.

图6

若三次方程式有可作出的根x，则BQ可作，Q点决定后，三等分问题即可解决.综上所述，可否三等分和b的值有关，有相当多的角是可以三等分的.例如，b=0，即角为90°时可三等分；但是，例如，即角为60 °时，方程式为x3-3x-1=0，并没有有理根，所以，所有的根皆是不可尺规作图的，即60°无法尺规作图三等分，也就是说，尺规作图三等分任意角（除了直角等几个特殊角之外）是不可能的.

（2）数学家帕普斯借助函数给出了一种“三等分锐角”的方法（如图7）：将给定的锐角∠AOB置于直角坐标系中，边OB在x轴上，边OA与函数的图像交于点P，以P为圆心，2OP长为半径作弧交图像于点R.分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两直线相交于点M，连结OM得到∠MOB，则∠MOB=∠AOB.要明白帕普斯的方法，请研究以下问题：